2024-2025学年北京西城区高三（上）期末数学试卷（含答案）

第1页/共11页2025北京西城高三（上）期末数学本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，，那么集合 A. B. C. D.2.设为虚数单位，，且，则 A. B. C. D.3.下列函数中，值域为且为奇函数的是 A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则 A. B. C. D.5.过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是 A. B. C. D.6.在中，则“”是“是直角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足 A. B. C. D.8.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则 A. B. C. D.9.若实数满足，则 A. B. C. D.10.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则 A.是平行四边形，且周长为 B.是平行四边形，且周长为 C.是等腰梯形，且周长为 D.是等腰梯形，且周长为第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.抛物线的准线方程为_________.12.在中，若，，，则_________.13.若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是_________，且此时常数项等于_________.（用数字作答）14.折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是_________，_________.15.已知无穷数列满足.给出下列四个结论：①存在，使得集合中有无穷多个元素；②存在，使得集合中有有限个元素；③对于任意的，集合中至多有一个元素；④当时，集合.其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的大小.17.（本小题13分）已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值.条件①：；条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为；条件③：函数的一个零点为.注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题14分）为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：男生女生选择不选择选择不选择排球50505030篮球25751565足球7525575乒乓球10901070假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率.（Ⅰ）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误.结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿；结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20.（Ⅱ）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明）19.（本小题15分）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.20.（本小题15分）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的方程；（Ⅱ）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；（Ⅲ）若函数有两个零点，且，求的取值范围.

21.（本小题15分）已知数列为个数的一个排列，其中，且.若在集合中至少有一个元素使得，则称数列具有性质.（Ⅰ）当时，判断数列和数列是否具有性质；（Ⅱ）若数列和均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列不具有性质；（Ⅲ）在所有由的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，.

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）D （ 4 ）A （ 5 ）C （ 6 ）A （ 7 ）B （ 8 ）A （ 9 ）D （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12） （13）（答案不唯一） （14） （15）=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④注：（13）（14）题第一空3分，第二空2分；（15）题全部选对得5分，有两个选对且无错选得4分，有一个选对且无错选得3分，其他得0分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）如图，取的中点，连接，． 由分别为的中点，得，且.………………1分又因为，且，所以，且.故四边形为平行四边形.所以.………………3分又因为平面，平面，所以平面． ………………5分（Ⅱ）由平面，得，.又因为，，平面，所以平面，所以，故两两互相垂直．如图建立空间直角坐标系，则，，，，，因此，． ………………7分设平面的法向量为，则即………………8分令，则．于是． ………………9分同理，可得平面的一个法向量.………………10分设二面角的平面角为，则． ………………12分由图知为锐角，所以二面角的大小为． ………………13分 （17）（本小题13分）解：（Ⅰ）选条件①②：由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，得最小正周期.…2分由，，得.………………4分 由，，得. 所以. ………………8分选条件②③：由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，得最小正周期.…2分由，，得.………………4分因为的一个零点为，即，所以，即.由，得. 所以.………………8分（Ⅱ）由，得，其中.………10分所以是函数的一个单调减区间.………………11分又因为函数在区间上单调递减，所以的最大值为.………………13分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）结论正确，结论不正确． ………………3分（Ⅱ）高一男生选择排球课的概率估计为，高一女生选择排球课的概率估计为.………………5分随机变量的所有可能取值为 则，，， ………………8分 所以的分布列为:3……………9分故………………11分（Ⅲ）………………14分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意，得………………3分解得． 所以椭圆的方程为．………………5分（Ⅱ）直线的方程为．………………6分当时，线段的垂直平分线为………………7分当时，设，由得．则，，.…………9分所以，故线段的中点坐标为.………………10分所以线段的垂直平分线的方程为.则点.………………11分由题意知线段和互相垂直平分，故所以欲使．………………12分所以………………13分.即.．………………15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，所以.………………1分则，，故曲线在点处切线的方程是.………………3分（Ⅱ）若，则，其定义域为.“曲线总在直线的下方”等价于“，”，即等价于“，”.设函数，，则.……………6分令，解得，当变化时，与的变化情况如下表：↗极大值↘所以函数在上单调递增，在上单调递减.………………8分故对任意的，，即曲线总在直线的下方.………………9分（Ⅲ）函数的定义域是，且.令，得.当变化时，与的变化情况如下表：↗极大值↘所以函数在上单调递增，在上单调递减.………11分当，即时，根据的单调性，知，且，有.所以恰有一个零点，不符合题意.………………12分当，即时，根据的单调性，知，由有两个零点，且满足，得，，又因为此时，所以，且，解得.……………13分当，即时，根据的单调性，知，由有两个零点，且满足，得，，所以，即.综上，的取值范围为.………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）数列不具有性质，数列具有性质.………………2分（Ⅱ）设等差数列的公差为，则.由，得.所以公差.若，则.不符合题意.所以，，其中.………………5分同理，可得.………………6分因为为奇数，为偶数，所以和中一个为奇数一个为偶数，所以对于任意，不可能等于偶数，即对于所有的偶数m，数列不具有性质.………………8分（Ⅲ）设数列为任意一个不具有性质的数列，因为为的一个排列，所以在中有且仅有一项，使得.………10分在数列中，将项移到项的前面，其余项的顺序