小学奥数讲义-等差数列的认识与公式运用

目隔

助3方

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表

示。要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。

娜谀嘉拨

一、等差数列的定义

（1）先介绍一下一些定义和表示方法

定义：从第二项起,每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数

列.

冬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3,递增数列

100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5,递减数列

⑵首项：一个数列的第一项,通常用4表示

末项：一个数列的最后一项，通常用表示,它也可表示数列的第〃项。

项数：一个数列全部项的个数,通常月〃来表示；

公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示；

和:一个数列的前〃项的和，常用5“来表示.

二、等差数列的相关公式

（1）三个重要的公式

①通项公式：递增数列：末项=首项+（项数-1）x公差=4-l）x"

递减数列：末项=首项-（项数-l）x公差，4=4-（〃-l）xd

回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其

实就是首项加上（末项与首项的）间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个有

用的公式：an-am=（.n-m'）xdSn>ni）

②项数公式：项数=（末项-首项）+公差+1

由通项公式可以得到：〃=（%-o））+d+l（若〃“>%）:〃=（%-%）+4+1（若

找项数还有一种配组的方法，其中运月的思想我们是常常用到的.

髻如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46,

分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、、（46、47、48）,注意等差是3,

那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位,4到48有48-4+1=45

项，每组3个数,所以共45+3=15组，原数列有15组.当然还可以有其他的配组方法.

③求和公式：和=（首项+末项）x项数+2

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：

（思路1）1+2+3++98+99+100

=0+100）+（2+99）+6+98）+…+（50+51）=101x50=5050

―共5&不101-

（思路2）这道题目，还可以这样理解：

和=1+2+3+4+••-+98+99+100

和=100+99+98+97++3+2+1即，和

-=101+101+101+101+.+101+101+101

=（100+1）x1004-2=101x50=5050

（2）中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与

末项和的一半；或者换句话说，各项和等亍中间项乘以项数.

等如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）x9+2=20x9=1800,

题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20x9;

②65+63+61+…+5+3+1=（1+65）x33+2=33x33=1089,

题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33x33.

【例微隔脑

模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用

等差数列的基本认识

［例1］下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①,610,14,18,22,…,98；

②1,2,1,2,3,4，,6；

③1,2,4,8,1632,64；

④9,8,70,5,4,3,2；

⑤,33,3,3,3,30,3；

@1,0,1,0,/,0,1,0；

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】解答

【解析】①是，公差d=4.

②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

③不是，国为4-2,2-1.

④是，公差d=l.

⑤是，公差J=0.

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【答案】①是,公差占4.

②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

③不是，因为4-2*2-1.

④是，公差d=l.

⑤是，公差J=0.

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【例2］小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗?

（1）3、4、5、6、....76、77、78

（2）2、4、6、8、....96、98、100

（3）1、3、5、7、.......87、89、91

（4）4、7、10、13、....40、43、46

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算

【解析】（1）连续的自然数列,3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、

6、7、8...........，发现它的项数比对应数字小2,所以78是第76项，那么这个数列就有76项.对

于连续的自然数列，它们的项数是：末项一首项+1.

（2）如果添上此数列所抉的一些奇数，就变成了1、2、3、4、5、6、7、8.............95、96、97、

98、99、100,可知这个数列是100项.让它们两两结合有：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）...........

（95、96）、（97、98）、（99、100），奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比

奇数大，同学们一看就知道，共有100+2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了.这

样的方法我们称为“添数配组法”.

（3）利用“添数配组法”得：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）............（87、88）、（89、90）、（91、

92）,1〜92有92项，每组2项,那么可以得到92+2=46组，所以原数列有46项.

（4）利用“添数配组法”得：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）.............（46、

47、48），注意每两项的差是3，那么每组有3个数，数列中的数都在每组的第1位，所以46应

在最后一组第1位,4到48有48-4+1=45项，每组3个数,所以共45+3=15组，原数列有15

项.当然，我们还可以有其他的配组方法.

【答案】（1）76（2）50（3）46（4）15

【巩固】1,3,5,7,……是从1开始的奇数淇中第2005个奇数是o

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题,6分

【解析】2x2005-1=4009

【答案】4009

［例3］3+12、6+10、12+8、24+6、48+4...........是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式

的计算结果是o

【考点】等差数列的基本认识【难度】1星【题型】埴空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题,6分

【解圻】规律是，第一个加数是公比为2的等比数列，第二个加数是差为2的等差数列，所以第六个式子是

96+2=98

【答案】98

【例4］把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算

【解析】该薮列为等差数列,首项为101,公差为2,第21个数的项数为21.则101+（21-1）x2=141

【答案】141

【巩固】2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算

【解圻】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。末项=2+（21-1）x3=62

【答案】62

［例5］已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？

【考点】等差数列的基本认识【难度】3星【题型】计算

【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191

【答案】191

【巩固】一个数列共有13项，每一项都比它的前一项多7,并且末项为125,求首项是多少？

【考点】等差数列的基本认识【难度】3星【题型】计算

【解析】把数列列出来:125,118,111,104,97,90,83,76,69,62,55,48,41

【答案】41

【巩固】在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列,其中10、16已经填好，这12

个数的和为o

□□□□□圆□□回□□□

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算

【关健词】杯,3年级

【解圻】由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题出给出的两个数10和16知：公差为2,那么第一个方

格填26,最后一个方格是4,由等差数列求和公式知和为：（4+26）x12+2=180。

【答案】180

【例6】从1开始的奇数：1,3,5,7,……其中第100个奇数是。

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算

【关健词】希望杯,4年级,1试

【解析】略

【答案】199

【例7］观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知。=。

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算

【关键词】希望杯，四年级，二试

【解析】19+18=37,37+18=55,所以〃=55+18=73

【答案】73

等差数列公式的简单运用

［例8］2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一

个.

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解圻】方法一：利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数

的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320+5=64,因相邻偶数相差2,故这五个偶数

依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.

方法二：5个连续偶数求和，我们不妨可以把这5个数用字母表示记作：工-4、x-2.x、x+2.

x+4.那么这5个数的和是5x=320,x=64,进而可得这五个偶数依次是60、62、64、

66、68,其中最小的是60.请教师引导学生体会把中间数表示为x的便利，如果我们把最

大或最小的数看成”,那么会怎样呢？

【答案】60

【巩固】I、3、5、7、9、11、.是个奇数歹!1,如果其中8个连续奇数的和是256,那么这8个奇数中最大的

数是多少？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解析】我们可以找中间的两个数其中一个为y,那么这8个数为：

y-6,y-4,y-2,y,y+2,y+4,y+6,y+8,根据题意可得：8），+8=256,所以丁=31,最大的奇数

是y+8=39.

【答案】39

【巩固】1、4、7、10、13、…这个数列札有6个连续数字的和是159,那么这6个数中最小的是几？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解听】设这个数为：x-6,x-3,x,x+3,x+6,x+9,它们的和是6x+9=159,所以4=25,那么最小数为

19.

【答案】19

［例9］在等差数列6,13,20,27,…中，从左向右数，第_______个数是1994.

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】填空

【解析】每个数比前一个数大7,根据求通项4=4+(〃-1时的公式得〃=(%-4)+d+l,列式得：

(1994-6)4-7=284

284+1=285

即第285个数是1994.

【答案】285

【巩固】5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解祈】它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第〃项=首项+公差火〃一1),所以，第201项

=5+3x(201—1)=605,对于数列5,8,11,,65,一共有：—=(65-5)+3+1=21,即65是第21项.

【答案】无限多项：第201项是605:65是第21项

【巩固】对于数列4、7、10、13、16、19....第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第

50项的差是多少？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解圻】可以观察出这个数列是公差为3的等差数列.根据刚刚学过的公式：

第〃项=首项+公差x(〃一D,项数二(末项一首项)+公差+1,第〃项一第〃?项=公差*(〃一6)

第10项为：4+3x(10-1)=4+27=31,49在数列中的项数为：(49-4)+3+1=16

第100项与第50项的差：3x(100-50)=150.

【答案】第10项是31:49是第16项；第100项与第50项的差事150

【巩固】已知数列0、4、8、12、16、20、...，它的第43项是多少？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解析】第43项0+4x(43—1)=168.

【答案】168

【巩固】聪明的小朋友们,PK一下吧.

(1)3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？它的第102项是多少？

⑵0、4、8、12、16、20>....，它的第43项是多少？

⑶已知等差数列2、5、8、11、14……，问47是其中第几项？

⑷已知等差数列9、13、17、21、25.......，问93是其中第几项？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解沂】⑴它是一个无限数列，所以项数有无限多项.

第八项=首项+公差x(〃-D,所以，第102项=3+2(102-1)=205;

(2)第43项=0+4(43-1)=168.

⑶首项=2,公差=3,我们可以这样看：2、5、8、11、14…、47，那么这个数列有：

“=47-2)+3+1=16,(熟练后，此步可省略)，即47是第16项.其实求项数公式,也就是求第几

项的公式.

(4)w=(93-9)4-4+1=22.

【答案】⑴无限多项；205(2)168(3)16(4)22

【例10］⑴如果一个等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.

⑵如果一个等差数列的第3项为16,第11项为72,求它的第6项.

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解圻】⑴要求第8项，必须知道首项和公差.第6项-第4项=(6-4)x公差，所以，

公差=6;第4项=首项+3x公差，21=首项+3x6,所以，首项=3;

第8项=首项+7x公差=45.

⑵公差=7,首项=2,第6项=37.

【答案】⑴45(2)37

【巩固】已知一个等差数列第8项等于50,第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解析】71-50=21。2R(15-8)=3(公差)。50=首项+(8-1)x3。所以首项=29

【答案】29

【巩固】如果一等差数列的第4项为21,第10项为57,求它的第16项.

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】3星【题型】计算

【解听】要求第16项，必须知道首项和公差.第10项一第4项=(10-4)x公差，所以，公差=6：

第4项=首项+3x公差，21=首项+3x6,所以，首项=3;第16项=首项+15x公差=93.

【答案】93

等差数列的求和

【例11】一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少？

【考点】等差数列的求和【难度】2星【题型】计算

【解析】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数即为：8x7=56.

【答案】56

【巩固】有20个数，第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3.这20个数相加，和是多少？

【考点】等差数列的求和【难度】3星【题型】计算

【解析】末项是：9+(20—Dx3=66,和是：(9+66)x20-2=750

【答案】750

【巩固】求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和.

【考点】等差数列的求和【难度】3星【题型】计算

【解析】末项是：13+5x(30—1)=158,和是：(13+158)x304-2=2565

【答案】2565

【例12】15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？

【考点】等差数列的求和【难度】3星【题型】计算

【解析】由中项定理，中间的数即第8个数为：1995+15=133,所以这个数列最大的奇数即第15个数是:

133+2x(15-8)=147

【答案】147

【巩固】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么，第1个

数与第6个数分别是多少？

【考点】等差数列的求和【难度】3星【题型】计算

【解圻】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为210+7=30,所以，这7个数分

别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.

【答案】40

【例13】小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算了其中的

一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小lo小马虎求和时漏掉的

数是o

【考点】等差数列的求和【难度】3星【题型】计算

【关键词】希望杯,4年级,1试

【解圻】少的这个数应该给每一个数都补上1,才能使结果正确，共要补上2006,因此这个漏掉的数是2006。

【答案】2006

模块二、等差数列的运用(提高篇)

【例14］已知数列：2,1,43,6,5,8,7,，问2009是这个数列的第多少项？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解圻】偶数项的排列规律是：1、3、5、7,--

奇数项的排列规律是：2、4、6、8,

方法一：可以看出两个数列都是等差数列.由于2009是奇

数，所以在偶数项数列中，它的项数是：(2009+1)+2=1005,所以在整个数列中,2009的项数是

1005x2=2010,所以2009是这个数列的第2010项.

方法二：仔细观察能发现,在整个数列中，奇数的项数是该数+1,偶数的项数是该数+2,所以2009是

这个数列的第2009+1=2010项.

【答案】2010

【巩固】己知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2(X)0个数是多少？第2003个数是多

少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解圻】奇数项的排列规律是：2、4、6、8,

偶数项的排列规律是：3、6、9、12,

可以看出奇数项与偶数项都成等差数列,先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数：第2000

个数在偶数项等差数列中是第2000+2=1000个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第

(2003+1)+2=1002个数，所以第2000个数是3+(1000-1)x3=3000,第2003个数是

2+(1002-1)x2=2004.

【答案】2004

【例15)已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、，试问:

⑴15是这样的数列中的第几个到第几个数？

⑵这个数列中第100个数是几？

⑶这个数列前100个数的和是多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解析】分析可得下表：数：1234567141516

个数：2468101214283032

(1)2+4+6++28=210,所以15是第211个到240个

(2)在这个数列中前9组的个数是：2+4+6++18=90(个)

这个数列前10组的个数是：2+4+6++20=110(个)

而90v100v110,所以第100个数是第10组中的数，是10

(3)这个数列中前100个数的和是：Ix2+2x4+3x6++9x18+10x10=670

【答案】⑴第211个到240个(2)10(3)670

［例16］有一列数：/,2,4,7,17,16,22,29,37,，问这列数第1001个数是多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】4星【题型】计算

【解圻】从题目中可以看出第二个数与第一个数差1,第三个数与第二个数相差2,第四个数与第三个数相差

3,……，依此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加1,因此有以下规律：

第1个数：1=1,

第2个数：2=1+1,

第3个数：4=2+2=1+14-2,

第4个数：7=3+4=1+1+2+3,

第5个数：11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4,

第6个数：16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5,

第〃个数：1+1+2+3+4+5++(〃-1).

第1001个数为：1+1+2+3+4+5++(1001-1)=1+1+24-3+4+5+••+1000

=1+500500=5005001

【答案】5005001

【例17】己知等差数列15,19,23,……443,求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解圻】公差=19-15=4

项数二(443-15)-?4+1=108

倒数第二项=443-4=439

奇数项组成的数列为：15,23,31……439,公差为8,和为(15+439)x544-2=12258

偶数项组成的数列为：19,27,35……443,公差为8,和为(19+443)x54^-2=12474

差为12474-12258=216

【答案】216

【巩固】求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解析】解法1：可以看出24,6,…,2000是一个公差为2的等差数列,1,3,5,…,1999也是一个公差为2的等

差数列，且项数均为1000,所以：原式=(2+2000)x10004-2-(1+1999)x1000^2=1000

解法2:注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1,所以1000项就差了1000个

1,即原式二1000x1=1000

【答案】1000

［例18］100个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是8450,取出其中第1个，第3个…第99个，再把

剩下的50个数相加，得多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解析J(方法一)要求和，我们可以先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列，且和为8450,根

据等差数列的和二(首项+末项)x项数+2,则：首项+末项=8450x2+100=169,又因为末项比首

项大99,所以，首项二(169-99)+2=35.因此，剩下的50个数为：36,38,40,42,44,46...134.这些数构成

等差数列，和为06+134)x50-2=4250.

(方法二)我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有旅同的公差，相同的项数，且轲下

的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1,因此,剩下的数的总和比取走的数的总和

大50,又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为(8450+50)-5-2=4250.

【答案】4250

【巩固】有20个数，第I个数是9,以后每个数都比前一个数大3.这20个数相加，和是多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解圻】末项是：9+(20—Dx3=66,和是：(9+66)x20+2=750

【答案】750

【例19］把248分成8个连续偶数的和,其中最大的那个数是多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解听】平均数：248+8=31,第4个数：31-1=30。第1个数：30-6=24,末项：24+(8-1)x2=38o即：最大

的数为38。

【答案】38

【巩固】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么，第1个

数与第6个数分别是多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解析】由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210+7=30,所以，这7个数分别是

15、20、25、30、35、40>45.即第1个数是15,第6个数是40。

【答案】40

【例20］在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？

【考点、】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解听】每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1〜100中,我们很容易知道能被9整除的最小的数是

9=9x1,最大的数是99=9x11,这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：11—1+1=11项,

所以，所求数的和是：9+18+27++99=(9+99)x11-2=594.

也可以从找规律角度分析.

【答案】594

【巩固】在1~100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解听】先计算1~100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和

了.1+2++100=(1+100)x1004-2=5050,9+18+27++99=9+99)x11+2=594,所有不能

被9整除的自然数和：5050-594=4456.如果直接计算不能被9整除的自然数和,是很麻烦的,

所以先计算所有1~100的自然数和,再排除掉能被9整除的自然数和这祥计算过程变得简便多了.

【答案】4456

【巩固】在1~200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解祈】先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题

目需要的和，因为44,88等数在两个数列中都存在,也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以

我们还应该减去能被44整除的数列和.

(4+8+12+-+200)+01+224-33+.+198)-(44+88+132+176)

二(4+200)x50+2+(11+198)x18+2-(44+176)x4+2=6541.

【答案】6541

【巩固】在11〜45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解析】先求被3整除的数的和：11〜45中能被3整除的数有12,15,…,45,和为：

12+15++42+45=(12+45)x12+2=342;于是，满足要求的数的和为:

(11++45)-342=980-342=638.

【答案】638

【例21］求100以内除以3余2的所有数的和.

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解析】100以内除以3余2的数为2、5、8、11、…、98公差为3的等差数列,首先求出一共有多少

项，98-2)+3+1=33，再利用公式求和(2+98)x33+2=1650.

【答案】1650

【巩固】从401到1000的所有整数中，被8除余数为I的数有_____个？

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【解析】因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993,

于是项数=(993-401)+8+1=75.

【答案】75

【例22］从正整数1〜N中去掉一个数，剩下的(N-1)个数的平均值是15.9,去掉的数是o

【考点】等差数列的公式运用【难度】3星【题型】计算

【关键词】走美杯,5年级，决赛

【解析】因为“剩下的(AM)个数的平均值是15.9”,所以(AM)是10的倍数，且N在15.9x2=31.8左右，推

知231.去掉的数是

(1+2+3+...+31)-15.9x30=49647=19。

【答案】19

等差数列找规律

找规律计算

［例2311只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿;

2只青蛙2张嘴,4只眼睛8条腿；

只青蛙张嘴,32只眼睛条腿。

【考点】找规律计算【难度】2星【题型】填空

【关健词】希望杯,4年级,1试

【解析】324-(2^1)=16；32^(24-1)=16；32x(4:2)=64.

【答案】16:16:64

【例24］如图2,用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5

时,共需要火柴棍根。

1»-1R-2M-3

62

【考点】找规律计算【难度】3星【题型】填空

【解析】找规律3,3+6,3+6+9…,N=5时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45

【答案】45

【例25］观察下面的序号和等式，填括号.

序号等式

11+2+3=6

33+5+7=15

55+8+11=24

77+11+15=33

()()+()+7983=()

【考点】找规律计算【难度】3星【题型】填空

【关健词】希望杯

【解圻】可以这样想：

(1)表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列)

(2)表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？

应先填左起第一个,因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即

各自的项数.

第一个，舍号：(7983-3)4-4+1=1996,1+(1996-1)x2=3991;

第二个括号：1+(1996-1)x2=3991;

第三个括号：根据等差数列通项公式：2+(1996—1)x3=5987或3991+1996=5987;

第四个括号：根据等差数列通项公式：6+(1996-1)x9=17961或5987x3=17961

【答案】3991;3991:5987:17961

【巩固】有许多等式：

2+4+6=1+3+5+3；

8+10+12+14=7+9+11+13+4；

16+18+20+22+24=15+17+19+214-23+5；

那么第io个等式的和是

【考点】找规律计算【难度】4星【题型】填空

【解圻】前九个等式左边的数共有3+4++11=3+11)x9-2=63(个)款,那么第十个等式左边第一个

数是(63+1)x2=128,所以第十个等式的和是128+130+…+150=(128+150)x12+2=1668.

【答案】1668

【巩固】观察下列算式：

24-4=6=2x3,

2+4+6=12=3x4

2+4+6+8=20=4x5

然后计算：2+4+6+.......+100=。

【考点】找规律计算【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯,4年级,1试

【解圻】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数,100以内的偶数有50个，所以2+4+6+……+100

=50x51=2550

【答案】2550

【例26］将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有1()

个小圈,第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…,依此规律，第6个图形有

___个小圈O

OO

oooooOOOOocoooo

oooocOOOOcoooo

ooOOOOooooo

)oOOOOOOO

第1个图形第2个图形第3个图形笫4个图形

【考点】找规律计算【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯,4年级,1试

【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是Ix2,2x3,3x4.........

第6个图有6x7+4=46个小圆。

【答案】46

5

【例27】观察下列四个算式：y=20,y=10岑=,春=亮o从中找出规律，写出第五个算

式：O

【考点】找规律计算【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】发现规律、第5个算式为^^16=—o

16256

5

【答案】

256

规律计数

【例28］从1到50这50个连续自然数中，去两数相加，使其和大于50,有多少种不同的取法?

【考点】找规律计算【难度】4星【题型】填空

【解析J设满足条件的两数为。、b,且Zb,则有

若a=l,则0=50,共1种.

若。=2,则6=49,50,共2种.

若。=25,则。=26,27—50,共25种.

若。=26,则6=27,28,50,共24种.（。=26,6=25的情况与。=25,0=26的情况相同,舍去）

若a=27,则力=28,29,••50,共23种.

若°=49,则b=50,共1种.

所以，所有不同的取法种数为

1+2+3++25+24+23+22++1=2x04-2+3++24)+25=625

【答案】625

【巩固】从1到100的100个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过100.有几种不同的

取法？

【考点】找规律计算【难度】4星【题型】填空

【解听】1至100的自然数每次取出两个不同的自然数相加，超过100的和共有101〜199共99种取法.

和是199的取法：100+99.

和是198的取法：100+98.

和是197的取法：100+97,99+98.

和是196的取法：100+96,99+97.

和是195的取法：100+95,99+96,98+97.

和是194的取法：100+94,99+95,98+96.

以此规律作进一步推想：和为193的取法有4种，和为192的取法也有4种；和为191的取法有5

种，和为190的取法也有5种；，和为103的取法有49种，和为102的取法也是49种：和为101

的取法有50种.

和超过100的取法种数总彳口是：1