半导体物理第三章3

半导体物理教案－9PAGEPAGE6§3.4一般情况下的载流子统计分布一般情况指同一半导体中同时含有施主和受主杂质的情况。在这种情况下，电中性条件为 (3-80)因为nD+＝NDnD，pA－＝NApA，电中性条件可表示成式中，nD和pA分别是中性施主和中性受主的浓度，上式即对确定的半导体，式中的变数仅是EF及T，但EF是T的隐函数。因此，若能利用这一关系确定出EF与T的函数关系，则对于半导体同时含施主和受主杂质的—般情况下，导带中的电子和价带中的空穴以及杂质能级上电子的统计分布问题就可完全确定。然而，要想利用上式得到EF的解析表达式是困难的。不过，对计算机的使用已十分普及的今天并不是什么大问题。如果实际应用时式中某些项还可忽略，求解费米能级EF的问题还能进一步简化。事实上，前面讨论的本征半导体和含一种杂质的半导体就是它的简化特例。请同学阅读参考书中对含少量受主杂质的n型半导体求解费米能级的讨论。特别注意求解过程中的近似处理方法。§3.5简并半导体一、重掺杂半导体的载流子密度1、适用于玻耳兹曼统计的掺杂浓度已知n型半导体处于施主杂质完全电离的温区时，其费米能级为（NA＝0）；（NA0）注意此公式成立的先决条件是(EC-EF)>>kT，因此它只适用于ND或(ND-NA)<<NC的掺杂条件。不过从这公式可以看到，随着有效杂质浓度的提高，费米能级将逐渐向导带底靠拢，从而使先决条件趋于无效。因此，在掺杂浓度较高的情况下，载流子统计的玻耳兹曼近似无效，须用费米统计。2、用费米函数计算重掺杂半导体载流子密度在玻耳兹曼近似计算条件不成立时，n型重掺杂半导体的热平衡载流子密度 (3-107)令则 (3-108)其中积分 (3-109)称为费米积分，用F1/2(ξ)表示。因而式(3-108)亦可写成 (3-l10)类似地，p型重掺杂半导体的空穴密度为 (3-111)表3.2列出了一些费米积分的值，从中可以看出，随着费米能级逐渐移出禁带，尽管费米积分值也在随着的增大而增大，但步幅远不如指数函数e的步幅大。表3.2费米积分F1/2()取值表-4-3-2-101246810F1F1/2()0.0160.0430.1150.2910.6781.3962.5025.77110.14415.38121.345在x>1.25时，费米积分F1/2(x)的值可用以下公式近似计算：用两种统计方法算出的电子密度之比值如图3-17所示。图中可见，随着费米能级在禁带中逐渐向导带底靠近，经典统计开始出现偏差，其结果偏大；当费米能级进入导带，亦即EF-EC>0时，此偏差已不能忽略。随着费米能级向导带深处移动，此偏差越来越大。当EF位于导带底以上0.1eV左右时，用经典统计计算的电子密度已是其实际值的10倍；当EF位于导带底以上0.2eV左右时，计算结果进一步超过其实际值的100倍。因此，计算电子密度时通常使用的经典近似计算公式在费米能级接近导带底时就不再适用。对空穴密度的计算也是一样。图3-17量子统计与经典统计之比随EF的变化二、区分费米统计和经典统计适用范围的条件简并(degeneration)化条件费米能级条件比较一下用经典统计和用费米统计计算的结果，发现在任意温度下，只要费米能级接近禁带边沿，其距离小于2kT之后，其差别就比较明显了。于是将EF至禁带边沿的距离作为区分费米统计和经典统计的适用条件，称为简并化条件。对n型半导体掺杂浓度条件下面以只含一种施主杂质的n型半导体为例，讨论杂质浓度为多少时发生简并。设ND为施主杂质浓度，电中性条件是电离施主浓度n+D与导带电子浓度n0相等，即将式(3-110)和式(3-39)代入上式得引入杂质电离能∆ED＝EC－ED，上式可改写为 (3-112)满足简并化临界条件EF＝EC的掺杂浓度即从表3-2查得F1/2(0)＝0.678，代入上式得 (3-113)说明临界杂质浓度与杂质的电离能有关，电离能小的杂质临界浓度较低，但最低不会低于因为式（3－113）中括弧内最小值是3。对弱简并条件EC－EF＝2kT，对应的掺杂浓度式中，括弧内最小值大约为1.27，这也是浓度下限，对应于电离能极小的杂质。这说明在掺杂浓度低于NC的六分之一左右时，半导体一般还不会进入弱简并状态。3、影响简并化临界条件的因素：式(3-l13)表明，简并化条件不但决定于杂质浓度，也决定于杂质的电离能。电离能小的杂质其简并化临界浓度较低，比较容易发生简并化。因为NC＝2(2k0Tmn*)3/2/h3，是电子有效质量的函数，因此不同材料的简并化临界掺杂浓度不同，有效质量较小者，临界杂质浓度较低，容易发生简并。同理，对同一半导体，导带电子和价带空穴的有效质量不同，因而n型杂质和p型杂质的简并化临界浓度也不相同。一般情况下，电子比空穴有效质量小，因而n型材料比p型材料更容易发生简并。将NC＝2(2k0Tmn*)3/2/h3代入式(3-113)得由是知对确定的半导体及其杂质，简并化临界掺杂浓度还是温度的函数。由于适合于上式的T可以有两个解T1，T2，表明发生简并化有一个温度范围T1~T2。杂质浓度越高，发生简并的温区越宽。例：计算室温(300K)下，锗和硅的简并化临界掺杂浓度。对掺磷的n型锗，因为磷在锗中的电离能∆ED＝0.012eV，锗中电子的mn*=0.56m0，代入式(3-114)算得ND，de＝3×1019对掺磷的n型硅，∆ED＝0.044eV，mn*=1.08m0，算得ND，de＝2.3×1020从参考书表3-2中列出的数据和以上的计算结果可以看出，由于锗中磷的电离能比硅中磷小，锗的电子有效质量也比硅的小，因此锗的简并化临界掺杂浓度不到其导带底有效态密度的3倍，而硅的简并化临界掺杂浓度则要超过其导带底有效态密度的8倍。相比之下，硅不大容易发生简并化。不过它们在室温下发生简并时的施主杂质浓度或受主杂质浓度均在1019cm-3以上。由于砷化镓电子的有效质量较小，其导带底有效态密度比锗、硅小很多，简并化的临界掺杂浓度较低。n型砷化镓在在施主浓度超过1017cm-3之后就会发生简并。不过，砷化镓的NV比NC大得多，p型三、载流子的冻析效应(Freeze-out)以上讨论表明，在适当的低温范围，施主或受主杂质并未完全电离，尚有部分载流子被“冻结”在杂质能级上对导电没有贡献，这种现象称为载流子的冻析效应。杂质浓度越高，载流子“冻结”在杂质能级的低温上限越高；在掺杂浓度相同的情况下，杂质的电离能越大，载流子“冻结”在杂质能级上的低温上限也越高。因此对简并半导体和杂质电离能偏高的宽禁带半导体，在统计其载流子密度时，一般都要考虑载流子的“冻析”效应。与§3.4讨论含单一杂质半导体的载流子密度问题类似，对只存在一种施主杂质的n型半导体，热平衡状态下“冻结”在施主杂质能级上的电子密度和电离施主的浓度分别为同理，对只存在一种受主杂质的p型半导体，相应地亦有式中gD，gA分别为施主和受主杂质的简并因子。与§3.4不同的是，由于这里主要考虑简并情况，属于载流子密度较高的问题，受主杂质的简并因子取gA=4，因为价带顶有轻重空穴之分，受主能级是4度简并的。对施主能级，仍取gD＝2。对简并半导体，导带中电子浓度n0及价带中空穴浓度p0分别为；式中；当ξ＜2时，费米积分可表示为 (3-117)对n型半导体，由n+D＝n0得解上式可得(3-118)在式中代入有关参数的值，譬如对硅取(3-115)(3-120)算出exp(C)，然后代入式(3-117)算出费米积分F1/2()的大小，即可得到n型简并硅中不同温度和掺杂条件下的电离施主杂质浓度和导带电子密度，并因此看到冻析效应在不同条件下的强弱变化。同理，对p型半导体由p-A＝p0得(3-119)在式中代入有关参数的值，譬如对硅取(3-116)(3-121)算出exp(V)，然后代入式(3-117)算出费米积分F1/2()的大小，即可得到p型简并硅中不同温度和掺杂条件下的电离受主杂质浓度和空穴密度，并因此看到冻析效应在不同条件下的强弱变化。四、禁带窄化效应1、重掺杂对半导体能带结构和载流子运动的影响在简并半导体中，杂质浓度的升高使杂质原子之间距离缩短。一般情况下，当杂质原子的平均间距缩短到只有主体原子间距的10倍左右时，相邻杂质原子之间的相互作用就逐渐明显起来，将对主体材料中的电子运动产生不可忽视的影响。在重掺杂情况下，杂质原子间距的缩小主要从以下三个方面对半导体的能带结构和载流子运动发生影响：(1)电子在杂质原子之间作共有化运动，参与导电杂质原子间距的缩小直接导致杂质原子之间电子波函数发生重叠，使孤立的杂质能级扩展为能带，通常称为杂质能带。杂质能带中的电子通过在杂质原子之间的共有化运动参与导电，这种现象被称为杂质带导电。（2）杂质电离能减小、杂质能级分裂成带随着杂质原子间距的缩小，电子波函数将发生重叠。这就意味着被某个杂质中心束缚的电子有可能出现在另一杂质中心的束缚电子的运动轨道附近，对该中心的势场起屏蔽作用而削弱其对电子的束缚力，使杂质激活能E=EC-ED或EA-EV下降。波函数重叠程度越高，E的下降越多，E最终会随着掺杂浓度的提高而下降至零。实验证明，硅中硼的电离能在浓度达到8×1018/cm3时即接近于零，如图3-18所示。实验表明，当硅中硼浓度大于3×1018cm-3时，载流子冻析效应图3-18硅中硼的电离能与杂质浓度的关系（3）禁带窄化图3-18硅中硼的电离能与杂质浓度的关系图3－19轻掺杂(a)和重掺杂(b)半导体的能带结构g（E图3－19轻掺杂(a)和重掺杂(b)半导体的能带结构g（E）g（E）EAEVEVEAEDEDECECEE施主杂质带受主杂质带带尾（a）（b）在前面对简并半导体的所有讨论中并未考虑禁带窄化。若考虑禁带窄化，重掺杂半导体中不但杂质电离度提高，其本征载流子密度也会明显增大，因而少数载流子密度升高。考虑了禁带窄化量Eg之后，本征载流子密度描述半导体禁带窄化的理论公式为按此模型，禁带窄