高一上学期期末数学新定义压轴汇编07利普希茨条件与双变量数学新定义

高一上期期末新定义压轴汇编7.双变量类新定义与应用一．基本原理这类题型的特点就是结构一致，多以双变量形式出现，且当把下标相同的双变量移到一起后每个变量的结构作用相同，目前多以构造函数比较大小的形式出现，例如：（1），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可.（2）：先去研究的单调性才行，去掉绝对值后成为.（3）已知设，则，即证为减函数.二．典例分析例1．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”.(1)判断函数，是否为“2利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数是“利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设，若是“2024利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，.证明：方程在区间上有解.解析：（1）由题知，函数，定义域为R，所以，所以函数是“2利普希兹条件函数”；函数，所以，当时，则，函数不是“2利普希兹条件函数”；（2）若函数是“利普希兹条件函数”，则对于定义域上任意两个，均有成立，不妨设，则恒成立，因为，所以，得，所以的最小值为2．（3）因为函数是“利普希兹条件函数”，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，由，得.因为是函数的零点，则，又是函数的零点，则，又，所以，而，故，设，，由，，得，由零点的存在性定理知函数在上有零点，方程在上有解.例2．如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质．(1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由；(2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质；(3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质．解析：（1）函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由如下：对于，任意，，故在R上具有“1级”性质；对于，，则，故在R上不具有“1级”性质；（2）函数在R具有“m级”性质，即对于任意，均有成立，故对任意的实数a，，则，设，则，（m为正整数），故函数具有“m级”性质；（3）函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，即对于任意，均有，对于任意，均有，故任取，若同时属于或，则成立；若中一个属于，另一个属于，不妨设，，则，综合上述，对于任意，均有，故函数在区间上具有“1级”性质．例3已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”.(1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数y=fx是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有.解析：（1）由题知，函数的定义域为，所以，即，所以函数是“利普希兹条件函数”；函数的定义域为，所以，，所以，所以函数是“利普希兹条件函数”；（2）若，当，则；若，设，则，所以对任意的，都有，因为函数是周期为的周期函数，所以对任意的，都存在，使得，，所以，综上可得对定义域内任意的，均有.例4．利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“利普希兹条件函数”.(1)判断函数，在上是否为“1利普希兹条件函数”；(2)若函数是“利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设，若存在，使是“2024利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.解析：（1）由题知，函数，定义域为，所以，所以函数在上是“1利普希兹条件函数”.函数，所以，当时，则，函数在上不是“1利普希兹条件函数”.（2）若函数是“利普希兹条件函数”则对于定义域上任意两个，均有成立，则恒成立因为，，所以，得，所以的最小值为1.（3）因为函数是“2024利普希兹条件函数”，所以在上恒成立，即在上恒成立，由，得原方程在上有两个不相等实根等价于①,在上有两个不相等实根令，，则①式等价于关于的方程在上有两个不相等实根，即，令,所以问题等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图.则，所以，又，所以使得以上不等式成立，所以.例5．设的定义域为R，若，都有，则称函数为“函数”．(1)若在R上单调递减，证明是“函数”；(2)已知函数．①证明是上的奇函数，并判断是否为“函数”（无需证明）；②若对任意的恒成立，求实数的取值范围．解析：（1）若在R上单调递减，则，即，即，整理得：，所以是“函数”．（2）①定义域为R，关于原点对称，，所以是上的奇函数．在R上单调递减，是“函数”.②是R上的奇函数，并为“函数”，在上单调递减，在上恒成立