第五章 数列 B卷 单元测试卷（含解析） 高二数学人教B版(2019)选修三

第五章数列（B卷能力提升）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列为等差数列，且满足，，则的值为()A.2033 B.2123 C.123 D.02.已知数列满足，则()A. B. C. D.3.已知在数列中，（且），设为的前n项和.若，则()A.8 B.12 C.16 D.364.已知等比数列的各项均为正数，且，，则使得成立的正整数n的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.115.某公司为庆祝公司成立九周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“九年耕枟，硕果累累”8个字.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米高度至少要经过()A.3分钟 B.4分钟 C.5分钟 D.6分钟6.若对于数列，，都有（t为常数）成立，则称数列具有性质.已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.已知在无穷数列中，，，…，是首项为10，公差为-2的等差数列，，，…，是首项为，公比为的等比数列（，），对任意，均有成立.若，则m的所有可能取值的个数为()A.4 B.5 C.6 D.78.设是等比数列的前n项和，若，，则()A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为.下列说法正确的是（）A.数列为等差数列 B.若，，则C.数列为等比数列 D.若，则数列的公比为210.已知数列，下列结论正确的有()A.若，，则B.若，，则C.若，则数列是等比数列D.若，，则11.对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是()A.若，则B.若，则C.若，数列的前n项和为，则D.若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列的前n项和为，若，则_________.13.记为等差数列的前n项和，若，，则____________.14.已知各项都为整数的数列中，，且对于任意的，满足，，则___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知是首项为1的等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和.16.（15分）在数列中，且.（1）证明：是等差数列.（2）设的前n项和为，证明：.17.（15分）已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列，（1）证明：数列是等比数列.（2）求和的通项公式.（3）在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前60项的和.18.（17分）已知数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，若存在，使，求实数m的取值范围.19.（17分）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.(1)已知为“线性数列”，且，，，，证明：数列为等比数列.(2)已知.(i)证明：数列为“线性数列”.(ii)记，数列的前n项和为，证明：.

答案以及解析1.答案：D解析：设等差数列的公差为d，则，所以，故选D.2.答案：D解析：①，当时，②，则①-②得，，故.当时，，也符合，故选D.3.答案：B解析：在数列中，（且），（且），数列是公差的等差数列.为的前n项和，，，解得，.4.答案：C解析：设等比数列的公比为q，，且.由题意得两式相除得，则，所以，故.显然当时，不成立，所以且，则，即，则，故正整数n的最小值为10.故选C.5.答案：B解析：设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意可得（，），.所以前n分钟热气球上升的总高度，因为，所以数列为单调递增数列，又，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米高度，故选B.6.答案：C解析：依题意，得，故，.因为，所以，整理得.令，则对任意的恒成立，所以数列为递增数列，（另解：，所以数列为递增数列）则，所以，即的取值范围为.故选C.7.答案：A解析：因为，，…，是首项为10，公差为的等差数列，所以，.，，…，是首项为，公比为的等比数列，所以，.因为，且只可能是等比数列中的项，所以，所以，所以，且.因为对任意，均有成立，所以数列是以2m为周期的数列，所以，即.当时，，即m的所有可能取值有4个.故选A.8.答案：B解析：设等比数列的公比为q，若，则，矛盾，所以，故，则，所以，，因此，故选：B.9.答案：ACD解析：对于A，令等差数列公差为d，则，，为常数，数列为等差数列，A正确；对于B，等差数列中，，，成等差数列，则，解得，B错误；对于C，令等比数列的公比为q，则，为常数，数列为等比数列，C正确；对于D，等比数列的公比为q，由，得，则，而，解得，D正确.故选：ACD.10.答案：AB解析：选项A，由，得，，故A正确；选项B，由，，得，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，即，所以，故B正确；选项C，由，得当时，，当时，，当时，，显然，所以数列不是等比数列，故C错误；选项D，由，可得，即，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，则，故，D错误.故选AB.11.答案：ABD解析：A.，；B.，，；C.，，又时，，D.，，，…，，，，，，，，.又时也成立，，.又，，综上，故选：ABD.12.答案：5解析：在①中，令可得，即.当时，②，由①-②得，，即③，所以④.由④-③得，，所以数列的周期为2，所以.13.答案：8解析：设等差数列的公差为d，因为，，可得，解得，，则，所以.故答案为：8.14.答案：解析：因为，所以，两式相加得.又，且数列的各项都为整数，所以.又，所以.15.答案：（1）；（2）解析：（1）设等比数列的公比为q，，因为，，成等差数列，所以，即，化简可得，解得.又，所以数列的通项公式为.（2）因为，所以，则，①，，②①-②得，所以.16.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：因为，所以，所以，所以是公差为1的等差数列.（2）因为，所以，由（1）知，则.设，则，所以，则.所以.17.答案：（1）证明见解析；（2），（3）3326解析：（1）数列中，，则，而，所以数列是等比数列，其首项为，公比为4.（2）由（1）知，，，所以数列的通项公式为；设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，即，则有，又，即，于是，所以数列的通项公式为.（3）依题意，数列中，前有数列中的前k项，有数列中的前项，因此数列中，前共有项，当时，，当时，，因此数列的前60项中有数列中的前10项，有数列中的前50项，所以.18.答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，即，因为，所以，所以数列是以12为首项，3为公比的等比数列，所以，则.（2）由（1）知，所以.当n为偶数时，，因为是单调递减的，且，所以.当n为奇数时，，又是单调递增的，且，所以.要使存在，使，只需，即，故实数m的取