四年级奥数教案

小学生做奥数不失分的四大秘诀

小学生的孩子现在几乎都在学习奥数，为了小升初而打算着。奥数怎样学才能考取高分

呢？

一、留意习惯的养成

我们常常对学生们说，养成好的学习品质，拥有好的学习方法比学习学问本身重:要得多，

它是学好学问的前提。学习奥数更是如此。

奥数题对学生们的要求是特别严格的，你既要留意到思维有广度有深度，在做题时还要

加倍当心。有些题往往是一字之差，谬之千里。习惯的养成不是一朝一夕之功。

要养成好的学习习惯，首先，须要学生对这个问题有个正确的相识，有些同学往往错误

地认为。只要是题目理解了，出点小错没关系。这样做的结果，往往助长了学生马虎大意之

习气。而在奥数题中，一点小错，往往是致命的。

学生做题出错了，应当找出错误缘由并不断积累，是学问方面的，要牢记。是习惯方面

的，要改正。

信任久而久之，好的习惯必能养成。

二、重视题目的每一个环节

有些奥数题步骤许多，许多学生驾驭了其中的某些环节，就认为没问题了，而恰恰是某

些重要的环节没有去仔细考虑，只知其然，不知其所以然。这势必造成解题时脱节，而有时

正是这小小蚊穴，毁了千里之堤。

因此确定要让养成严避求实的习惯。

三、通过练习逐步形成技能

既要留意已有学问的练习，乂要留意利用所学学问去解决实际问题；既要留意基础学问

的积累，又要留意学问的深化与提高。

这样的练习后，学生的学问是扎实的；方法是敏捷的；思维是灵敏的。

四、与时回顾

学问的遗忘是正常的，关键是我们怎样去解决这一问题。

养成按时复习所学学问的习惯对所学学问有一个与时的回顾与提高。但光做了这些题，

以后就对所学学问不闻不问，以为万事大吉了，这是错误的。因为有些题，当过了一段时间,

你再拿过来做，可能有些思路已渐忘了。

这就要求大家养成定时复习的好习惯。

一般十几天后，大家就要对原来所学学问有目的的复习一下，这样做，你用时不会太多,

但效率是极高的。

学习奥数学问点的驾驭是一方面，看法谨慎，集中精神又是另一项得分的关键。不浮躁、

不马虎才能在做奥数题时不失分，得高分。

第01讲，计算问题第03讲

整数与数列

【内容概述】

等差数列的项和运算符号按某种规律排列所得算式的速算与巧算，这里有时要变更运算依

次，有时需通过裂项来实现求和。依据给定的法则进行定义新运算。较为困难的整数四则运

算问题。

【典型问题】

2.计算：1000+999—998—997+996+995—994—993+・・・+108+107-106—105+104+1

93-102-101.

=(1000+999-998-997)+(996+995-994-993)+…+(108+107-106-105)+

(104+193-102-101)

=4+4+…+4+4=[(1000-101)4-1+1]4-4X4=900

4.利用公式1X1+2X2+…+nXn=nX(n+1)X(2Xn+l)+6,计算：15X154-16

X16H---F21X21.

=21X(21+1)X(2X21+1)4-6-14X(14+1)X(2X14+1)+6

=3311-1015=2296

6.计算：3333X55554-6X4444X2222.

=3X1111X5X1111+6X1111X4X2X1111=15X1111X11114-2X3X1111X1111X4X2

=1111X1111(15+48)=1111X1111X63=1111X1111X9X7

=9999X7777=(1000-1)X7777=77770000-7777=77762223

8.两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数

10.求和：1X2+2X3+3X4+…+9X10.

解：通过这个题，学“裂项”。看：

1X2=1X2X34-3；2X3=2X3X34-3=(2X3X4-1X2X3)-4-3；

3X4=3X4X34-3=(3X4X5-2X3X4)4-3...

可以发觉：nX(n+l)X3+3=[nX(n+1)X(n+2)—(n-1)XnX(n+l)]+3

于是原式=(1X2X3+2X3X4—1X2X3+3X4X5—2X3X4+…+9X10X11—8X9X1

0)4-3

=9X10X114-3=330

留意隔位抵消

12.在两个数之间写上一个，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例

如：135=3,62=0.试计算：(200049)9.

解：2000+49=40..40(40+9=4...4；所以结果是4。

14.对于自然数1,2,3,…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积(例

如23,积为2X3=6；假如一个数仅有一个非零数字，则这个数就算作积，例如与100相应

的积为1).问：这100个乘积之和为多少

解：从1,2,…，9,的乘积的数字和是45：

从11,12,…，19的乘积的数字和是1X45；

从2】，22,…，29,的乘积的数字和是2X45,

•♦•

9

从91,92,99,的数字和是9X45；

而10,20,90,的数字和是45,

100的为1,故，其总和为:

(1+1+2+3+…+9+1)X45+1=47X45+1=2116

【教学内容】

涉与4个或4个以上的对象，已知数量关系，不便干脆运用，与其它学问相关联的

困难和差倍问题。

【典型问题】

1.四年级有4个班，不算甲班其余二个班的总人数是1R1人：不算丁班其余二个班

的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多

少人？

解答：用131+134=263这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人

数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用2657=264就刚好是3个乙、丙的和,264+3=88,

就是说乙丙的和是88,则甲丁和是88+1=89,所以四个班的和是88+89=177人.

2.有四个数，其中每三个数的和分别是45,46,49,52,则这四个数中最小的•个数是多

少？

解答：大家想想，我假如把4个数全加起来是什么？事实上是每个数都加了3遍！大家

确定要记住这种思想！(45+46+49+52)・3二64就是这四个数的和，题目要求最小的数，我

就用64减去52(某三个数和最大的)就是最小的数，等于12.

3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6,就

变成了762。有些两位数口间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出全部这

样的两位数。

解答：府于这个题来说，首先要推断个位是多少，这个数的个位乘以9以后的个位还等

于原来的个位，说明个位只能是0或5!先看0,很快发觉不行，因为20X9=180,30X9=2

70,40X9=360等等，不管是几十乘以9,结果百位总比十位小，所以各位只能是5。略作

计算，不难发觉：15,25,35,45是满意要求的数

4.某班买来单价为0.5元的练习本若干，假如将这些练习本只给女生，平均每人可得15

本；假如将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。则，将这些练习本平均分给全班同

学，每人应付多少钱

解答：对于这种问题，假如给一个学过工程问题的学生来做的话，简直太简洁了，但工

程问题是六年级的内容，四年级的学生怎么办呢？我们可以这样考虑：我就假设班上有2

个女生(动动脑筋，为什么不假设成有1个女生？)，则就•共有30个练习本，进而推出

有3个男生，用30+(2+3)=6,说明每人应当有6个练习本，所以每人要付3元钱.

5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给

其次群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒，则平均分给三群

猴子，每只可得多少粒？

解答：和上个题目一样我想找到1个数，它既是12的倍数，又是15的倍数，还要是2()

的倍数。你能找到吗？可以找到最小的是60,则我就假设共有60粒花生，则可以算出来第

一群猴子有5个，其次群猴子有4个，第三群猴子有3人，那就一共有5+4+3=12只猴子，6

0・12=5,所以每个猴子是5粒.

6.一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154,则原来整数是多少？

解答：首先，被除数除以除数，余数确定小于除数。所以在这个题里，余数确定不大于

4,这就确定了原来整数只能是：154+4X0,154+4X1,154+4X2,154+4X3,154+4X4中

的一个，检验一下，很快得到结果是154+4X2=162.

7.若干名家长(爸爸或好妈，他们都不是老师)和老师陪伴一些小学生参与某次数学竞赛,

己知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有

1名男老师，则在这22人中，爸爸有多少人？

解答：家长比老师多，所以老师少于22+2=11人，也就是不超过10人，家长就不少于

12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12・2=6人，也就是不少于7

人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人，但老师最多就1()个，并且还至少

有1个男老师，所以老师必需是10个(9个女老师，1个男老师)，家长12个人中，有7

个妈妈，则爸爸就有12-7就人.

8.一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。

考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个

偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？

解答：20个题，假如全部做对的话，可以得20X2=40分。假如不答1道题的话就要少2

分，假如做错一道的话就要少3分。小明得了23分，比总分少40-23=17分。因为没有做的

题是偶数，所以我们可以先想想假如有0道题没答的话，17分都是做错了少的，可是17・3

=5-2,不行能！再考虑假如有2道题没做的状况，2道题没做就少4分，还有17-4=13分

是因为做错了少的，13+3=4-1,也不行能！考虑4道题没做的话，就少了8分，还有17-

8二9分是因为做错了少的，9+3=3,所以有3道题是做错的.

9.某种商品的价格是：每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买

50个，小李的钱至多能买500个。小李的钱比小赵的钱多多少分钱？

解答：先在脑袋里算•下，是不是九个7分钱最合算啊？先看小赵：50+9=5…5,所以

他有5X7+4=39分钱;再看小李：500+9=55…5,所以他有55X7+4=389分钱，则小李就比

小赵多389-39=35()分钱。千万不要认为用(500-50)・9X7=350就可以了，比如我把50()

换成400,方法就不对了！

10.某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人。春节分桔子25箱，每箱

不超过60个，不少于50个，桔子总数的个位数字是7。若每人分19个，则桔子数不够，

现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完.问这时大班

每人分多少桔子？小班有多少人？(本题是本讲中最难的问题！！！)

解答：首先桔子的个数在1250(=25X50)和1500(=25X60)之间。卜面大家帮我看以

下两种分桔子的方法的区分是多少？(1)大班每人a+1个，中班每人a个，小班每人a-1

个；(2)无论大中小班，每人a个。在第•种分法中，我让大班的孩子每人都拿出来1个

去补给小班的孩子，每人补1个，因为大班人比小班多6人，所以最终就还多6个桔子。

假如我从全部桔子中拿出6个来.就可以使得原题中的第一种分法变为我的其次种分法.因

为桔子的总数个位是7,减去6后的个位是1,这么多桔子可以分给全部的孩子，并且让每

人一样多，所以总的人数和每人所分到的桔子数都是奇数！！

但很明显每人19个是不够的，所以只能是每人17个，15个，13个等等，15个当然不行能

了(因为任何数乘以15后，各位不是5就是0),下面我们来看看可不行能是13个或更少:

至少有1250个桔子，1250+13=96…2,则至少有96人,则大班与小班和起来就至少96-27

=69人。可是小班人最少不会超过中班的27人，所以大班小班和起来不应当超过27+(27+

6)=60人，这与我刚才的结果是冲突的！所以每人不行能是13个或者更少，这就说明白每

人应当是17个苹果。

现在总的苹果数个位是7-6=1,每人17个苹果，所以总的人数个位应当是3!!再看：125

04-17=73-9,15004-17=88-4,这时就可以找到总人数确定是83。因为假如是73的话,

桔子还没有分完。所以大班小班共有83-27二56人，用和差问题的公式可以很快得到小班人

数是：(56-6)+2=25人.

11.一个正方体木块放在桌子匕每一面都有一个数.位干对面两个数的和都等干13.小

张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到

的三个数的和为24,则贴着桌子的这一面的数是多少？

解答：大家先想想，我假如用18加上24的话，得到是哪几个面的和？是4个侧面和2

个顶面的和！四个侧面的和应当是：13+13=26,这时就可以计算出顶面的数是：(18+24-2

6)62=8,于是底面的数是：13-8=5.

12.左图是一个道路图。4处有一大胖孩

子，这群孩子向东或向北走，在从力起先的

每个路口，都有一半人向北走，另一半人向

东

东走，假如先后有60个孩子到过路口8问:

先后共有多少个孩子到过路口67

解答：自己先尝试一下假设A处有1个孩子，2个孩子时有什么问题，发觉后

来就会出现半个孩子的状况，这是不行的，所以再假设有4个，8个，16个孩子，

发觉后来还是会出现半个孩子，于是我们就假设A处有32个孩子吧！（自己动

动脑筋：为什么是1,2,4,8,16,32这些数？这些数有什么规律吗？）最终

经过计算能发觉C处有8个孩子经过，B处有10个孩子经过。但事实上B处有6

0个孩子经过，所以原来A处就应当是6个32个孩子！所以就有8X6=48人孩

子经过C点.

13.竞赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六

边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。£逢制的方法是：每块黑色皮子的5

条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的

边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。假如一个足球表面上共有12块黑

色正五边形皮子，则，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？

解答：先算黑皮子共有多少条边：12X5=60条。这60条边都是与白皮子缝合在一起的，

对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边

则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子全部边的一半是与黑皮子缝合在一起的，则白

皮子就应当一共有60X2=120条边，120+6=20,所以共有20块白皮子.

14.5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶

换的，则他们至少要买汽水多少瓶？

解答：大致上可以这样想：先买161瓶汽水，喝完以后用这161个空瓶还可以换回32

瓶（1614-5=32-1）汽水，然后再把这32瓶汽水退掉，这样一算，就发觉事实上只须要买

161-32=129瓶汽水。可以检验一下：先买129瓶，喝完后用其中125个空瓶（还剩4个空

瓶）去换25瓶汽水，喝完后用25个空瓶可以换5瓶汽水，再喝完后用5个空瓶去换1瓶汽

水，最终用这个空瓶和最起先剩下的4个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+

1+1=161瓶汽水.

15.现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比其次堆多，其次堆苹果个数比第三堆多。假如从

每堆苹果中各取出一个，则在剩卜的苹果中，第一堆个数是其次堆的三倍。假如从每堆苹果

中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则其次堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问

原来三堆苹果数之和的最大值是多少？

解答：这种题和第十题一样，好做但是不好讲，关键在于如何能让四年级的学生听明白！

从第一个条件起先：从每堆苹果中各取出一个，在剩下的苹果中，第一堆个数是其次堆的三

倍，这时假设其次堆是1份苹果，则第一堆就是3份苹果，差2份苹果。再看其次个条件：

从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，其次堆所剩下的苹果数是第三堆的

2倍，因为是从每堆苹果中各取出同样多个，所以其次珀还是比第一堆少2份苹果，所以这

个2份应当比34个要少（大家自己考虑一下为什么不能相等？）所以一份最多就16个，于

是在其次个条件时，其次堆还有34-16X2=2个，第三堆还有2=2=1个，所以回到第一个条

件时，其次堆应当是1份16个苹果，第三堆少一个是15个，第一堆是3份共16X3F8个

苹果，所以在最起先分别有49,17,16个，总共有49+17+16=82个.

【典型问题】

1.某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是多少？

解答：（6X6+6）4-6-6=1,这个数是1.

2.两个两位数相加，其中•个加数是73,另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数

字增加5,个位数字增加I,则求得的和的后两位数字是7"问另一个加数原来是多少？

解答：和的后两位数字是72,说明另一个加数变成了99,所以原来的加数是99-51=48.

3.有破26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑

的太多，就抢过一半。弟弟不愿，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5

块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟打算挑多少块？

解答：先算出最终各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）4-2=14,弟弟是26-14=12,

然后来还原：1.哥哥还给弟弟5块：哥哥是14-5二9,弟弟是12+5=17；2.弟弟把抢走的一

半还给哥哥：抢走了一半，则剩下的就是另一半，所以哥哥就应当是9+9=18,弟弟是17-9

=8；3.哥哥把抢走的一半还给弟弟：则弟弟原来就是8+8=16块.

4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比

原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来

增加了两倍，结果内的钱最多；最终因拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加

了两倍，结果三人钱数一样多了。假如他们三人共有81元，则三人原来的钱分别是多少元？

解答：三人最终一样多，所以都是81+3=27元，然后我们起先还原：1.甲和乙把钱还

给丙:每人增加2倍,就应当是原来的3倍,所以甲和乙都是27+3=9,丙是81-9-9=63；2.

甲和丙把钱还给乙：甲9+3=3,丙63+3=2】，乙81-3-21=57；3.最终是乙和丙把钱还给

甲：乙57:3:19,丙21：3二7,甲81-19-7=55元.

5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着

乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增

加了一倍。现在三人的糖豆一样多。假如起先时甲有51粒糖豆，则乙最起先有多少粒糖豆？

解答：先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，事

实上甲原来有51粒，514-3=17,则我们可以把1份看成17粒，所以乙最起先有糖豆17X5

=85粒.

6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个;

然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个？

解答：假如最终的1份只有1个的话，我们很快就可以发觉前面的11份就是(1X3+2)

+2=2.5个，这是不行能的，所以最终的那一份至少是2个，则这筐苹果原来至少有：(2

X3+2)+2X3+2=23个.

7.今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子

的年龄各是多少岁？

解答：今年父子的年龄差是儿子的57=4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2-1=1倍，

这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，依据差倍问题的公式可以计算出儿子今

年的年龄是15+(4-1)=5岁，父亲今年是5X5=25岁.

8.有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年

龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后,

老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。

解答：老师二甲+乙+丙，老师+9二甲+9+乙+9,比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是

9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁,甲是9+3+3=15岁,老师是9+12+15=36岁.

9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58

岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？

解答：73-58=15^4X4,我们知道四个人四年应当增长了4X4=16岁，但事实上只增长

了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有诞生，则弟弟今年应当是几岁呢？我们

可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3,3就是弟弟的年龄！则

很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，依据和差问题，就可以得

到父亲是(65+3)+2=34岁，母亲是65-34=31岁.

10.学生问老师多少岁，老师说：“当我象你这么大时，你刚3岁；当你象我这么大时，我

已经39岁了。”求老师与学生的年龄。

解答：老师的这句话表示3,学生年龄，老师年龄，39这4个数是•个等差数列，即学

生年龄-3=老师年龄一学生年龄=39-老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：(39-3)4-3

=12,所以学生年龄是3+12=15岁，老师年龄是15+12=27岁.

11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥

与弟弟现在的年龄和为3C岁。问：哥哥现在多少岁？

解答：假设弟弟当年年龄是1份，则哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与

弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄(=哥哥当年年龄)，哥哥现在年

龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄(二哥哥当年年龄)就刚好是2份，则兄弟现在的

年龄和是3+2=5份，一份就是30+5=6,哥哥现在是6义3=18岁.

12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两

年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。”

问陈老师有多少子女。

解答：2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5

倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍。这个时候可以看到这个题中的年龄差不是确

定的，否则年龄差是9,5,2倍数，至少是90,这是不合常理的，也就是说子女个数不会

是2个。假如这个题目不用方程的话，我想最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快

就会得到冲突，最终可以算出陈老师是3个子女。本题举荐运用方程求解！

13.今年是1996年。父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后，父的年龄是

弟的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。则当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？

解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=弟乂4,

母=兄乂3,则父+母=弟X4+兄X3=3X(弟+兄)+弟，即86=3X25+弟，所以弟是11岁，兄

是25-11二14岁，父是11X4=44岁，母是14X3=42岁(以上都是4年后的年龄，即公元20

00年)，很明显再过1年后父亲45岁，兄是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍，所以答案就

是公元2001年.

14.甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，

当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，则乙现在是多少岁？

解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是2Xa岁，丙38岁；当

甲17岁的时候，留意到甲乙的年龄差不变，都是a,所以乙是17+a岁，则丙是乙的2倍・，

就是2X(17+a),再依据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2X(17+a)-17,由此可以得到a

是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是7+14+38=59岁，(113-59)

♦3=18,再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.

15.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又

过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？

解答：视察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5倍；几年后的年龄差是小明当时年龄

的4倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3倍，所以年龄差是5,4,3的倍数，很快就

能得到年龄差应当是60(当然不行能是120,180等等)，今年小明的年龄是：604-(6-1)

=12岁,则祖父就是12+60=72岁.

【典型问题】

I.某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是多少？

解答：（6X6+6）4-6-6=1,这个数是1.

2.两个两位数相加，其中一个加数是73,另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数

字增加5,个位数字增加1,则求得的和的后两位数字是72,问另一个加数原来是多少？

解答：和的后两位数字是72,说明另一个加数变成了99,所以原来的加数是99-51=48.

3.有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好破，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑

的太多，就抢过一半。弟弟不愿，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5

块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟打算挑多少块？

解答：先算出最终各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）4-2=14,弟弟是2674=12,

然后来还原：1.哥哥还给弟弟5块：哥哥是14-5=9,弟弟是12+5=17：2.弟弟把抢走的一

半还给哥哥：抢走了一半，则剩下的就是另一半，所以哥哥就应当是9+9=18,弟弟是17-9

=8；3.哥哥把抢走的一半还给弟弟：则弟弟原来就是8+8=16块.

4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比

原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来

增加了两倍•，结果丙的钱最多；最终丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加

了两倍，结果三人钱数一样多了。假如他们三人共有81元，则三人原来的钱分别是多少元？

解答：三人最终一样多，所以都是81+3=27元，然后我们起先还原：1.甲和乙把钱还

给内：每人增加2倍，就应当是原来的3倍，所以甲和乙都是27+3=9,内是81-9-9=63；2.

甲和丙把钱还给乙：甲9・3二3,丙63+3=21,ZL81-3-21=57；3.最终是乙和丙把钱还给

甲：乙57+3=19,丙21+3=7,甲81T9-7=55元.

5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着

乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一曲，也使自己的糖豆增

加了一倍。现在三人的糖豆一样多。假如起先时甲有51粒糖豆，则乙最起先有多少粒糖豆？

解答：先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，事

实上甲原来有51粒，514-3=17,则我们可以把1份看成17粒，所以乙最起先有糖豆17义5

=85粒.

6.有•筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个;

然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个？

解答：假如最终的1份只有1个的话，我们很快就可以发觉前面的11份就是(1X3+2)

+2=2.5个，这是不行能的，所以最终的那一份至少是2个，则这筐苹果原来至少有：(2

X3+2)+2X3+2=23个.

7.今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子

的年龄各是多少岁？

解答：今年父子的年龄差是儿子的57=4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2-1=1倍，

这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，依据差倍问题的公式可以计算出儿子今

年的年龄是15+(4-1)=5岁，父亲今年是5X5=25岁.

8.有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年

龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后,

老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。

解答：老师二甲+乙+丙，老师+9二甲+9+乙+9,比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是

9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁,甲是9+3+3=15岁,老师是9+12+15=36岁.

9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58

岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？

解答：73-58=15^4X4,我们知道四个人四年应当增长了4X4=16岁，但事实上只增长

了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有诞生，则弟弟今年应当是几岁呢？我们

可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3,3就是弟弟的年龄！则

很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，依据和差问题，就可以得

到父亲是(65+3)+2=34岁，母亲是65-34=31岁.

10.学生问老师多少岁，老师说：“当我象你这么大时，你刚3岁；当你象我这么大时，我

已经39岁了。”求老师与学生的年龄。

解答：老师的这句话表示3,学生年龄，老师年龄，39这4个数是•个等差数列，即学

生年龄-3=老师年龄一学生年龄=39-老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：(39-3)4-3

=12,所以学生年龄是3+12=15岁，老师年龄是15+12=27岁.

11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥

与弟弟现在的年龄和为3C岁。问：哥哥现在多少岁？

解答：假设弟弟当年年龄是1份，则哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与

弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄(=哥哥当年年龄)，哥哥现在年

龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄(二哥哥当年年龄)就刚好是2份，则兄弟现在的

年龄和是3+2=5份，一份就是30+5=6,哥哥现在是6义3=18岁.

12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两

年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。”

问陈老师有多少子女。

解答：2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5

倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍。这个时候可以看到这个题中的年龄差不是确

定的，否则年龄差是9,5,2倍数，至少是90,这是不合常理的，也就是说子女个数不会

是2个。假如这个题目不用方程的话，我想最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快

就会得到冲突，最终可以算出陈老师是3个子女。本题举荐运用方程求解！

13.今年是1996年。父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后，父的年龄是

弟的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。则当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？

解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=弟乂4,

母=兄乂3,则父+母=弟X4+兄X3=3X(弟+兄)+弟，即86=3X25+弟，所以弟是11岁，兄

是25-11二14岁，父是11X4=44岁，母是14X3=42岁(以上都是4年后的年龄，即公元20

00年)，很明显再过1年后父亲45岁，兄是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍，所以答案就

是公元2001年.

14.甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，

当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，则乙现在是多少岁？

解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是2Xa岁，丙38岁；当

甲17岁的时候，留意到甲乙的年龄差不变，都是a,所以乙是17+a岁，则丙是乙的2倍・，

就是2X(17+a),再依据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2X(17+a)-17,由此可以得到a

是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是7+14+38=59岁，(113-59)

♦3=18,再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.

15.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又

过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？

解答：视察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5倍；几年后的年龄差是小明当时年龄

的4倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3倍，所以年龄差是5,4,3的倍数，很快就

能得到年龄差应当是60(当然不行能是120,180等等)，今年小明的年龄是：604-(6-1)

=12岁,则祖父就是12+60=72岁.

四年级上学期第02讲应用题第07讲和差倍问题之三

1.四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的

总人数是134人：乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多

少人？

解答：由“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是1

34人”得到131+134=265,这265人包括1个甲班和1个丁班，以与2个乙班和2个丙的总

和，又因为乙、丙两班的息人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265T=264就冈!好是

3个乙班和3个丙班之和，264+3=88,就是说乙，丙两个班的和是88人，则，甲、丁两个

班的和就是88+1=89人。所以，四个班的和是88+89=177人。

2.有四个数，其中每三个数的和分别是45,46,49,52,则这四个数中最小的一个数

是多少？

解答：把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于(45+46+4

9+52)4-3=64o用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12,

3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6,

就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出全部

这样的两位数。

解答：两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，即这个数的个位

乘以9以后的个位还等于原来的个位，则个位只能是()或5。假如是0,明显不行。因为20

X9=180,30X9=270,..........所以个位只能是5。试验得到：15,25,35,45是满意要求的

数。

4.某班买来单价为C.5元的练习本若干，假如将这些练习本只给女生，平均每人可得

15本；假如将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。贝I」，将这些练习本平均分给全班

同学，每人应付多少钱

解答：这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱”，我们可以用设数法来求

解。假设班上有2个女生，则就是一共有30个练习本，这30本“只给男生，平均每人可得

10本”，说明男生有3个。则，分给全部按同学，每人得30/(2+3)=6本，因此每人应当

付6本练习本的钱，即每人要付3元钱。

5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只

分给其次群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒，则平均分给

三群猴子，每只可得多少粒？

解答：由题意可知，花生总数必定是12、15、20的倍数。同上题一样，我们也可以

用设数法。假设共有花生12*15*20粒，则第一群猴子有15*20只，其次群猴子有12*2。只,

第三群猴子有12*15只,即共有(15*20+12*20+12*15)只猴子,12*15*20/(15*20+12*20

+12*15)=5,所以平均分给三群猴子，每个猴子可得5粒。

注：假如懂得最小公倍数，则应当设花生总数为60粒，这样，计算就便利许多。

6.一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154,则原来整数是多少？

解答：被除数除以除数，余数确定小于除数。所以，余数只可能是0、1、2、3、4,贝

原来的整数只能是:154+4X0,154+4X1,154+4X2,154+4X3,154+4X4中的一个。经

试验，结果是162,154+4X2=162。

7.若干名家长(爸爸或妈妈，他们都不是老师)和老师陪伴一些小学生参与某次数学

竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，

至少有1名男老师，则在这22人中，爸爸有多少人？

解答：家长比老师多，所以老师少了22/2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不

少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12/2=6人，即不少于7

人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少

有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。则，在12个家长中，

就有7个是妈妈。所以，爸爸有12-7二5人。

8.一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不

计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数

目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？

解答：20个题假如全部做对的话，总分是20*2二40分。绻淮道题的话就要在40分中扣

除2分，而做错一道的话就要扣除1+2=3分(因为在40分中我们假设它是做对的，给了2

分,实际是不但不能给，反而要扣1分)。小明得了23分，比总分少40-23=17分。因为没

有做的题是偶数，最小的偶数是0,假如是0道题没答的话，则17分就都是做错被扣的，

但17/3=5…2,所以不行能。同理2道题没做也不行能。结果只能是4道题没做，17-2*4=9

分=3*3。所以答错3题。

9.某种商品的价格是：每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多

能买50个，小李的钱至多能买500个。小李的钱比小赵的钱多多少分钱？

解答：由“每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱”我们可以知道，九个7分钱

是最便宜的,是最多的买法。则,50+9=5…5,小赵应当有5X7+4=39分钱;5004-9=55-5,

小李应当有55X7+4=389分钱。则,小李的钱要比小赵多389-39:350分。

10.某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人。春节分桔子25箱，

每箱不超过60个，不少于50个，桔子总数的个位数字是7。若每人分19个，则桔子数不

够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这时

大班每人分多少桔子？小班有多少人。

解答：首先，总人数不超过27*3+6=87人：其次，桔子的个数在25X50=1250和25X6

0=1500之间；现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分

完。我们可以先从总数中拿出6个，让大班中的6个人先少拿一个，拿和中班一样多，这样

就变成平均都和中班的拿•样多，(1250-6)/87>14,所以，每人至少分15个，但至多分

18个；再则，桔子总数的个位数字是7,所以只能是每人17个或15个；但15个明显不行

能，因为任何数乘以15后个位只能是5就是0。所以每人应当是17个桔子，即大班每人1

7+1=18个。(1250-6)/17=73...........3,总人数应多于73人,74*17=1258,个位不是1,要

使个位为1需加个位为3的17的倍数，17*9=153,所以，桔子总数为(1258+153)+6=141

7个，总人数74+9=83人。

小班有(83276)/2=25人。

11.一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13,

小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看

到的三个数的和为24,则贴着桌子的这一面的数是多少？

解答：把小张和小李看到的数相加，就是完整的四个侧面和两次顶面之和，因为位于对

面两个数的和都等于13,则四个侧面的数字和应为13*2=26,由此可知顶面数字为(18+24

-26)/2=8,则贴着桌子的这一面的数就是13-8=5°

12。图2-1是一张道路图。A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A起先的

每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走。假如先后有6