2023-2024学年广东省河源市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省河源市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线与直线平行，则的斜率为（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】将直线化为斜截式可得，易知直线的斜率与直线的斜率相等，即的斜率为；故选：D2.若等差数列中，，则（）A.12 B.14 C. D.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则，解得；因此可得数列的通项公式为，所以.故选：A3.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据双曲线标准方程可知，由双曲线定义可得，又为左焦点，点是的左支上一点，所以，可得.故选：B4.已知点，，，则原点到平面的距离为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】易知，设平面的一个法向量为，则，解得，取可得；又，所以原点到平面的距离为.故选：A5.在高层建筑中，为了优化建筑结构，减少风荷载影响，设计师可能会将建筑设计成底面楼层高度比较高，随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状，已知某高层建筑共10层，第2层高度为，第层高度记为，是公比为的等比数列，若第层高度小于，则的最小值为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】由题意得，，则，故，由题意得，解得，即的最小值是4.故选：C.6.若圆上到直线的距离为的点恰好有3个，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由圆，可得圆心，则圆心到直线的距离为，要使得圆到直线的为的点恰好有3个，则，可得.故选：A.7.如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】在等边中，因为，可得的高为，所以，在直角中，可得，又因为分别为的中点，可得，在中，可得，所以.故选：B.8.若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】过点、分别作、垂直直线于点、，作的平分线与轴交于，由，故、，则，，由且为的平分线，故，故，又、，故与相似，故，由，令，则，故直线与轴交于点，故，，故，由，故，，故，，由椭圆定义可知，，故，即的长轴长为.故选：B.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（）A.1 B.2 C.8 D.9【答案】AD【解析】圆的圆心，半径，，显然点在圆外，由于圆与圆无公共点，则圆与圆可以外离，也可以内含，且圆在圆内，设圆的半径为，于是或，即或，解得或，所以圆的半径可以是1或9，即AD满足，BC不满足.故选：AD10.已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】对于A中，由，可得，则，当时，，所以A错误；对于B中，由，可得，则，所以B正确；对于C中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正确；对于D中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正确.故选：BC.11.已知数列是等差数列，都是正整数，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.不可能是等比数列C.不是等差数列 D.若，则【答案】AD【解析】由等差数列下标和性质，以及都是正整数，若，则都是正整数，且满足，所以，即A正确；当数列是非零的常数列时，例如满足是等差数列，也是等比数列，即B错误；不妨设数列的公差为，易知为定值，所以是公差为的等差数列，即C错误；由可得，可得，即D正确；故选：AD12.已知直线，抛物线与抛物线的焦点分别为，则（）A.存在，使得直线过点与B.存在，使得直线与各有1个公共点C.若过与的公共点，则与两准线的交点距离为D.与的交点个数构成的集合为【答案】ABD【解析】抛物线的焦点，准线，抛物线的焦点，准线，当时，直线过点与，A正确；由消去y得，由，得，此时直线与只有一个公共点，由消去x得，由，得，直线与只有一个公共点，因此当时，直线与各有1个公共点，B正确；抛物线与的公共点为和，当直线经过点时，直线的方程为，直线与交于点，与交于点，这两个交点间距离为，C错误；当时，，与的交点个数为0，当时，与的交点个数为2，当时，直线与的交点各有两个，而当或时，直线经过了的交点此时与的交点个数为3，当且且时，与的交点个数为4，因此与的交点个数构成的集合为，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题.13.椭圆的离心率为_______.【答案】【解析】椭圆的长半轴长，半焦距，所以椭圆的离心率.故答案为：14.已知点，，若直线的一个方向向量为，则_______.【答案】【解析】易知，显然方向向量与共线，即，解得，所以；因此可得；故答案为：15.已知正项数列满足，则_______.【答案】【解析】由可得，由累乘可得.故答案为：16.《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在中，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】根据题意可知，直线的方程为，由可得，所以直线的方程为，联立直线和的方程，可得；由圆与延长线、延长线及线段都相切，由对称性可得圆心在的平分线上，即上；如下图所示：设，且，由直线与圆相切可得，解得或（舍）；结合图形可知，此时圆心为，半径为；因此圆的标准方程为.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点，，直线与直线垂直.（1）求的值；（2）若圆经过点，且圆心在轴上，求点的坐标.解：（1）依题意，直线的斜率为，由直线垂直于直线，得，所以.（2）线段的中点坐标为，则线段的中垂线方程为，即，由圆经过点，得圆心在直线上，而圆心又在轴上，所以点的坐标为.18.已知数列的前项和为，.（1）若是等比数列且公比，求；（2）若是等差数列且，求的最小值.解：（1）设首项为，由题意得，且是等比数列，故，解得，则，（2）设首项为，公差为，且是等差数列，故，解得，故，，由二次函数性质得，当时，取得最小值，但一定为正整数，则当时，取得最小值，此时.19.如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）如图所示：连接BD，AC，因为底面是正方形，所以,又底面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）建立如图所示空间直角坐标系：则，，设平面PCD的一个法向量为：，则，即，令，得，则，设直线与平面所成的角为，则.20.已知双曲线经过点，且的一条渐近线的方程为.（1）求的标准方程；（2）若点是的左顶点，是上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线与的斜率之积.①关于原点对称；②关于轴对称.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）由题意得的一条渐近线的方程为，故，又，解得，故的标准方程为；（2）若选①，关于原点对称，由题意得，，，故，则，若选②，关于轴对称，由题意得，，，故，则，21.已知数列前项和为.（1）若，求和：；（2）若，证明：是等差数列.解：（1）由，得，即数列是等差数列，因此，则，所以.（2）由，得，当时，，两式相减得，即，显然有，两式相加得因此，即，成立，所以数列是等差数列.22.已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且.（1）求C的标准方程；（2）若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.解：（1）由题，，则直线的方程为，，，联立方程组，得，，，则，抛物线的方程为.（2）由（1），，，设直线MP的方程为，因为直线MN与FP的斜率之和为0，所以P与N关于y轴对称，，联立方程组，得，所以，，得，所以直线MP过定点，所以，所以，，，，，所以直线MP的方程为.广东省河源市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线与直线平行，则的斜率为（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】将直线化为斜截式可得，易知直线的斜率与直线的斜率相等，即的斜率为；故选：D2.若等差数列中，，则（）A.12 B.14 C. D.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则，解得；因此可得数列的通项公式为，所以.故选：A3.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据双曲线标准方程可知，由双曲线定义可得，又为左焦点，点是的左支上一点，所以，可得.故选：B4.已知点，，，则原点到平面的距离为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】易知，设平面的一个法向量为，则，解得，取可得；又，所以原点到平面的距离为.故选：A5.在高层建筑中，为了优化建筑结构，减少风荷载影响，设计师可能会将建筑设计成底面楼层高度比较高，随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状，已知某高层建筑共10层，第2层高度为，第层高度记为，是公比为的等比数列，若第层高度小于，则的最小值为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】由题意得，，则，故，由题意得，解得，即的最小值是4.故选：C.6.若圆上到直线的距离为的点恰好有3个，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由圆，可得圆心，则圆心到直线的距离为，要使得圆到直线的为的点恰好有3个，则，可得.故选：A.7.如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】在等边中，因为，可得的高为，所以，在直角中，可得，又因为分别为的中点，可得，在中，可得，所以.故选：B.8.若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】过点、分别作、垂直直线于点、，作的平分线与轴交于，由，故、，则，，由且为的平分线，故，故，又、，故与相似，故，由，令，则，故直线与轴交于点，故，，故，由，故，，故，，由椭圆定义可知，，故，即的长轴长为.故选：B.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（）A.1 B.2 C.8 D.9【答案】AD【解析】圆的圆心，半径，，显然点在圆外，由于圆与圆无公共点，则圆与圆可以外离，也可以内含，且圆在圆内，设圆的半径为，于是或，即或，解得或，所以圆的半径可以是1或9，即AD满足，BC不满足.故选：AD10.已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】对于A中，由，可得，则，当时，，所以A错误；对于B中，由，可得，则，所以B正确；对于C中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正确；对于D中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正确.故选：BC.11.已知数列是等差数列，都是正整数，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.不可能是等比数列C.不是等差数列 D.若，则【答案】AD【解析】由等差数列下标和性质，以及都是正整数，若，则都是正整数，且满足，所以，即A正确；当数列是非零的常数列时，例如满足是等差数列，也是等比数列，即B错误；不妨设数列的公差为，易知为定值，所以是公差为的等差数列，即C错误；由可得，可得，即D正确；故选：AD12.已知直线，抛物线与抛物线的焦点分别为，则（）A.存在，使得直线过点与B.存在，使得直线与各有1个公共点C.若过与的公共点，则与两准线的交点距离为D.与的交点个数构成的集合为【答案】ABD【解析】抛物线的焦点，准线，抛物线的焦点，准线，当时，直线过点与，A正确；由消去y得，由，得，此时直线与只有一个公共点，由消去x得，由，得，直线与只有一个公共点，因此当时，直线与各有1个公共点，B正确；抛物线与的公共点为和，当直线经过点时，直线的方程为，直线与交于点，与交于点，这两个交点间距离为，C错误；当时，，与的交点个数为0，当时，与的交点个数为2，当时，直线与的交点各有两个，而当或时，直线经过了的交点此时与的交点个数为3，当且且时，与的交点个数为4，因此与的交点个数构成的集合为，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题.13.椭圆的离心率为_______.【答案】【解析】椭圆的长半轴长，半焦距，所以椭圆的离心率.故答案为：14.已知点，，若直线的一个方向向量为，则_______.【答案】【解析】易知，显然方向向量与共线，即，解得，所以；因此可得；故答案为：15.已知正项数列满足，则_______.【答案】【解析】由可得，由累乘可得.故答案为：16.《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在中，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】根据题意可知，直线的方程为，由可得，所以直线的方程为，联立直线和的方程，可得；由圆与延长线、延长线及线段都相切，由对称性可得圆心在的平分线上，即上；如下图所示：设，且，由直线与圆相切可得，解得或（舍）；结合图形可知，此时圆心为，半径为；因此圆的标准方程为.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点，，直线与直线垂直.（1）求的值；（2）若圆经过点，且圆心在轴上，求点的坐标.解：（1）依题意，直线的斜率为，由直线垂直于直线，得，所以.（2）线段的中点坐标为，则线段的中垂线方程为，即，由圆经过点，得圆心在直线上，而圆心又在轴上，所以点的坐标为.18.已知数列的前项和为，.（1）若是等比数列且公比，求；（2）若是等差数列且，求的最小值.解：（1）设首项为，由题意得，且是等比数列，故，解得，则，（2）设首项为，公差为，且是等差数列，故，解得，故，，由二次函数性质得，当时，取得最小值，但一定为正整数，则当时，取得最