八上第四课数学试卷

八上第四课数学试卷一、选择题

1.在下列选项中，不属于实数的是（）

A.$\sqrt{9}$

B.$-\frac{1}{2}$

C.$π$

D.$\sqrt{-1}$

2.若$a=-3$，$b=4$，则下列代数式中值为正的是（）

A.$a+b$

B.$a-b$

C.$ab$

D.$a÷b$

3.下列函数中，函数的定义域为全体实数的是（）

A.$y=\sqrt{x}$

B.$y=x^2$

C.$y=\frac{1}{x}$

D.$y=\sqrt{x-1}$

4.若$a>0$，$b<0$，则下列不等式中正确的是（）

A.$a+b>0$

B.$a-b>0$

C.$ab>0$

D.$a÷b>0$

5.下列数列中，不属于等差数列的是（）

A.$1,4,7,10,...$

B.$1,3,5,7,...$

C.$2,4,6,8,...$

D.$0,-2,-4,-6,...$

6.下列函数中，函数的值域为$R$的是（）

A.$y=\sqrt{x}$

B.$y=x^2$

C.$y=\frac{1}{x}$

D.$y=\sqrt{x-1}$

7.若$|a|=3$，$|b|=5$，则下列不等式中正确的是（）

A.$a+b>0$

B.$a-b>0$

C.$ab>0$

D.$a÷b>0$

8.下列数列中，不属于等比数列的是（）

A.$1,2,4,8,...$

B.$1,3,9,27,...$

C.$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...$

D.$2,4,8,16,...$

9.若$a=3$，$b=4$，则下列代数式中值为负的是（）

A.$a+b$

B.$a-b$

C.$ab$

D.$a÷b$

10.下列函数中，函数的单调性为增函数的是（）

A.$y=\sqrt{x}$

B.$y=x^2$

C.$y=\frac{1}{x}$

D.$y=\sqrt{x-1}$

二、判断题

1.一个数的倒数乘以这个数等于1。（）

2.函数的定义域是指函数中自变量的所有可能取值的集合。（）

3.等差数列的相邻两项之差是常数。（）

4.等比数列的相邻两项之比是常数。（）

5.如果一个函数的图像是连续不断的曲线，那么这个函数一定具有反函数。（）

三、填空题

1.若等差数列的第一项为$2$，公差为$3$，则该数列的第$5$项为______。

2.函数$y=3x-1$的图像与$y$轴的交点坐标为______。

3.若$|a|=5$，$|b|=3$，且$a$和$b$同号，则$ab$的值为______。

4.数列$1,3,5,7,...$的第$10$项是______。

5.函数$y=\frac{1}{x}$的反函数是______。

四、简答题

1.简述实数的基本性质，并举例说明。

2.如何判断一个一元二次方程有两个相等的实数根？

3.请解释等差数列和等比数列的定义，并举例说明。

4.简述函数的定义域和值域的概念，并举例说明如何确定一个函数的定义域和值域。

5.请解释什么是反函数，并说明如何求一个函数的反函数。

五、计算题

1.解下列方程：$2x^2-5x+3=0$。

2.计算下列函数的值：$f(x)=3x^2-2x+1$，当$x=-1$时。

3.已知等差数列的第一项为$3$，公差为$2$，求该数列的前$6$项和。

4.已知等比数列的第一项为$4$，公比为$\frac{1}{2}$，求该数列的第$8$项。

5.解下列不等式组：$\begin{cases}2x-3>x+1\\x-4\leq2\end{cases}$。

六、案例分析题

1.案例背景：某学校在组织一次数学竞赛，竞赛题目中包含一道一元二次方程的应用题。题目描述了一个人骑自行车从A地出发，以每小时15公里的速度匀速行驶，3小时后到达B地。如果他从A地出发，以每小时20公里的速度行驶，则可以在2小时后到达B地。请根据这些信息，解答以下问题：

-设A地到B地的距离为S公里，写出关于S的一元二次方程，并求解S。

-如果该学生计划提前30分钟到达B地，他需要以多少公里/小时的速度行驶？

2.案例背景：某班级的学生在进行一次数学测试后，得到了以下成绩分布：平均分为80分，最高分为100分，最低分为60分，成绩的标准差为10分。请根据这些信息，解答以下问题：

-如果假设成绩分布呈正态分布，请估算在平均分以下的学生人数大约是多少？

-如果学校决定对成绩低于平均分的学生进行补课，那么补课的学生数量大约是多少？

七、应用题

1.应用题：一个长方形的长比宽多3厘米，长方形的周长是36厘米，求这个长方形的长和宽。

2.应用题：某商店在促销活动中，将一个原价100元的商品先打8折，然后再打9折出售。求最终顾客购买该商品的实际支付金额。

3.应用题：一个班级有男生和女生共40人，男生人数是女生人数的2倍。如果从班级中选出4名学生参加比赛，要求男女各至少有1名，那么有多少种不同的选法？

4.应用题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶了2小时，然后以80公里/小时的速度行驶了1小时。求这辆汽车在全程中的平均速度。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.D

2.B

3.B

4.D

5.D

6.B

7.D

8.C

9.C

10.A

二、判断题答案：

1.×

2.√

3.√

4.√

5.×

三、填空题答案：

1.14

2.(0,-1)

3.15

4.19

5.y=x

四、简答题答案：

1.实数的基本性质包括：实数的封闭性、实数的传递性、实数的乘法分配律、实数的结合律和交换律等。例如，实数的封闭性表现为任意两个实数相加或相乘，结果仍然是实数。

2.一个一元二次方程有两个相等的实数根的条件是判别式$\Delta=0$。例如，方程$x^2-4x+3=0$有两个相等的实数根，因为判别式$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4$，不等于0。

3.等差数列的定义是：数列中任意相邻两项的差是常数，这个常数称为公差。例如，数列$1,3,5,7,...$是一个等差数列，公差为2。

等比数列的定义是：数列中任意相邻两项的比是常数，这个常数称为公比。例如，数列$2,6,18,54,...$是一个等比数列，公比为3。

4.函数的定义域是指函数中自变量的所有可能取值的集合。例如，函数$y=\sqrt{x}$的定义域是$x\geq0$。

函数的值域是指函数中所有可能的输出值的集合。例如，函数$y=x^2$的值域是$y\geq0$。

5.反函数是指一个函数的反操作，使得原函数的输出成为反函数的输入，反之亦然。例如，函数$y=2x+3$的反函数是$y=\frac{x-3}{2}$。

五、计算题答案：

1.解得$x=\frac{5}{2}$或$x=\frac{3}{2}$。

2.$f(-1)=3(-1)^2-2(-1)+1=3+2+1=6$。

3.和为$3+5+7+9+11+13=48$。

4.第8项为$4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7=\frac{4}{128}=\frac{1}{32}$。

5.解得$x=3$或$x=6$。

六、案例分析题答案：

1.设长方形的长为$l$，宽为$w$，则有$l=w+3$，$2l+2w=36$。解得$l=12$，$w=9$。

为了提前30分钟到达，行驶时间需要减少到2小时30分钟，即3小时减去30分钟。以20公里/小时的速度行驶3小时30分钟，距离为$20\cdot3.5=70$公里。

2.假设成绩分布呈正态分布，平均分为80分，标准差为10分，则平均分以下的人数大约是总人数的50%。补课的学生数量大约是总人数的25%。

3.男生人数为$\frac{40}{3+1}\cdot2=26$，女生人数为$40-26=14$。选法为$C(26,1)\cdotC(14,3)=26\cdot\frac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1}=26\cdot14\cdot13=4344$种。

4.总距离为$60\cdot2+80\cdot1=200$公里，总时间为$2+1=3$小时，平均速度为$\frac{200}{3}=66.67$公里/小时。

知识点总结：

-实数的基本性质

-一元二次方程的解法

-函数的定义域和值域

-等差数列和等比数列的定义及性质

-反函数的概念

-案例分析中的应用题解法

-不等式的解法

-正态分布的应用

各题型知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基本概念和性质的理解，例如实数的性质、函数的定义域等。

-判断题：考察学生对基本概念和性质的判断能力，例如实数的性质、函数的定义域等。

-填空题：考察学生对基本概