2024年中考数学复习讲义第07讲一元二次方程

第07讲一元二次方程

目录

题型12应用根的判别式证明方程根的

一、考情分析情况

二、知识建构题型13应用根的判别式求代数式的取

值范围

考点—元二次方程的相关概念

题型14与根的判别式有关的新定义问

题型01识别一元二次方程

题

题型02由一元二次方程的概念求参数

考点三一元二次方程根与系数的关系

的值

题型01由根与系数的关系直接求代数

题型03一元二次方程的一般式

式的值

题型04由一元二次方程的解求参数的

题型由根与系数的关系和方程的解

值02

通过代换求代数式的值

题型05由一元二次方程的解求代数式

题型由根与系数的关系和方程的解

的值03

通过降次求代数式的值

题型06已知一元二次方程的一个根，求

题型由方程两根满足关系求字母或

另一个根04

代数式的值

考点二解一元二次方程

题型05不解方程由根与系数的关系判

题型01用直接开平方法解一元二次方

断根的正负

程

题型06由方程两根的不等关系确定字

题型02利用配方法解一元二次方程

母系数的取值范围

题型03利用因式分解法解一元二次方

题型与根与系数有关的新定义问题

程07

题型08构造一元二次方程求代数式的

题型04利用公式法解一元二次方程

值

题型05利用换元法解一元二次方程

题型09根与系数的关系和根的判别式

题型06选用合适的方法解一元二次方

的综合应用

程

考点四一元二次方程的应用

题型07错看或错解一元二次方程问题

题型01分裂（传播）问题

题型08配方法的应用

题型02碰面（循环）问题

题型09判断不含字母的一元二次方程

题里增长率问题

的根的情况03

题型04营销问题

题型10判断含字母的一元二次方程根

题型工程问题

的情况05

题型06行程问题

题型II由方程根的情况确定字母的值

题型与图形有有关的问题

或取值范围07

oo»

考点要求新课标要求命题预测

一元二次方程的相本考点内容以考直一元二

＞理解一元二次方程的相关概念.

关概念次方程的相关概念、解一元二次方

＞理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解

程、根的判别式、韦达定理（根与

一元二次方程的解法解数字系数的一元二次方程；

系数的关系1一元二次方程的应

法＞会用一元二次方程根的判别式判别方程是否

用题为主，既有单独考查，也有和

有实根及两个实根是否相等；

二次函数结合考察最值问题，事

一元二次方程的根

＞了解一元二次方程的根与系数的关系.

考查，分值为15分左右.

与系数的关系

预计2024年各地中考还将

继续考查上述的几个题型，复习过

程中要多注意各基础考点的巩固，

一元二次方程的应＞能根据具体问题的实际意义检验方程解的合

用理性.特别是解法中公式法的公式，不要

和后续二次函数顶点坐标的纵坐

标公式记混了.

©@00

脱欠01丽一元二次6行

ttt：只含有一个未如跟尸月天均贩的aw次JBUS2的整五方程，叽博一元二;欠方程.J

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»2504由一元二次方程的口或31的值

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因五分解法（axfb）（cx4d）=0.V.=-^,X,=-781里03利用因式分修去程f二大方程

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（声少:方程）建史14与根的丹利式有关的献义何就

5）当awLb*0,c*»j,可选公式法砌式分解法

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★根的情况与利《反的关系A二0石两个相等¥1支根

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用一元二次方IM联实际同■的步・：审.设、M.照.龄.答

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变化率何抬

一元二次方程的应用隧葭由《■环）向H

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考点-----元二次方程的相关概念

、夯基:必备基购识樵理_________

概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程一般形式：CLX2+bx+c=0（a工0）,

的相关概念其中：。是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解.

囱目易错

1.如果明确了a/+以+c=。是一元二次方程，就隐含了aWO这个条件（当炉0时，不含有二次项，

即不是一元二次方程）.

2.一元二次方程必须具备三个条件：

①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.

3.在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断.

4.二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数

Dr+rt7生物士彳

题型01识别一元二次方程

【例1】（2023•江西抚州•金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2—1=0B.2x+y=1C.x+[=3D.4x4-5=6x

【辞】A

【提示】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫

一元二次方程，进行判断即可.

【详解】解：A.是一元二次方程，故该选项符合题意；

B.含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；

C.不是整式方程,故不是一元二次方程，该选项不符合题意；

D.未知数的最高次数是1,故是一元一次方程，该选项不符合题意.

故选：A.

【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含

未知数的项的最高次数是2.

【变式1-1]（2023・四川成都•一模）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2+x—y=0B.ax2+2x-3=0

C.J2+2x+5=x（x-1）D.x2-1=0

【统】D

【提示】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做石

二次方程，逐项提示判断即可.

【详解】解：A.x2+x-y=0,二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

B.ax2+2%-3=0,当a=0时，是一元一次方程,故该选项不符合题意；

C.x2+2%+5=%(%-1)整理后得3x+5=0,不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

D.x2-1=0,是一元二次方程，故该选项符合题意；

故选：D.

【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程”是解题的关键.

题型02由一元二次方程的概念求参数的值

[例2](2023南阳市一模)关于K的方程(m+1)%网+】-m%+6=0是一元二次方程，则，〃的值是()

A.-1B.3C.1D.I或一1

【馥】C

【提示】根据一元二次方程的定义，即可求解.

【详解】解：..关于K的方程(m+1)“向+1-mx+6=0是一元二次方程，

.,.|m+1=2且m+1^0,

解得：m=1.

故选C.

【点拨】本题主要考直了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2

式方程是一元二次方程是解题的关键.

【变式2-1](2022上•辽宁沈阳•九年级期中)方程(m-2)xm2-2+(5+m)x+3=0是关于无的一元二次方

程，则m=.

【辱】-2

【提示】根据一元二次方程的定义知，77?_2=2,且m-2工0,据此可以求得m的值.

【详解】解：•方程(m-2)xm2-2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程，

2

Am—2=2,且m—2H0,

解得m=-2;

故答案是：-2.

【点拨】本题考查了一元二次方程的定义.一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；

(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键.

题型03一元二次方程的一般式

［例3］(2022上河南郑州•九年级郑州外国语中学校考期中)将一元二次方程3/=5工-1写成一般形式，

下列等式正确的是()

A.3x2—5x-1=0B.3x2+5x-1=0

C.3.r2—5r+1=0D.3x2+5.r+1=0

【箭】C

【提示】把等号右边的式子移到等号左边即可解题.

【邮】解：3%2=5%-1

移项得：

故选C.

【点拨】本题考查一元二次方程的T殳形式，解题的关键是掌握移项变号的基本步骤.

【变式3-1X2023•广东东莞・东莞市东华初级中学校考模拟预测［各方程4/+8x=25化成Q/+以+c=0

的形式，则a,b,c的值分别为()

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,-25D.I,2,25

普】C

【提示】将4/+8x=25移项化为一元二次方程的一般式即可求解.

【详解】解：将原方程化为一般形式得：4/+8%-25=0,

.,.a=4,h=8,c=-25,

故选：C.

【点拨】本题考杳一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键.

【变式3-2].（2021上•山西晋中九年级阶段练习）若一元二次方程的二次项系数为1,常数项为0,它的一

个根为2,则该方程为.

【答案】x2-2x=0/-2<+^=0

【提示】直接利用已知要求得出符合题意的方程.

【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：.r-2r=0.

故答案为：f-2r=0.

【点拨】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键.

【变式3・312023集贤县.九年级期中已知关于x的一元二次方程（a-l）x2+x+a2-1=0的常数项是0,

则a的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.1

【分】B

【提示】根据一元二次方程的定义和题意列出〃满足的条件求解即可.

【详解】解：由题意，卜2一：：5,

解得：a=-1,

故选：B.

【点拨】本题考有一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键.

题型04由一元二次方程的解求参数的值

【例4】（2022・广东・中考真题）若x=1是方程/-2x+a=（）的根，则a=.

【辱】1

【提示】本题根据一元二次方程的根的定义，把尸1代入方程得到〃的值.

【洋解】把1代入方程/-2x+a-0,得l-2+^-O,

解得片1,

故答案为：1.

【点拨】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解,

就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.

【变式4-1］（2021.湖南长沙.中考真题）若关于%的方程--依-12=。的一个根为3,则k的值为一

【辱】-1

【提示】将工=3代入方程可得一个关于左的一元一次方程，解方程即可得.

【详解】解：由题意，将x=3代入方程/-k4-12=0得：3?-3k-12=0,

解彳歌=-1,

故答案为：-1.

【点拨】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键.

方法技

利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数取

酒的亘他哈今尔住

题型05由一元二次方程的解求代数式的值

［例5］（2023・甘肃陇南•一模）关于%的一元二次方程2%。-2+巾=4的解为x=1,则a+m的值为（）

A.9B.8C.6D.4

【修】C

【提示】根据一元二次方程的概念可求出a的值，根据解为％=1可求出m的值，由此即可求解.

【详解】解：关于x的一元二次方程2--2+巾=4,

.-a-2=2,解得，a=4,

.•一元二次方程2/4-771=4,

,•解为X=1,

.'.2xI2+m=4,解得，m=2,

.'.a+m=4+2=6,

故选：C.

【点拨】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值

的方法是解题的关键.

【变式5-1]（2023.北京海淀•校考模拟预测）如果x=-1是方程/+?nx+n=0的一个根，那么〃?、〃的大

小关系是（）

A.m>nB.m=nC.m<nD.不确定的

【统】A

【分析】把方程的解代入方程，得到，〃，〃的关系式，判断〃的大小.

【详解】解：把％=—1代入方程有：1一机十九=0

.'.m-n=1>0

：.m>n.

故选：A.

【点拨】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到，〃的关系式，是解题的关键.

【变式5-2X2023渭南市月考期关于x的方程Q/+bx-l=0的一个解为％=1则2023-a-b=

【答案】2022

【分析】先把方程的解代入方程，得到a+b=l,再求代数式的值.

【详解】解：把x=1代入方程a/+以-1=o得。-1=0,

即a+b=1,

所虚023-a-b=2023-（a+fo）=2023-1=2022.

故答案为：2022.

【点拨】本题考有了一元二次方程的解和求代数式的值，“知解必代”是解题的关键.

【变式5-3]（2023•广东佛山•校考一模）已知a是方程27-5%-7=。的一个根，则代数式4a2T0Q的值

是—•

【统】14

【分析】根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出2a2-5Q-7=。即可解答；

【详解】解：••算是方程2/-5*-7=0的一个根，

.,.2a2-5a-7=0,

整理得，2Q2-5a=7,

/.4a2-10a=2(2a2-5a)=14,

故答案是：14.

【点拨】本题考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的概

念是解题的关键.

题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根

［例6］（2022・广西贵港中考真题）若％=-2是一元二次方程严+2x+m=0的一个根，则方程的另一个

根及，〃的值分别是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

【翳】B

【提示】直接把％=-2代入方程，可求出机的值，再解方程，即可求出另一个根.

【详解】解：根据题意，

-X=一2是一元二次方程避+2r+=0的一个根,

把％=一2代入/+2x+m=0,贝！J

（-2）2+2x（-2）+m=0,

解得：m=0；

.,.x2+2x=0,

+2）=0,

；.Xi=-2,x=0,

方程的另一个根是x=0；

故选：B

【点拨】本题考直了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算.

【变式6-1］（2023宁德市一模）关于.1的一元二次方程“2-2依-5=0的一个根是I,则这个方程的另一

个根是—.

【分】-5

【提示】根据方程的一个根1代入方程求出A得到一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】解：..・关于x的一元二次方程--2依-5=0的一个根是1,

.­.I-2k-5=0,

'-k=-2,

：.x2+4x-5=0,

解得Xi=1,皿=-5,

•••方程的另一个根是-5.

故答案为：-5.

【点拨】本题主要考直了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键.

【变式6-2](2023遵义市第十一中三模)若关于%的一元二次方程/-依-2=0的一个根为x=1,则这

个一元二次方程的另一个根为.

【会】-2

【提示】由题目已知尸1是方程的根，代入方程后求出&的值，再利用一元二欠方程的求根方法即可答题.

【详解】解：将X=1代入一元二次方程/-kx-2=0有：1-k-2=0,右-1,

方程M+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

即方程的另一个根为户-2

故本题的答案为-2.

【点拨】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其

中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键.

考点二解一元二次方程

，夯基1必备基砒晒蝌_________

基本思路通过''降次"，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程,得

到的两个解就是原方程的解.

特征步骤

直接形如aj?=b1）方程两边同时除以〃，得

a

（wo）的一元2）两边分别开方得xl=岛,x2=-JI

开平

二次方程

方法

1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

解2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数：

可配成3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为

（mx+a）12=3b

元配月（nix+a^=b（b>0）的形式：

形式的

解法4）求解：判断右边等式符号，天平方并求解.

次一元二次方程

法

【注意】：①当b<0时，方程无解

方

程②当厄0时，方程的根是广上四

m

的

方可化成I）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0;

法因式

(av+0)(cx+d)=O2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

分解形式的

3）3母|因武刀刀!J为令/彳可土11网1Jb/人万本土/

法一元二次方程

4）求解.

口诀：右化零，左分