小学奥数教程-圆与扇形教师手册

园与扇形

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位

置才对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.

圆的面积=%/；扇形的面积=兀/、/_；

360

圆的周长=2兀r;扇形的弧长=2TWX'L.

360

一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在典的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说

的！圆、_1圆、,圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几

246

分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是」L.

360

比如：扇形的面积=所在圆的面积；

360

扇形中的弧长部分=所在圆的周长

360

扇形的周长=所在圆的周长x^+2x半径（易错点是把扇形的周长等司于扇形的弧长）

②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积.

一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积.（除了半圆）

③它由L弯角的附正方形扇形

④“谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积x2

二、常用的思想方法：

①转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）

②等积变形（割补、平移、旋转等）

③借来还去（加减法）

④外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）

板块、曲线型旋转问题

［例1］正三角形A8C的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A

点在随滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚

动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留兀）

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120。的圆弧，所以路线的总长度为：

2TIX6X^^X2=8兀厘米；

360

三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120。的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：

兀x6°x~^-x2+15=24兀+15平方厘米.

360

【答案】24兀+15

【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边4c长20厘米，直角边BC长10厘米,如下图所示，三角形

由位置I绕A点转动，到达位置II，此时8,C点分别到达四，G点；再绕4点转动，到达位值川，

此时A,G点分别到达4,G点.求。点经C到G走过的路径的长.

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

由于叱为AC的一半，所以Q『。。，则弧CG为大圆周长的嗤子得

【解析】,弧GG为小圆

周长的;,而cq+GG即为。点经G到G的路径，所以。点经G到G走过的路径的长为

2nx20x—+2nxIOx-=—7t+57t=—.

12433

【答案】巴

3

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形I.它的对角线长恰好是5cm.让这个

长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形II的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置.求

点A走过的路程的长.

ABCDEABCDE

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示).

这三段路程分别是：

第1段是弧AA,它的长度是2x兀x4x'(cm)；

4

第2段是弧AA,，它的长度是2xJTX5X—（cm）;

4

第3段是弧4E,它的长度是2乂*3乂！（5）；

4

所以A点走过的路程长为：2x7ix4x2+2x7ix5x4+2x7rx3x，=67r（cm）.

444

【答案】6TT

【例2］草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见

如图）.问：这只羊能够活动的范围有多大？（圆周率取3.14）

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如图所示，羊活动的范围可以分为A,B,C三部分，其中八是半径30米的士个圆，B,C分别是

4

半径为20米和10米的'个圆.

4

所以羊活动的范围是兀x3O?xZ+;tx2O2x-+7txlO2x-

444

=nx|302x—+2O2x—+102x—।

I444）

=2512.

【答案】2512

【巩固】一只狗被拴在底座为边长3口的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m,求狗所能到的地方

的总面积.（圆周率按3.I4计算）

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如图所示，羊活动的范围是一个半径4m,圆心角300°的扇形与两个半径1m,圆心角120°的扇形

之和.所以答案是43.96nf.

【答案】43.96

【例3】如图是一个直径为女m的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60。，此时8点移动到夕

点，求阴影部分的面积.（留中长度单位为cm,圆周率按3计算）.

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】面积=圆心角为60。的扇形面枳+半圆-空白部分面枳（也是半圆）=圆心角为60。的扇形面枳

=X7ix3:=-7i=4.5（cm;）.

3602

【答案】4.5

［例4］如图所示，直角三角形A8C的斜边A3长为10厘米，4尤=60。，此时BC长5厘米.以点8为

中心，将。3C顺时针旋转120。，点A、。分别到达点E、。的位置.求AC边扫过的图形即图

中阴影部分的面积.（尤取3）

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】注意分割、平移、补齐.

如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，

因为/£80=60。，那么/4BE=I2O。，

则阴影部分为一圆环的1.

3

所以阴影部分面积为gx7rx［A82-8C2）=75（平方厘米）.

【答案】75

【巩固】如右图，以。4为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以。点为中心旋

转90°,问：三角形扫过的面积是多少？（九取3）

A

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之

一圆的面积之和.圆的半径就是直角三角形的斜边。A.

因此可以求得，三角形扫过的面积为：24+,x7tx］0xK）=24+257r=99（平方厘米）.

【答案】99

【巩固】（“杯”数学试题）如图，直角三角形A4C中，々为直角，且3c=2厘米，AC=4厘米，则在

将AA3C绕C点顺时针旋转120。的过程中，人8边扫过图形的面积为.（兀=3.14）

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如右上图所示，假设AA8C旋转120。到达夕C的位置.阴影部分为边扫过的图形.

从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于

扇形ACT的面积与A18C的面积之和，空白部分面积等于扇形8cb的面积与A/VZTC的面积，由

于AA8C的面积与4T/TC的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形4CT与扇形NOT的面积之

差,为—=4兀=12.56（平方厘米）.

360360

【答案】12.56

［例5］如下图，A48C是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C点为圆点，顺时针旋转

90度，那么，ZS边在旋转时所扫过的面积是平方米___v（万=3.14）

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。

因为/,所以，=2。

2

所求面积为|‘『；rx'—|2x_L]+(i2—r2);rx_L=巳—_L+H=0.6775(平方米)

(42)v74428

【答案】0.6775

【例6】如图30-14,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4,BC=3,AC=5，求AD边扫

过部分的面积.(不取3.14)

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如下图所示，

如下图所示，端点A扫过的轨迹为AA"A',端点D扫过轨迹为DD"D',而AD之间的点，扫过的轨

迹在以A、D轨迹，AD,A'。'所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点

扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分.显然，

有阴影部分面积为S直角+5扇形AC才一S直角AAC0—S而收DD，而直角二角形AD'C%ACD面积相等.

q+v—q—q=q-q

J以用AA,UCT,施ttMQVJaMAAC。叫我D'D。扇儿6QV。扇取UD

=也AC?-也CO?=-4?）=2万=7.065（平方厘米）

36036044

即AD边扫过部分的面积为7.065平方厘米.

【答案】7.065

【例7］（祖冲之杯竞赛试题）如图，A8CD是一个长为4,宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺

时针方向旋转90。，分别求出四边扫过图形的面积.

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】容易发现，OC边和8c边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的1,如图：

Dcg

因此DC边扫过图形的面积为4兀，8c边扫过图形的面积为一.

4

2、研究边的情况.

在整个A5边上，距离C点最近的点是8点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于

这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：

下面来求这部分的面积.

观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：

扇形AC4'面积+三角形A'TC面积-三角形48c面积一扇形8C9面积=扇形AC4面积一扇形

8C9面积=亚一注=4%

44

3、研究AO边扫过的图形.

由于在整条线段上距寓C点最远的点是A，最近的点是。，所以我们可以画出AO边扫过的图形，

如图阴影部分所示：

用与前面同样的方法可以求出面积为：红-%=2兀

444

旋转图形的关键，是先从整体把握一下“变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加

减次序得到的.先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚.最后你会发现，所有数据要么直接告

诉你，要么就“藏”在那儿，一定会有.

可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决

对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的.

【答案】(1)8C边扫过图形的面积为巴

4

(2)A4边扫过图形的面积为4兀

(3)AO边扫过图形的面积为包

4

(4)DC边扫过图形的面积为4冗

[例8](华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内例作无滑动的滚动，当小铁

环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点4，观察半径0A,如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到

与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径。4也运动到了与初始时相对的位置.这时

。从沿大环内壁才滚动了半圈.继续进行下半圈，直到。4与初始位置重合，这时。人自身转了1圈，

因此小铁环自身也转了1圈.

【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距篇为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈.所以本题也可以

考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自

己的圆周长，那么小铁环转动了1圈.

【答案】1图

【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外例作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁

环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如图，同样考虑小圆的一条半径。八，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径

OA滚动了540。，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈.

也可以考虑小圆圆心转过的距寓.小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的

周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题

中小圆自身转了3圈.

【答案】3圈

【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的〃（〃>1）倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚动一圈后又回

到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离.

设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“〃二

⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2兀x（〃-1）.

所以小圆绕自己的圆心转动了：空3a=-1（圈）.

2兀

图⑴图(2)

⑵在外侧滚动时,如图⑵所示.

因为圆心滚动的距离为27rx（〃+1）.

所以小圆绕自己的圆心转动了：至四上»=〃+］（圈）.

【答案】n-1和n+1

［例9］如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外网滚动一周，回到起始位it.问:

这枚硬币自身转动了多少图？

G

1*1

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬

币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180。-60。-50。=60°.而硬币上的每一点都是半径

等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120°.

当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的回旋转

了360。-60。-60。-90。=150。.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转

了300°.

长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是

在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边.120°x8+300°x4=2l60°,

所以这枚硬币转动了2160。，即自身转动了6圈.

另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2兀即滚动了一周.

【答案】6圈

【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形（圆心的连线）.

用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周.问：在哪个图中这枚硬

币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分,一是在“角”上的转动，一是在“边”上的

滚动.抓住关键方法：圆心轨迹长度+2兀=自身转动圈数.结论：一样多；都是6圈.

【答案】一样多；都是6圈

【例10】一枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到

原来的位置，那么与原A点重合的点是.硬币自己转动,硬币圆心的运动轨迹周长为

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆，兀）x3=E,

6n+2兀=3，即为3周，所以答案为A点，3周，6兀.

【答案】A点，3周，6n

【例11］先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲边三角形（如

左图）.再准备两个这样的图形，把一个固定住（右图中的阴影），另一个围绕着它滚动，如右图那样，

从顶点相接的状态下开始滚动.请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？（兀=3.14）

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才

能实施具体的计算.

2

在数学中，本遨所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形:莱洛三角形“有一个重要的性质就是它在所

有方向上的宽度都相同.

为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：

第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形'从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，这时阴影“莱洛三角

形”滚动的这部分面积是以4为圆心、2cm为半径、圆心角为60」的扇形.在顶点A、B、C处各有

这样的一个扇形；

第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边A4上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图

⑶中。点为圆心的圆的一部分，这个圆在以。点为圆心的弧人8上滚动，可知此时圆心。运动的轨

迹是图⑶中的弧“)，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以。为圆心、4cm为半径、

圆心角为60。的扇形减去半径为2cm的60°的扇形；

综上所述，去掉图⑷中阴影噪洛三角形后所形成的组合图形就是要求的面积.

滚动时经过的面积是：3x(jtx22x+3xf；rx42x-itx22x=8n=25.12(cm2).

I360J1360360J

【答案】25.12

【例12］下图为半径20厘米、圆心角为144。的扇形图.点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线

分为8等份的点.求阴影部分面积之和.

F

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如下图，做出辅助线，

AKMA与&ANG形状相同（对立角相等），大小相等（对应边相等），有&KMAJANG,SKMA=S惭,

而MMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等.

所以,GNMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积.

144°54

扇形KGA的圆心角为——>3=54。,所以扇形面积为-x20°x万=604平方厘米.

8360

那么KGEB的面积为604x2=1204平方厘米.

如下图，做出另一组辅助线.

A

AJQA与&ARH形状相同（对应角相等），大小相等（对应边相等），

有AJQAW、ARH,S=S八附=5八,而WQA是两个三角形的公共部分，

所以右图中的阴影部分面积相等.

所以,JHRQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积.

[44。12

扇形JHA的圆心角为——=180”,所以扇形面积为——x2。2x4=2（）万平方厘米.

8360

那么JHDC的面积为204x2=404平方厘米.

所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB-S用火=120万-40万=80万=80x3.14=251.2平方厘米.

【答案】251.2

［例13］10个一样大的圆摆成如图所示的形状.过图中所示两个圆心A,B作直线，那么直线右上方圆内

图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少？

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆,1个个（0而1个、个CD正好

组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆，那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每人圆的

面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4:6=2:3.

【答案】2:3

【例14］在图中，一个圆的圆心是0,半径尸9星米，/1=z2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?（不

取3.14）

【考点】【难度】2星【题型】填空

【关键词】奥林匹克，初赛，11题

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】有AO=OB,所以AAOB为等腰三角形，AO=OC,所以AAOC为等腰三角形.

zABO=z1=15°,zAOB=180o-z1-zABO=150°.

zACO=z2=15o,zAOC=180°-z2-2ACO=150°,

所以zBOC=3600-zAOB-zAOC=60°,所以扇形BOC的面积为瑞x9,x4之42.39（平方厘米）.

【答案】42.39

【例15］图是由正方形和半圆形组成的图形,其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点.已知

正方形的边长为10,那么阴影部分的面积是多少？（乃取3.14）

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】奥林匹克，初赛，11题

【解析】过P做AD平行线，交AB丁。点，P为半圆周的中点，所以0为AB中点.

有SABCD=1°X10=100»S.9p|DPC='g")2X^X—=12.5乃.

S1,AOP=5x(10+—)xl=37.5,s种开.)B=fio+—1+5x5x，=50.

AAVI22I2

阴影部分面积为S^D+S华1gopc-Sg0P-S悌收)Qg=I(X)+12.5%一37.5-50=12.5+12.5万h51.75.

【答案】51.75

园与扇形

例题精讲

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位

，或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.

圆的面积；扇形的面积=冗/X」-；

360

圆的周长=2〃；扇形的弧长=2“x’-.

360

三、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在睡的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说

的,圆、!圆、1圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几

246

分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是」L.

360

比如：扇形的面积=所在圆的面积;

360

扇形中的弧长部分=所在圆的周长X」-

360

扇形的周长=所在圆的周长X就+2x半径（易错点是把扇形的周长等司于扇形的弧长）

②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积.

一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积.（除了半圆）

k

③“弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形

④“谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积x2

四、常用的思想方法：

①转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）

②等积变形（割补、平移、旋转等）

③借来还去（加减法）

④外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）

板块二曲线型面积计算

【例16］如图，已知扇形ZMC的面积是半圆4羽面积的g4倍，则角63的度数是

【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空

【解析】设半圆4）4的半径为1，则半圆面积为1兀＞12=四，扇形/MC的面积为二乂±=交.因为扇形MC

22233

的面积为兀，葭」-,所以，nx22x—=—,得到〃=60，即角CA3的度数是60度.

3603603

【答案】60度

【例17］如下图，直角三角形48c的两条直角边分别长6和7,分别以及C为圆心，2为半径画圆，已知图

中阴影部分的面积是17,那么角A是多少度（北=3）

【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答

【解析】

5A4/JC=ix6x7=21,

三角形ABC内两扇形面积利为21-17=4,

根据扇形面积公式两扇形面积和为生"xjrxT=4,

360°

所以Z.B+ZC=120",N4=60°.

【答案】60度

【例18］如图，大小两圆的相交部分（即阴影区域）的面积是大圆面积的已，是小圆面积的|.如果量得小圆

的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？

【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答

【解析】小圆的面积为7rx52=25x，则大小圆相交部分面积为2Sirx3=157r,那么大圆的面积为

5

］5兀+百=空兀,而空=”x竺,所以大圆半径为7.5厘米.

154422

【答案】7.5

【例19】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如图），此时榇皮筋的长度是多少厘

米？（兀取3）

【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答

【解析】由右图知，绳长等于6个线段A3与6个8c弧长之和.

将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360。，

所以8C弧所对的圆心角是60。，6个8c弧合起来等于直径5厘米的圆的周长.

而线段A3等于塑料管的直径，

由此知绳长为：5X6+5TT=45（厘米）.

【答案】45

【例20］如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆皿，请

问：中间阴影部分的周长是多少？（兀=3.14）

12cm12cm

【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答

【解析】如图，点C是在以8为中心的扇形上，所以=，同理C"=4C，则A4BC是正三角形，同理，

有ACDE是正三角形.有ZACB=NECD=g,正五边形的一个内角是180-360+5=108.因此

ZEC4=60X2-108=12°,也就是说圆弧如？的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同

的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是2x3.l4xl2x募x5=l2.56（cm）.

【答案】12.56

【例21］如图是一个对称图形.比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积灰色

部分面积.

曾

【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空

【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的1，则4个小圆的面

4

积之和等于大圆的面积.而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两

部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等.

【答案】相等

【例22］如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为，，空白部分面积为S2,那么这两个部

分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【考点】圆与扇形【难度］3星【题型】解答

【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形.设

大圆半径为r，贝1］§2=2产，£=不，一2/，所以=(3.14—2):2=57:100.

移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系.

【答案】57:100

【例23］用一块面积为36平方扈米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板.问：所余下的边

角料的总面积是多少平方厘米？

【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答

【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积:大圆面积="一n*=1:9,

小圆面积=36x"=4,7个小圆总面积=4x7=28,

边角料面积=36-28=8（平方厘米）.

【答案】8

【例24］如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半眼的半径都是1.求阴影部分的面积.

【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答

【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形.

I

由右图可见，阴影部分面积等于一大圆面积减去一个小圆面积，再加上120。的小扇形面积（即-小圆

63

19

面积），所以相当于一大圆面积减去二小圆面积.而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为个圆的

63

3?=9倍,那么阴影部分面积为仕X9-2］XTTX12=1=2.5.

U3）6

【答案】2.5

【例25］如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方圈米，空白部分是6个半径为10

厘米的小扇形.（圆周率取3.I4）

【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答

【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小

扇形面积如何求，有扇形面积公式几=嚼.

可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60。那么NAOC=I20。，

又知四边形ABC。是平行四边形，所以/A8C=120°,这样就可求出扇形的面积和为

6x士”X7txl（）2=628（平方厘米），阴影部分的面积=1（）40-628=412（平方厘米）.

【答案】412

【例26］（09年第十四届华杯赛初赛）如下图所示，A3是半圆的直径，。是圆心，AC=CD=OB，何是C。

的中点，〃是弦C。的中点.若N是08上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分

的面积是平方厘米.

【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空

【解析】如下图所示，连接OC、OD、OH.

M

本题中由于C、。是半圆的两个三等分点，M是。。的中点，方是弦CD的中点，可见这个图形是

对称的，由对称性可知C。与A4平行.由此可得ACHN的面积与AC”。的面积相等，所以阴影部分

面积等于扇形CO。面积的一半，而扇形COO的面积又等于半圆面积的g,所以阴影部分面积等于

半圆面积的L,为12x1=2平方厘米.

66

【答案】2

【巩固】如图，C、。是以为直径的半圆的三等分点，0是圆心，且半径为6.求图中阴影部分的面积.

【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答

【解析】如图,连接。。、CD.

由于C、。是半圆的三等分点，所以A4OC和AC。。都是正三角形，那么C。与40是平行的.所

以AACO的面积与△OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为

7tx6?x-=18.8.

6

【答案】18.84

【例27］如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分

的面积之差.（兀取3）

【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答

【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差但是

这样较为繁琐.由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同

的图形，再求剩余图形的面积.

如右图所示，可知弓形8c或C。均与弓形A4相同，所以不妨割去弓形BC.剩下的图形中.容易

看出来八8与是平行的,所以ABC。与AAC。的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形AC。的

面积相等，而扇形AC。的面积为冗xFx里=0.5，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5.

360

【答案】0.5

【例28］如图，两个正方形摆放在一起其中大正方形边长为12那么阴影部分面积是多少？（圆周率取3.I4）

【考点】圆与扇形【难度］3星【题型】解答

【解析】方法一：设小正方形的边长为“，则三角形W与梯形A3CD的面积均为（a+12）xa+2.阴影部

分为：大正方形+梯形-三角形AB/：-右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=1

4

圆.因此阴影部分面积为：3.14x12x12+4=113.04.

方法二：连接AC、DF，设Ab与C。的交点为也,由于四边形ACD/是梯形，根据梯形蝴蝶定理

有SAA/W=*所以S阴鲂=S扇形女尸=3/4x12x12+4=113.04

【答案】113.04

【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6,求阴影部分的面积.（兀取3）

【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答

【解析】（法1）观察可知阴影部分面积等于三角形ACO的面积减去月牙8C。的面积，那么求出月牙BC。的

面积就成了解题的关键.

月牙的面积为正方形ECDE的面积减去四分之一圆：6:<6--X7TX6X6=9；

4

则阴影部分的面积为三角形AC。的面积减去月牙BC。的面积，为：

S阴影=gx（10+6）x6-9=39.

（法2）观察可知A尸和8。是平行的，于是连接BD、DF.

则A4皮）与&5。1面积相等，那么阴影部分面积等于AZm尸与小弓形的面积之和，也就等于拉走厂与

扇形的面积之和，为：（10—6）X6XL+1XTIX62=39.

24

【答案】39

【例29］如图，A8C,是等腰直角三角形，。是半圆周的中点，8c是半圆的直径.已知八8=8C=10,那

么阴影部分的面积是多少？（圆周率取3.14）

【解析】连接尸£>、AP.，如图，尸。平行于A3,则在梯形450P中，对角线交于M点，那么A4%）与