浙江省南太湖联盟2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省”南太湖“联盟2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，又因为与共线，所以一个方向向量可以是，故选：A.2.已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【答案】D【解析】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选：D3.过点作圆的两条切线，切点分别,为坐标原点，则的外接圆方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知，，，四边形有一组对角都等于，四边形的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是，的中点为，，四边形的外接圆方程为，外接圆的方程为.故选：A4.中，，，，则顶点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得顶点的轨迹是以为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为所求轨迹方程为：，故选B.5.已知抛物线的焦点为F，过点F作斜率为1的直线交抛物线C于P,Q两点，则的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得xP+xQ=6，xPxQ=1，|PF|=xP+1，|QF|=xQ+1，|PF||QF|=xQ+xP+xPxQ+1=6+1+1=8，则故答案为：C6.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图．设，，则，，在中由勾股定理：，解得：，在中，由勾股定理：解得：，所以，所以渐近线方程为：.故选：A．7.已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设的内切圆半径为，因为，所以，可得，因为点为双曲线右支上一点，所以，可得，解得，又因为，可得，整理得，即，解得或（舍去）.故选：D.8.如图所示，四面体的体积为V，点M为棱的靠近B的三等分点，点F分别为线段的中点，点N为线段的中点，过点N的平面与棱，，分别交于O，P，Q，设四面体的体积为，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如图所示，连接，可得，；令，则，所以，因为N，O，P，Q四点共面，可得，当且仅当时取等号，所以；设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，又因为，，所以，即的最小值为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线，下列说法正确的是（）A.若，则直线的倾斜角为 B.若直线的在两坐标轴的截距相等，则C.直线与直线垂直，则 D.若直线不过第二象限，则【答案】AC【解析】对于选项A，当时，直线l可化为，故直线的斜率为，所以倾斜角为，故选项A正确；对于选项B，由题意，令，得，令，得，若截距相等，则有，解得或，故选项B错误；对于选项C，由直线垂直的充要条件得，解得，故选项C正确；对于选项D，直线l可化为，因为不过第二象限，所以，解得，所以，故选项D错误.故选：AC.10.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中.直线与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（）A.当时，的周长为4aB.当时，若AB的中点为M，则C.若，则椭圆的离心率的取值范围是D.若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率【答案】AC【解析】对于A，由椭圆定义得：的周长，A正确；对于B，由消去y并整理得：，则弦AB中点，而，则，即，B不正确；对于C，设，则，，而，于是得，由得，解得，C正确；对于D，由椭圆的性质知，椭圆的通径是过焦点的椭圆的最短弦，当时，即，即，解得，因直线l不垂直于x轴，则弦AB不能取到，即，D不正确.故选：AC11.正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（）A.存在点M，使得二面角大小为B.最大值为6C.直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为D.当时，则三棱锥的体积为定值.【答案】BCD【解析】在正方体中，可得平面，因为平面，平面，所以，所以二面角的平面角为，其中，A错误；如图建系，设，，存在时，取最大值为6，B正确；

设面法向量为n=0,1,0，直线与面所成角为时，可得，所以，则点M的轨迹是以E0,0,1为球心，2点M为侧面内的一个动点，则点M的轨迹在侧面内是以E0,0,1为圆心，2为半径的劣弧，如图所示，分别交，于，，如图所示，，则，则，劣弧的长为，C正确当时，，所以，所以，可得为，则三棱锥的体积为，所以当时，三棱锥的体积为定值，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则_____.【答案】【解析】易知在中，，焦点为，故椭圆的焦点在轴上，故，解得.故答案为：13.设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为,且弦长，则圆的标准方程__________.【答案】或.【解析】由题意设所求的圆的方程为：.圆心到直线的距离为，圆被直线：截得的弦的中点为，，解得或，即所求的圆的方程为：或.故答案为：或.14.已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）.若，则的取值范围是______．【答案】【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，由椭圆及双曲线定义得：，解得，，因，即，而O是线段的中点，因此有，则有，即，整理得：，从而有，即有，又，则有，即，解得，所以的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知圆.（1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；（2）若圆与圆C相切，求实数m的值.解：（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，则，解得，所以直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.（2）圆的方程可化为.若圆与圆C外切，则，解得.若圆与圆C内切，则，解得.综上，或.16.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，E是PD的中点．（1）证明：平面；（2）当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）取中点，连接，．为中点，且，，，且，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接，．正三角形，，面面，面面，面，又，，所以为正方形，所以．如图以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设面的一个法向量为，则，不妨取，设与平面所成角，则，故直线与平面所成角的正弦值为.17.已知曲线经过点．（1）若经过点，求的离心率；（2）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．解：（1）因为点在上，所以，，因为经过点，所以，，代入得，所以的标准方程为，，，，所以的离心率．（2）的方程可化为，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，即，因为，所以，解得，所以的取值范围是．18.已知曲线M是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹．（1）求曲线M的方程；（2）过点作斜率不为0的直线l交曲线M于两点，交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点的坐标．解：（1）设,由题意，可得,由椭圆的定义可知点的轨迹是椭圆，故可设曲线M的方程为：，则，，故，，曲线M的方程为：；（2）方法一：直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为，联立，整理得，则，设，则，，直线l交直线于点，则，则直线的方程为：，，令，解得，则，直线的方程为：，，令，解得，则，，所以线段CD中点的坐标为；方法二：直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为，联立，整理得，，设，则，，直线l交直线于，则，则直线AQ的方程为：，，令，解得，则，同理可得，，所以线段CD中点的坐标为.19.已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量,都垂直,它的模．如图,在正四棱锥中，，且．（1）求正四棱锥的体积；（2）若为侧棱上的点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值；（3）若点是侧棱（包含端点）上的一个动点，当直线与平面所成角最大时，求的值．解：（1）设和相交于点，取的中点为，连接，因为，故的夹角即为的夹角，故，所以，所以，所以正四棱锥的体积．（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，