高三高考数学复习练习6-3等比数列及其前n项和

631．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列【解析】由等比数列的性质得，a3·a9＝aeq\o\al(2,6)≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.【答案】D2．(2018·珠海模拟)在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)或－eq\f(2,3)【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＝18，,a1q3＝8))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝27，,q＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－27，,q＝－\f(2,3).))又a1<0，因此q＝－eq\f(2,3).【答案】C3．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于()A．12 B．13C．14 D．15【解析】设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al(3,1)q3与a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aeq\o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故选C.【答案】C4．(2018·昆明模拟)在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是()A．－2 B．－eq\r(2)C．±eq\r(2) D.eq\r(2)【解析】根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所以a3<0，a7<0，即a5<0，由a3a7＝aeq\o\al(2,5)，得a5＝－eq\r(a3a7)＝－eq\r(2).【答案】B5．(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏【解析】设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝eq\f(a1（1－q7）,1－q)＝eq\f(a1（1－27）,1－2)＝381，解得a1＝3.故选B.【答案】B6．(2018·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D．－eq\f(\r(3),2)【解析】因为a3a4a5＝3π＝aeq\o\al(3,4)，所以a4＝3eq\s\up6(\f(π,3)).log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3aeq\o\al(7,4)＝7log33eq\s\up6(\f(π,3))＝eq\f(7π,3)，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝eq\f(\r(3),2).【答案】B7．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则eq\f(a2,b2)＝________．【解析】设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由a4＝a1＋3d，得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(8－（－1）,3)＝3，由b4＝b1q3得q3＝eq\f(b4,b1)＝eq\f(8,－1)＝－8，∴q＝－2.∴eq\f(a2,b2)＝eq\f(a1＋d,b1q)＝eq\f(－1＋3,－1×（－2）)＝1.【答案】18．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________．【解析】依题意，知数列{an}的公比q≠－1，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.【答案】1509．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________．【解析】∵an＋Sn＝1，①∴a1＝eq\f(1,2)，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②由①－②，得an－an－1＋an＝0，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)，∴数列{an}是首项为eq\f(1,2)，公比为eq\f(1,2)的等比数列，则an＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(1,2n).【答案】eq\f(1,2n)10．已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝eq\f(an＋1,an)，若b10·b11＝2，则a21＝________．【解析】∵b1＝eq\f(a2,a1)＝a2，b2＝eq\f(a3,a2)，∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝eq\f(a4,a3)，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1024.【答案】102411．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}是等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．【解析】(1)设等差数列的公差为d，由题意得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(12－3,3)＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n∈N*)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝eq\f(b4－a4,b1－a1)＝eq\f(20－12,4－3)＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n∈N*)，数列{3n}的前n项和为eq\f(3,2)n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.所以数列{bn}的前n项和为eq\f(3,2)n(n＋1)＋2n－1.12．(2018·昆明一检)已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S18∶S9＝7∶8.(1)求证：S3，S9，S6依次成等差数列；(2)a7与a10的等差中项是不是数列{an}中的项？如果是，是{an}中的第几项？如果不是，请说明理由．【解析】(1)证明设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S18＝18a1，S9＝9a1，S18∶S9＝2∶1≠7∶8，∴q≠1.∴S18＝eq\f(a1（1－q18）,1－q)，S9＝eq\f(a1（1－q9）,1－q)，S18∶S9＝1＋q9.∴1＋q9＝eq\f(7,8)，解得q＝－2－eq\f(1,3).∴S3＝eq\f(a1（1－q3）,1－q)＝eq\f(3,2)×eq\f(a1,1－q)，S6＝eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝eq\f(3,4)×eq\f(a1,1－q)，S9＝eq\f(a1（1－q9）,1－q)＝eq\f(9,8)×eq\f(a1,1－q).∵S9－S3＝－eq\f(3,8)×eq\f(a1,1－q)，S6－S9＝－eq\f(3,8)×eq\f(a1,1－q)，∴S9－S3＝S6－S9.∴S3，S9，S6依次成等差数列．(2)a7与a10的等差中项为eq\f(a7＋a10,2)＝eq\f(a1（2－2－2－3）,2)＝eq\f