高中数学复习31.同构携手放缩

试卷第=page1212页，共=sectionpages1313页试卷第=page11页，共=sectionpages1313页第三十一讲：同构携手放缩专题阐述：同构法是将不同的代数式（或不等式、方程）通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的．考法一：部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）[规律方法]在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1）当且时，有（2）当且时，有再结合指数与对数运算法则可以得到下述结论（其中）（“ex”三兄弟与“”三姐妹）（3），（4），（6），再结合常用的切线不等式：，，，等可以得到更多的结论（7），．，．（8），，（9），，例1．已知，则函数的最大值为______．解析：（当且仅当取等号）．例2．已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是______．解析：由于当且仅当等号成立，所以．例3．已知函数．（1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．解析：（1）定义域是，①当时，，在定义域上单调递增，不可能有两个零点②当时，由，得当时，，在定义域上单调递增当时，，在定义域上单调递减所以当时，取得极大值．当时，，当时，因为有两个零点，所以解得．（2）要使恒成立，只要恒成立只要恒成立，令，则当且仅当时取等号，所以恒成立，实数a的取值范围为．【点睛】本题难点在第2问，由所求不等式出发，经参变分离将问题转化为恒成立，引入函数，通过结论的放缩，巧妙地得出的最小值，进而求出参数a的取值范围.【针对训练】1．函数的最小值是______．【答案】1【分析】先利用导数证明在R上恒成立，再构造函数，结合放缩法即可求出函数的最小值.【详解】令，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即在R上恒成立，所以，故当且仅当取等号.故答案为：1.2．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.【详解】由于，，两者都是当且仅当x＝1等号成立，则所以．故答案为：．3．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围.【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根．故答案为：.考法二：整体同构携手脱衣法[规律方法]在能成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若能等价变形为，然后利用的单调性，如递增，再转化为，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）（1）为增函数（2）为减函数含有地位同等的两个变量，或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）（1）积型：如后面的转化同（1）说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知，（2）商型：（3）和差：如．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）（1）后面的转化同2（1）（2）（3）．后面的转化同2（1）例4．已知，在区间内任取两实数p，q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．解析：①当时，即令，则∴在递减，即∴在上恒成立∴在上恒成立∴在上恒成立∴．②当时，同理可得出，综上所述例5．对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为______．解析：（积型同构）令，则，易知在上递减，在上递增所以，所以在上单调递增则，由导数法易证，所以．例6．已知函数．（1）判断在上的单调性；（2）若，证明：．解析：（1）令，∴在上单调递减，∴，即∴在上单调递减．（2）要证，即证：即证：，即证：令，即证：由（1），在上单调递减，即证：令，∴在上单调递增，∴∴，即．【点睛】本题利用分析法将所证不等式转化为，通过同构变形，构造函数，借助（1）问中在上单调递减，将命题转证为，简化所证命题.【针对训练】4．已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______．【答案】【分析】由题意可得，，即，构造函数，由其在上为增函数，，则，再构造函数，利用导数求出其最大值即可【详解】因为，对恒成立，所以，，所以，所以，所以，令，则因为在上为增函数，所以，所以，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，即，所以，所以，所以a的取值范围是故答案为：5．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，令，则问题等价于，即，再由，即可得到，即可得到参数的取值范围；【详解】解：，，令，显然为增函数，则原命题等价于，又令，则，所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，所以，所以，即得．故选：B6．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.【详解】因为，所以，即，构造函数，所以，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，令，则，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是．故选：C【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.【强化训练】7．函数的最小值为______．【答案】1【分析】先证明出成立，对原函数进行同构构造后直接求解.【详解】记.因为.令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增，所以.所以，即.所以，当且仅当时等号成立．记.因为在上单增，在上单增，所以在上单增.又，，所以有且只有一个实根.而存在唯一一个使得.即存在唯一一个使得.所以函数的最小值为1.故答案为：18．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.【详解】由于，两者都是当且仅当x＝1等号成立则所以．故答案为：．9．已知a，b分别满足，，则ab＝______．【答案】【分析】同构化处理，构造函数并利用函数的单调性确定答案．【详解】，且，令，，该函数在单调递增，可得，即，则．故答案为：.10．已知是函数的零点，则_______．【答案】2【分析】根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解.【详解】根据题意可得，整理可得，可得当，即成立，又，代入可得.故答案为：.11．已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【分析】令，进而原题等价于在单调递增，从而转化为，在上恒成立，参变分离即可求出结果.【详解】由得，令，∴∴在单调递增，又∵∴，在上恒成立，即令，则∴在单调递减，又因为，∴．故答案为：.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．12．设实数，若对于任意，不等式恒成立，则的最小值为__________．【答案】【分析】将给定的不等式作等价变形，按分段讨论，并借助导数求出最值作答.【详解】，，，当时，，而，即恒成立，因此，恒成立，当且仅当时，恒成立，令，求导得，即函数在上单调递增，因此，，令，求导得，当时，，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，则所以的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，把恒成立问题转化为求解函数的最值是解答的关键.13．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先不等式变形为，，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值.【详解】不等式变形为，即，设，则不等式对任意的实数恒成立，等价于对任意恒成立，，则在上单调递增，，即对任意恒成立，恒成立，即，令，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，时，取得最小值，，即，的最小值是.故选：D【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立.14．已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析，易得恒成立