第六章 导数及其应用 B卷 单元测试卷（含解析） 高二数学人教B版(2019)选修三

第六章导数及其应用（B卷能力提升）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.曲线在点处的切线也为的切线，则()A.0 B.1 C. D.22.已知在区间上有极小值，则实数m的取值范围是()A. B. C. D.3.已知是定义在R上的函数，是的导函数，若，且，则不等式的解集为()A. B. C. D.4.已知，，，则()A. B. C. D.5.若函数恰有两个零点，则实数t的取值范围是()A. B.C. D.6.已知正三棱锥的高为，且各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，则三棱锥体积的最大值是()A. B. C. D.7.定义满足方程的叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是()A. B.C. D.8.已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为()A.3 B.4 C.5 D.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.定义在R上的函数，若存在函数（a，b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数，下列命题中正确的有()A.函数是函数的一个承托函数B.函数是函数的一个承托函数C.若函数是函数的一个承托函数，则a的取值范围是D.值域是R的函数不存在承托函数10.已知函数，则下列说法正确的是()A.B.函数在上的最大值为4C.若函数在上的最大值为4，则D.若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为11.对于函数，下列说法正确的有()A.在处取得极大值B.有两个不同的零点C.D.若在上恒成立，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数满足，且当时，，则曲线在点处的切线的斜率为___________.13.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是___________.14.已知函数，若对于任意的，都有，则实数a的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知函数.（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.16.（15分）已知函数，为的导数，证明：（1）在区间上存在唯一的极大值点；（2）有且仅有2个零点.17.（15分）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在正数a，b，且a为函数大于1的零点，b为函数的极值点.（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）证明：.18.（17分）已知曲线与曲线关于坐标原点O对称.（1）求函数的解析式.（2）设曲线在点处的切线方程为，证明：.（3）当时，，证明：.19.（17分）已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式恒成立，求整数a的最大值.

答案以及解析1.答案：C解析：由得，则曲线在点处的切线斜率为1，切线方程为.设直线与曲线相切的切点为，对求导得，于是得解得所以.2.答案：D解析：因为，当时，，当或时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为.因为在上有极小值，所以，解得.故选D.3.答案：D解析：由，得，设，则，所以函数在R上单调递增，因为，所以，所以不等式等价于，即，所以，解得，所以不等式的解集为.4.答案：B解析：因为，，所以设a，b分别是，在时所对应的函数值.设，则，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即.同理可证，所以.当时，可得，即，即.又，所以.5.答案：A解析：令，即，所以，即关于x的方程有两个不相等的实数根.令，则函数的图象与直线有两个交点，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，，则，当时，，则，所以，解得，即.故选A.6.答案：B解析：如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h，由题意得，，解得，该三棱锥为正三棱锥，，，，令，由，可得或（舍去），当时，，当时，，在单调递增，在单调递减，，.故选B.7.答案：D解析：对于A选项，，则，由，即，，因此，存在“自足点”，A选项满足条件；对于B选项，，则，由，可得，其中，令，则在上单调递增，又，，所以函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件；对于C选项，，则，其中，因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件；对于D选项，，则，由，可得，因为，，所以，所以方程无实解，D选项不满足条件.故选D.8.答案：B解析：，且对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.令，则，当时，，所以函数在上单调递增.因为，，所以方程在上存在唯一实数根，且满足.当时，，即；当时，，即.所以函数在上单调递减，在上单调递增.又，所以，故，所以.又，所以.故整数k的最大值是4.故选B.9.答案：BC解析：因为当时，，所以对一切实数x不一定都成立，故A错误.令，则恒成立，所以函数是函数的一个承托函数，故B正确.令，则，若，由题意知，结论成立.若，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得极小值，也是最小值，为.因为是函数的一个承托函数，所以，所以，所以.若，当时，，故不成立.综上所述，当时，函数是函数的一个承托函数，故C正确.不妨令，，则恒成立，故是的一个承托函数，故D错误.故选BC.10.答案：ACD解析：，，故A正确：，令，得0或，当时，，当时，，当时，，在和上单调递减，在上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，函数在上的最大值为20，故B错误；令，即，又，，即，解得或，函数在上的最大值为4，，故C正确；关于x的方程在上有两个不相等的实数根，即直线与函数的图象有两个不同的交点，，，，结合二次函数的图象知，，故D正确.故选ACD.11.答案：ACD解析：函数定义域为，对于A，，令，可得；令，可得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得极大值，故A正确.对于B，令，可得，因此只有一个零点，故B不正确.对于C，显然，由在上单调递减，可得.因为，所以，故C正确.对于D，在上恒成立等价于在上恒成立，令，则，易知，当时，；当时，.所以在时取得极大值，也是最大值，最大值为，所以，故D正确.故选ACD.12.答案：16解析：由可得，当时，，则，即，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为.13.答案：解析：令，得.设，则方程即，，所以在上单调递增，在上单调递减，，易知当时，，当时，，且当时，，当时，，作出的大致图象如图所示.数形结合可得，且方程在上有两个不同的实数根.解法一：由，得或.当时，，此时方程在上至多有一个实数根，不合题意，故.设方程在上的两个实数根分别为，，则，所以需，得，故实数a的取值范围是.解法二：设方程的两个不同的实数根分别为，（），则，或，.①当，时，由，得，则在上有两个不同的实数根即在上有两个不同的实数根，由，得或，与，矛盾.②当，时，若方程在上有两个不同的实数根，则，解得.14.答案：解析：对于任意的，都有，即，令，则，且对于任意的，都有.当，时，，，所以，所以在上单调递减，所以，符合题意；当，时，令，则，令，得.当时，，所以当时，，在上单调递减，所以当时，，即，所以在上单调递增，，这与矛盾，不符合题意；当时，，所以当时，，单调递增，，即，所以在上单调递减，，符合题意.综上，实数a的取值范围是.15.答案：（1）最大值为，最小值为（2）解析：（1）易得，令，则或（舍去）.当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为.又，，，所以当时，取得最小值，最小值为.故在上的最大值为，最小值为（2）易知的定义域为，故不等式可化为.记，则原不等式有解可转化为.易得，令，则，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，于是，解得.所以实数a的取值范围为.16.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）证明：设，则，.当时，单调递减，而，，可得在上有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.故在上存在唯一的极大值点，即在上存在唯一的极大值点.（2）证明：的定义域为.①当时，由（1）知，在上单调递增，而，所以当时，，故在上单调递减.因为，所以是在上的唯一零点.②当时，由（1）知，在上单调递增，在.上单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以当时，.所以在上没有零点.③当时，，所以在上单调递减，而，，所以在上有唯一零点.④当时，，所以，所以在上没有零点.综上所述，有且仅有2个零点.17.答案：（1）函数的单调递减区间为，无单调递增区间（2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析解析：（1）依题意，函数的定义域为，，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）（ⅰ）由（1）可知，令，，则.因为在上恒成立，所以函数在上单调递减，当时，由（1）可知，函数在上单调递减，所以函数不存在极值点，不符合题意；当时，，所以当时，，则，所以函数在上单调递减.因为，所以当时，，所以函数不存在大于1的零点，不符合题意；当时，，因为，，所以存在，满足，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数存在极值点.因为，，所以，此时，且，即函数存在大于1的零点，此时实数m的取值范围为.（ⅱ）证明：依题意即所以，即.因为在上恒成立，且，，即，所以，即，两边取对数得，则，所以.18.答案：（1）（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）设为曲线上任一点，则关于坐标原点O对称的点在曲线上，所以，则，故函数的解析式为.（2）证明：易知，，则，所以曲线在点处的切线方程为.令，则.设，则.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.又，，且当时，，所以当时，；当时，.则在上单调递减，在上单调递增，所以，故.（3）证明：由（2）得.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又当时，；，所以由当时，，得，且.在切线上取一点，则，所以.由（2）知，当时，，则.根据单调性可知，则.要证，只需证，即证.又，所以只需证在上恒成立.令，则.令，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故在上单调递增，则.故.19.答案：（1）（2）见解析（3）解析：（1）函数的定义域为R，，则.因为曲线在点处的切