2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫来果色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用榢皮擦擦干净后再选梌其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的斜率为，则直线的一个方向向量，对于A，因，即向量与共线，A是；对于B，因，即向量与不共线，B不是；对于C，因，即向量与不共线，C不是；对于D，因，即向量与不共线，D不是.故选：A.2.抛物线的准线方程为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，抛物线方程为，则其准线方程为.故选：C3.已知点是点在坐标平面内的射影，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为点是点在坐标平面内的射影，则，则，因此，.故选：B.4.已知，两点到直线：的距离相等，则（）A. B.6 C.或4 D.4或6【答案】D【解析】点到直线的距离为，点到直线的距离为，因为点到直线的距离和点到直线的距离相等，所以，所以或.故选：D5.科技博览会需从5个女生（分别记为，，，，）中选2人参加志愿者服务，已知这5个人被选中的机会相等，则被选中的概率为（）A.0.25 B.0.4 C.0.5 D.0.75【答案】B【解析】由题意若被选中，则只需从其余四个人中再选一个人即可，所以被选中概率为.故选：B.6.在平行六面体中，，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面体中，，若，，，则，则，所以，.故选：A.7.如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（）A.射线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆【答案】C【解析】连接、，如图所示：因为为的垂直平分线，所以，所以为定值，又因为点在圆外，所以，根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线.故选：C.8.如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设菱形对角线相交于点，则为的中点，，又为矩形的边的中点.所以，又面面，，面，所以面，所以面，又面，所以，所以两两互相垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，，则，所以，所以，所以直线与的所成的角为.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量，，满足，，则有C.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面【答案】AC【解析】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确；对于B，若非零向量，，不共面，则取为平面的一组基底向量，为平面的法向量满足，，但不共线，故B错误；对于C，由法向量的定义可知与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确；对于D，因为，所以，，，四点不共面，故D错误.故选：AC.10.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（）.A.这组数据是近似对称的 B.数据中可能有极端大的值C.数据中可能有异常值 D.数据中众数可能和中位数相同【答案】BCD【解析】一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中有极端大的值，也即异常值，众数只是比较多的数据，可以与中位数相同，这组数据显然不可能近似对称，A错，BCD正确．故选：BCD．11.某电商平台对去年春节期间消费的前1000名网购者，按性别等比例分层抽样100名，并对其性别（（男）、（女））及消费金额（（消费金额>400），B（200<消费金额≤400），（0<消费金额≤200）进行调查分析，得到如人数统计表，则下列选项正确的是（.这1000名网购者中女性有490人 B.C. D.【答案】BC【解析】对于，由表格可知，在样本中女性占比是，所以估计这名网购者中有480名女性，故错误；对于，表格中可知共有35名，所以，故正确；对于，包含的样本有17个，所以，故正确；对于，包含个，故，故错误.故选：BC12.设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】设，，则，解得，即，故B正确；显然，可得，故A错误；因为，则，且，即，整理得，则，即，故D正确；因为不恒为0，所以不一定垂直，故C错误；故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线：与直线：.若，则______.【答案】2【解析】因为，所以，解得.故答案为：2.14.利用简单随机抽样的方法，从个个体（）中抽取15个个体，若第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为.则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为______.【答案】【解析】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则，解得，所以在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为.故答案为：.15.已知、是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为（为双曲线的半焦距），则的渐近线方程为______.【答案】【解析】如下图所示：双曲线的渐近线方程为，即，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则，由勾股定理可得，易知为的中点，则，即，可得，即，故双曲线的渐近线方程为.故答案为：.16.如图①是直角梯形，，，是边长为2的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则面积的最小值为______.【答案】【解析】折起前，连接菱形的对角线，交于点，所以，所以折起后有，因为菱形的边长为2，所以，又因为，，且所以在中，有，所以，所以折起前后四边形的面积固定，若以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，则此时点到平面的距离最大，则此时有面面，又面面，，面，所以面，又面，所以，又，所以两两互相垂直，所以以为原点，所在直线分别为所在直线建立如图所示的空间直角坐标系：若要面积最小，则只需点到直线的距离最小即可，由题意，过点作于点，则，又因为，所以，即，所以，因为三点共线，所以不妨设，所以点到直线的距离为，所以当时，，又，所以面积的最小值为.故答案为：.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机.某地区消费者协会调查了部分2023年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（1）求的值；（2）估计家庭消费总支出的平均值及第80百分位数.（结果保留一位小数）解：（1）由频率分布直方图，得，∴.（2）平均值为.第80百分位数为，则，解得.18.已知直线：（），圆：.（1）试判断直线与圆的位置关系，并加以证明；（2）若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程.解：（1）∵（），∴，令解得∴直线恒过定点.又，∴点在圆内部，∴直线与圆相交.（2）∵圆：的圆心为，半径为3，当直线与直线垂直时，弦长最小，此时，∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即.圆心到直线的距离为，∴，∴弦长的最小值为4，此时直线的方程为.19.已知空间四点，，，，满足.（1）求实数的值；（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.解：（1）由题意得，.∵，则，解得（2）由，得，∵，，，∴，.∴.∴以，为邻边的平行四边形的面积为12.20.多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（1）甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；（2）现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.解：（1）甲同学所有可能的选择答案有11种：，其中正确选项只有一个，样本空间,共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为.（2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件：乙得10分，丙得5分，则；事件：乙得7分，丙得2分，则；事件：乙得5分，丙得0分，则；所以乙比丙总分刚好多得5分的概率.21.在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.（1）求证：平面；（2）已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.解：（1）∵，且是的中点，则.∵平面，平面，∴又平面，∴平面，因为平面，∴.①∵，∴，则.∵，∴，∴在平面中.②∵平面，∴由①②知平面.（2）由题意得，平面，∴平面.由（1）可知，故为坐标原点.如图，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.∵，∴，.∴，，，∵，∴由棱台的性质得，.由（1）可知平面的一个法向量为，且.直线与平面的所成角的正弦值为，∴（），即，解得.∴平面的一个法向量为，且.平面的法向量为.∵，，，即，当时，，∴平面的一个法向量为..∴平面与平面所成夹角的余弦值.22.在直角坐标系中，已知，，，以为直径的圆经过点，记点.（1）求点的轨迹方程；（2）给出如下定理：在一般情况下，若二次曲线的方程为：（，，不全为0），则经过该曲线上一点的切线方程为：.若过（）作（1）问曲线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，两点，求的最大值.解：（1）设的中点为，则点坐标为，∴，即，整理得.∴点的轨迹方程为.（2）由（1）得曲线的方程为.设，.切线方程为，∴当时，，∴.将点代入，得.①∵切线方程为，∴同理可得，.②∴由①②可知，点坐标均满足方程，∴直线方程为，即.由整理得.∵，为该方程两个根，∴，∴，.∴.∵点到直线的距离为，∴.∵，，∴.10分∴.∵，当且仅当时等号成立，∴当时，的最大值为.四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫来果色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用榢皮擦擦干净后再选梌其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的斜率为，则直线的一个方向向量，对于A，因，即向量与共线，A是；对于B，因，即向量与不共线，B不是；对于C，因，即向量与不共线，C不是；对于D，因，即向量与不共线，D不是.故选：A.2.抛物线的准线方程为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，抛物线方程为，则其准线方程为.故选：C3.已知点是点在坐标平面内的射影，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为点是点在坐标平面内的射影，则，则，因此，.故选：B.4.已知，两点到直线：的距离相等，则（）A. B.6 C.或4 D.4或6【答案】D【解析】点到直线的距离为，点到直线的距离为，因为点到直线的距离和点到直线的距离相等，所以，所以或.故选：D5.科技博览会需从5个女生（分别记为，，，，）中选2人参加志愿者服务，已知这5个人被选中的机会相等，则被选中的概率为（）A.0.25 B.0.4 C.0.5 D.0.75【答案】B【解析】由题意若被选中，则只需从其余四个人中再选一个人即可，所以被选中概率为.故选：B.6.在平行六面体中，，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面体中，，若，，，则，则，所以，.故选：A.7.如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（）A.射线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆【答案】C【解析】连接、，如图所示：因为为的垂直平分线，所以，所以为定值，又因为点在圆外，所以，根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线.故选：C.8.如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设菱形对角线相交于点，则为的中点，，又为矩形的边的中点.所以，又面面，，面，所以面，所以面，又面，所以，所以两两互相垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，，则，所以，所以，所以直线与的所成的角为.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量，，满足，，则有C.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面【答案】AC【解析】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确；对于B，若非零向量，，不共面，则取为平面的一组基底向量，为平面的法向量满足，，但不共线，故B错误；对于C，由法向量的定义可知与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确；对于D，因为，所以，，，四点不共面，故D错误.故选：AC.10.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（）.A.这组数据是近似对称的 B.数据中可能有极端大的值C.数据中可能有异常值 D.数据中众数可能和中位数相同【答案】BCD【解析】一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中有极端大的值，也即异常值，众数只是比较多的数据，可以与中位数相同，这组数据显然不可能近似对称，A错，BCD正确．故选：BCD．11.某电商平台对去年春节期间消费的前1000名网购者，按性别等比例分层抽样100名，并对其性别（（男）、（女））及消费金额（（消费金额>400），B（200<消费金额≤400），（0<消费金额≤200）进行调查分析，得到如人数统计表，则下列选项正确的是（.这1000名网购者中女性有490人 B.C. D.【答案】BC【解析】对于，由表格可知，在样本中女性占比是，所以估计这名网购者中有480名女性，故错误；对于，表格中可知共有35名，所以，故正确；对于，包含的样本有17个，所以，故正确；对于，包含个，故，故错误.故选：BC12.设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】设，，则，解得，即，故B正确；显然，可得，故A错误；因为，则，且，即，整理得，则，即，故D正确；因为不恒为0，所以不一定垂直，故C错误；故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线：与直线：.若，则______.【答案】2【解析】因为，所以，解得.故答案为：2.14.利用简单随机抽样的方法，从个个体（）中抽取15个个体，若第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为.则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为______.【答案】【解析】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则，解得，所以在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为.故答案为：.15.已知、是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为（为双曲线的半焦距），则的渐近线方程为______.【答案】【解析】如下图所示：双曲线的渐近线方程为，即，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则，由勾股定理可得，易知为的中点，则，即，可得，即，故双曲线的渐近线方程为.故答案为：.16.如图①是直角梯形，，，是边长为2的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则面积的最小值为______.【答案】【解析】折起前，连接菱形的对角线，交于点，所以，所以折起后有，因为菱形的边长为2，所以，又因为，，且所以在中，有，所以，所以折起前后四边形的面积固定，若以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，则此时点到平面的距离最大，则此时有面面，又面面，，面，所以面，又面，所以，又，所以两两互相垂直，所以以为原点，所在直线分别为所在直线建立如图所示的空间直角坐标系：若要面积最小，则只需点到直线的距离最小即可，由题意，过点作于点，则，又因为，所以，即，所以，因为三点共线，所以不妨设，所以点到直线的距离为，所以当时，，又，所以面积的最小值为.故答案为：.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机.某地区消费者协会调查了部分2023年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（1）求的值；（2）估计家庭消费总支出的平均值及第80百分位数.（结果保留一位小数）解：（1）由频率分布直方图，得，∴.（2）平均值为.第80百分位数为，则，解得.18.已知直线：（），圆：.（1）试判断直线与圆的位置关系，并加以证明；（2）若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程.解：（1）∵（），∴，令解得∴直线恒过定点.又，∴点在圆内部，∴直线与圆相交.（2）∵圆：的圆心为，半径为3，当直线与直线垂直时，弦长最小，此时，∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即.圆心到直线的距离为，∴，∴弦长的最小值为4，此时直线的方程为.19.已知空间四点，，，，满足.（1）求实数的值；（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.解：（1）由题意得，.∵，则，解得（2）由，得，∵，，，∴，.∴.∴以，为邻边的平行四边形的面积为12.20.多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（1）甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；（2