黄金卷01（江苏专用）备战2025年高考数学模拟卷含答案及解析

试卷第=page22页，共=sectionpages2222页【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（江苏专用）黄金卷01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2．若复数是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.3．若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（）A.7 B.8 C.9 D.104．若函数为偶函数，则实数（）A.1 B. C. D.5．在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（）A.26 B.63 C.57 D.256.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点在上，若大于，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知，则（）A.3 B. C. D.28．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于直线对称C.函数在上单调递减D.将函数图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称10．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（）A. B.C. D.11．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（）A. B.C. D.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量，若，则实数__________13．已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________．14．双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．16．（15分）如图，在四棱柱中，四边形与四边形是面积相等的矩形，，，平面平面为的中点.（1）求点到平面距离的差；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17．（15分）函数的图象在处的切线为.（1）求的值；（2）求在上零点的个数.18．（17分）已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是．（1）求抛物线的方程；（2）若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求的取值范围；（3）设为抛物线的焦点，证明：若恒成立，则直线过定点19．（17分）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.（1）判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.（2）设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.（3）若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（江苏专用）黄金卷01·参考答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678DAABCDAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ACABCBCD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．0.464.14．2或四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（1）因为，由正弦定理，得，………2分即，即.………4分因为在中，，所以.………6分又因为，所以.………7分（2）因为的面积为，所以，得.………8分由，即，所以.………10分由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，所以的周长为.………13分16．（15分）（1）因为四边形是矩形，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，………2分因为平面，所以.在矩形中，，所以，因，所以，又平面，所以平面.………5分设，则点到平面的距离分别为，又，所以点到平面距离的差为.………7分（2）因为平面平面，所以，又，所以，又由矩形知，两两垂直，………9分以点为坐标原点，以直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以………10分设平面的一个法向量为，则，即，取，得，所以，………12分设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.………15分17．（15分）【详解】（1）因为，………2分所以，所以切线斜率为，即，所切线方程为………4分又，所以切点坐标为，代入得则，解得.………6分（2）由（1）得，令，则，当时，恒成立，所以在上递增，所以，因此在无零点；………10分当时，恒成立，所以单调递增，又，所以在上存在唯一的零点，………12分当单调递减；当单调递增；又，，因此在上仅有1个零点；综上，在上仅有1个零点.………15分18．（17分）【详解】（1）当点为时，设外接圆的半径为，，则，，中有，，，则，，即，，………3分设直线，与联立得，令，又，得，所以抛物线方程为；………5分（2）联立，整理得，解得或，………6分不妨设，，设，，则，，所以，又，，，………8分设，，则，故在上单调递减，在上单调递增，故，而，故的取值范围是；………10分（3）由得，设，，直线，，即，令，得，同理，，所以，………12分直线与直线两方程联立解得，得，又，由得，得，………14分设直线的方程为，与联立得，则，所以，则直线过定点.………17分18．（17分）【详解】（1）均是周期数列，理由如下：因为，所以数列是周期数列，其周期为1，………2分因为，所以.则，所以，所以数列是周期数列，其周期为6；………5分（2）由（1）可知，是周期为的数列，计算数列为：，故，………7分当时，，故；当时，，故；当时，，故；当时，，故；当时，，故；当时，，故；综上所述：存在，且.………10分（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即，所以，，即，所以，，即，所以数列是周期为的周期数列，………12分因为，即，因为，所以，，，所以数列的周期为，………15分所以，即，显然方程无解，所以，不存在非零常数，使得是周期数列.………17分【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（江苏专用）黄金卷01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可得：或，则.故选：D.2．若复数是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，有.故选：A3．若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】因为n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，，所以，二项式的通项公式为，令，所以常数项为，故选：A4．若函数为偶函数，则实数（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由函数为偶函数，可得，即，解之得，则，故为偶函数，符合题意.故选：B5．在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（）A.26 B.63 C.57 D.25【答案】C【解析】因为，所以，由题意可知：有唯一零点.令，可知为偶函数且有唯一零点，则此零点只能0，即，代入化简可得：，又，所以，，，，所以.故选：C6.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点在上，若大于，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因椭圆：，所以，，所以，所以，，因为点在上，所以，所以，，又，，所以，又，，所以，因为大于，所以，所以，解得，所以的取值范围是.故选：.7．已知，则（）A.3 B. C. D.2【答案】A【解析】因为，可得，且，则，可得，则，所以.故选：A.8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则，，，因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切，，则，则，过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则，则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于直线对称C.函数在上单调递减D.将函数图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称【答案】AC【解析】由函数的部分图象知，，，所以，又因为，所以；解得又因为，所以，所以；所以，选项A正确；时，，所以的图象不关于对称，选项B错误；时，函数单调递减，选项C正确；函数图象向左平移个单位，得，所得图象不关于y轴对称，选项D错误．故选：AC．10．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由题意可知：，可得.对于选项A：因为，则，所以，故A正确；对于选项B：因为，则，可得，所以，故B正确；对于选项C：因为，所以，故C正确；对于选项D：因为，所以，故D错误；故选：ABC.11．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于函数有，，则函数关于直线对称，由，则函数关于点对称，所以，所以得，则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数，因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图：由对称性可得，所以，故A不正确；由于，，所以，故B正确；又，，所以，故C正确；，且，因为，所以，故，所以，故D正确.故选：BCD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量，若，则实数__________【答案】【解析】，，解得.故答案为：13．已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________．【答案】①.0.4##②.64【解析】由题意可知：，即，所以；因为，且，所以.故答案为：0.4；64.14．双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______．【答案】2或【解析】记与渐近线的交点为，当一条渐近线斜率大于1时，根据题意，作图如下：，，故；则在△中，设，又，由余弦定理可得，解得，即；在△中，，又，故；又左焦点到直线的距离，即，又，故，则在圆上，即与圆相切；显然，则，又，又，故可得，根据对称性，，故，故三点共线，点是唯一的，根据题意，必为双曲线右顶点；此时显然有，故双曲线离心率为；同理，当一条渐近线斜率大于0小于1时，必为，此时有一条渐近线的倾斜角为，离心率为.故答案为：2或.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，由正弦定理，得，………2分即，即.………4分因为在中，，所以.………6分又因为，所以.………7分（2）因为的面积为，所以，得.………8分由，即，所以.………10分由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，所以的周长为.………13分16．（15分）如图，在四棱柱中，四边形与四边形是面积相等的矩形，，，平面平面为的中点.（1）求点到平面距离的差；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为四边形是矩形，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，………2分因为平面，所以.在矩形中，，所以，因，所以，又平面，所以平面.………5分设，则点到平面的距离分别为，又，所以点到平面距离的差为.………7分（2）因为平面平面，所以，又，所以，又由矩形知，两两垂直，………9分以点为坐标原点，以直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以………10分设平面的一个法向量为，则，即，取，得，所以，………12分设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.………15分17．（15分）函数的图象在处的切线为.（1）求的值；（2）求在上零点的个数.【答案】（1）（2）在上仅有1个零点【解析】（1）因为，………2分所以，所以切线斜率为，即，所切线方程为………4分又，所以切点坐标为，代入得则，解得.………6分（2）由（1）得，令，则，当时，恒成立，所以在上递增，所以，因此在无零点；………10分当时，恒成立，所以单调递增，又，所以在上存在唯一的零点，………12分当单调递减；当单调递增；又，，因此在上仅有1个零点；综上，在上仅有1个零点.………15分18．（17分）已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是．（1）求抛物线的方程；（2）若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求的取值范围；（3）设为抛物线的焦点，证明：若恒成立，则直线过定点【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）当点为时，设外接圆的半径为，，则，，中有，，，则，，即，，………3分设直线，与联立得，令，又，得，所以抛物线方程为；………5分（2）联立，整理得，解得或，………6分不妨设，，设，，则，，所以，又，，，………8分设，，则，故在上单调递减，在上单调递增，故，