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核心素养与高考新变化——解析几何中的数列、不等式问题05

新高考注重在知识网络的交汇处命题,既注重基础知识的考查,又注重思维深度的考查.解析几何部分往往与不等式、平面向量、数列等综合,在试题设计上兼顾了相关知识的基础性、灵活性、综合性,可以全面考查学生的综合数学素养.

A

2.如图H-1,若一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分,它的方程是y2-x2=1,y∈[1,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为(

)A.1B.2C.3D.2.5A图H-1[解析]清洁钢球能擦净凹槽的最底部时,轴截面如图所示,圆心在双曲线的对称轴上,且该圆与双曲线的顶点相切.设清洁钢球的半径为r,则圆心坐标为(0,r+1),圆的方程为x2+(y-r-1)2=r2,与双曲线方程y2-x2=1联立,消去x得y2-(r+1)y+r=0,解得y=1或y=r,要使清洁钢球能到达底部,则0<r≤1.故选A.

A

D

A

【技法点拨】解析几何中求离心率的取值范围、线段长度、直线斜率或三角形面积的最值都涉及不等式.解决此类问题往往从函数的角度出发,先建立目标函数,再进一步求该函数的最值.另外圆锥曲线的定义、范围和三角形的三边关系也提供了应用不等式的条件.

C

①③

①③

1

【技法点拨】平面向量在解析几何中的应用,审题时主要体现在:利用向量的模给出线段的长度关系;利用向量的共线给出直线的平行;利用向量的夹角给出直线的夹角或垂直.解题时点的坐标关系可以转化为向量的关系,从而借助向量得出解析几何的结论.

D

ABD

ABD

【技法点拨】解析几何与数列可以互为背景,融合在一起考查学生的数学素养:以数列的形式可以给出椭圆的条件或线段间的关系;以解析几何为背景,可以把曲线上点的坐标关系转化

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