14.5 等腰三角形的性质（教学课件）-2023-2024学年七年级数学下册同步课堂（沪教版）

14.5

等腰三角形的性质2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件3、在你们的印象里，什么样的三角形叫做等腰三角形？有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

2、上面三个三角形按边分类是什么样的三角形1、上面三个三角形按角分类是什么样的三角形复习回顾：如图：在△ABC中,AB=AC，则△ABC就是等腰三角形它的各部分名称分别是什么？ABC(1)相等的两条边都叫做腰。腰腰底边(2)另一边叫底边。顶角底角底角(3)两腰的夹角∠A叫顶角。(4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角。等腰三角形再认识等腰三角形的两个底角相等。已知：△ABC中，AB=AC,说明∠B=C的理由.猜想ABCD问题等腰三角形的两个底角具有怎样的大小关系?操作在纸上画一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,再画出顶角的平分线AD,设AD与BC相交于点D(图14-37)把△ABC纸片剪下,将△ABD沿着直线AD翻折因为∠BAD=∠CAD，所以将△ABC沿着AD翻折后射线AB与射线AC叠合由于AB=AC,因此线段AB与线段AC重合，于是点B与点C重合。又因为点D与点D重合，所以线段BD与线段CD也重合(图14-38)因此∠B=∠C.归纳结论等腰三角形的两个底角相等。性质1(简称“等边对等角”)用符号语言表示为：ABC∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C(

)等边对等角ABC则有∠1＝∠2（角平分线的意义）D12在△ABD和△ACD中证明:

过点A作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D.AB＝AC

∠1＝∠2

AD＝AD

（公共边）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形对应角相等）

方法一我们可以直接利用全等三角形对等腰三角形的性质进行说理。ABC则有BD＝CD（中线的意义）D在△ABD和△ACD中证明:过点A作BC边上的中线AD，交BC于点D.AB＝AC

BD＝CDAD＝AD

（公共边）

∴

△ABD≌

△ACD

（SSS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形对应角相等）

方法二想一想:

由△BAD≌△CAD除了能得到∠B＝∠C，你还能发现什么?相等的线段相等的角

B

C

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD

∠B＝

∠C.∠1

＝∠2

A

D

∠ADB＝∠ADC12＝90°AD是

；AD是

；

AD是

.

底边上的中线顶角平分线底边上的高性质2:

三角形的

，

，

互相重合.顶角平分线等腰底边上的中线底边上的高(简称“等腰三角形的三线合一”)1.∵AB=AC，∠1=∠2

（已知）∴

，

.（）2.∵AB=AC，BD=CD（已知）∴,.（）

3.∵AB=AC，AD⊥BC

（已知）∴,

.（）ABC12D等腰三角形的

与

，

互相重合.顶角平分线底边上的中线底边上的高(简称“等腰三角形的三线合一”)等腰三角形的三线合一性质2:AD⊥BCBD=CDBD=CD∠1=∠2

等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一∠1=∠2

AD⊥BC等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是:性质3:所在的直线.底边上的中线(或顶角平分线,底边上的高)

等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线

.()判断题:√D思考：等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？例题1、已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=70º，求∠C和∠A的度数.ACB70º70º解(1)因为AB=AC(已知),所以∠C=∠B(等边对等角)由∠B=70°(已知)，得∠C=70°.(2)因为∠B=∠C=70°又∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°).所以∠A=180°-70°-70°=40°例题2：已知，AB＝AC，∠BAC=110º，

AD是△ABC的中线.

⑴求∠1的度数；

⑵求∠ADC的度数

解(1)∵AB=AC，AD是△ABC底边上的中线（已知）

∴∠1=∠BAC(等腰三角形的三线合一)∵∠BAC=110º（已知）

∴∠1=×110º=55º（等式性质）

⑵∵AB=AC，AD是△ABC底边上的中线（已知）

∴AD⊥BC（等腰三角形的三线合一）

∴∠ADC=90°（垂直的意义）BCD12A关于撑伞的数学问题已知：如图，AB=AC，DB=DC

问：AD与BC有什么关系？

猜想：AD垂直平分BC∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD∴AD垂直平分BC在⊿ABD和⊿ACD中证明:

ABCD1.下列判断错误的是(____)A.等腰三角形是轴对称图形B.有两条边相等的三角形是等腰三角形C.等腰三角形的两个底角相等D.等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合【解析】解：A、等腰三角形是轴对称图形，正确；B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确；C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确；D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误；D2.等腰三角形的底角为35°，则一腰上的高与另一腰的夹角是(____)A.55°B.35°C.20°D.以上都不对【解析】解：如图，BD⊥AC于点D，____∵∠C=35°，∠D=90°，C∴∠DBC=90°-35°=55°，∵∠ABC=35°，∴∠DBA=55°-35°=20°，即一腰上的高与另一腰的夹角是20°，故选：C．3.下列说法错误的有(____)①底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等②含有100°内角且腰为3cm的两个等腰三角形全等③腰长和底边长分别相等的两个等腰三角形全等④含有80°内角且腰长是3cm的两个等腰三角形全等A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：①两个等腰三角形顶角相等，A∴两个等腰三角形底角相等，∴根据ASA可证底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等，故①不符合题意；②等腰三角形100°内角为顶角，∴根据SAS可证含有100°内角且腰为3cm的两个等腰三角形全等，故②不符合题意；③根据SSS可证腰长和底边长分别相等的两个等腰三角形全等，故③不符合题意；④等腰三角形80°内角不确定是顶角还是底角，∴不能判定含有80°内角且腰长是3cm的两个等腰三角形全等，故④符合题意，4.在等腰三角形中，一个内角为40°，则另两个内角的大小分别是_________________________．

70°，70°或40°，100°5.等腰三角形的一个内角等于110°，则另两个内角的度数分别是___________．【解析】解：∵三角形内角和为180°，∴110°不能为底角，∴剩下两个角为底角，且他们之和为180°-110°=70°，∵70°÷2=35°，∴另两个内角的度数分别是35°，35°，故答案为：35°，35°．35°，35°6.等腰三角形底角的度数是顶角度数的2倍，底角的度数是_____．【解析】解：设等腰三角形的顶角度数为x,∵等腰三角形的底角是顶角的2倍，∴底角度数为2x,根据三角形内角和定理得：x+2x+2x=180°，解得x=36°，则底角的度数为72°．故答案为：72°．72°7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，这个三角形三个内角的度数是_____________________________________．【解析】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，___由已知可知，∠ABD=30°，又∵BD⊥AC，60°，60°，60°或30°，30°，120°∴∠ADB=90°，∴∠A=60°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=60°．当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，_____由已知可知，∠ACD=30°，又∵CD⊥AB，∴∠DAC=60°，∴∠B=∠ACB=30°，∠BAC=120°．故答案为：60°，60°，60°或30°，30°，120°．8.已知等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为7cm,则这个三角形的周长是______．【解析】解：①当腰长为3cm时，等腰三角形三边长为3cm、3cm、7cm,3+3＜7，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；②当腰长为7cm时，等腰三角形三边长为3cm、7cm、7cm,符合三角形三边关系，则三角形的周长为：3+7+7=17cm.因此这个三角形的周长为17cm.故答案为：17cm.17cm9.已知等腰三角形的周长为20，一边长为6，另两边长分别是____________．【解析】解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20-2×6=8，∵6+6=12＞8，∴三边能构成三角形．当底为6时，腰为(20-6)÷2=7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故答案为：6，8或7，7．6，8或7，710.若等腰三角形的底边长为8，则它的腰长x的取值范围是_____．【解析】解：等腰三角形的底边长为8，腰长为x,则2x＞8，解得x＞4．综上所述，该三角形的腰长x的取值范围是x＞4．故答案为：x＞4．x＞411.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，AE⊥BD，如果△ABC的面积是12，那么△ABE的面积是____．

312.已知，△ABC中，AB=AC，点M在AC上，且MA=MB，∠C=65°，求∠BMC的度数．解：因为△ABC中，AB=AC(已知)，所以∠_____=∠____(_____________)因为∠C=65°(_____)，所以∠ABC=____°(__________)又因为∠A+∠C+∠ABC=180°(________________________)，所以∠A=180°-____°-____°=____°．又因为MA=MB(已知)，所以∠_____=∠A=____°(_____________)，ABCC等边对等角已知65等量关系三角形内角和为180°656550ABM50等边对等角而∠BMC=∠____+∠_____(____________________)，所以∠BMC=____°+____°=_____°．【解析】解：因为△ABC中，AB=AC(已知)，所以∠ABC=∠C(等边对等角)，因为∠C=65°(已知)，所以∠ABC=65°(等量关系)，又因为∠A+∠C+∠ABC=180°(三角形内角和为180°)，所以∠A=180°-65°-65°=50°．又因为MA=MB(已知)，所以∠ABM=∠A=50°(等边对等角)，AABM三角形外角的性质5050100而∠BMC=∠A+∠ABM(三角形外角的性质)，所以∠BMC=50°+50°=100°．故答案为：ABC，C，等边对等角，已知，等量关系，三角形内角和为180°，65，65，50，ABM，50，等边对等角，A，ABM，三角形外角的性质，50，50，100．13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，试说明∠B=∠D的理由．(要求不用全等三角形说明)【解析】解：如图，连接BD，在△ABD中，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，在△CBD中，∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，即∠ABC=∠ADC．14.如图，△ABC中，AB=AC，BE=CE，延长AE交BC于点D，试说明AD⊥BC的理由．【解析】证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∵BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上，∴A、E都在BC的垂直平分线上，∵延长AE交BC边于点D，∴AD⊥BC．15.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E、F分别为边AB、AC上的点，且EB=FC，连接EF，交AD于点O，那么OE=OF，且AO⊥EF，为什么？【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵BE=CF，∴AB-BE=AC-CF，即AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，