高中数学四单元卷2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两个部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是（)A．单位向量都相等B．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量C．|a＋b|＝｜a－b｜，则a·b＝0D．若a0与b0是单位向量，则a0·b0＝1答案C解析单位向量仅仅长度相等，方向可能不同；当b＝0时,a与c可以为任意向量；｜a＋b｜＝|a－b|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直;D项还要考虑夹角．2．如图所示，在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是()A。eq\o(AB，\s\up6(→))＝eq\o（DC,\s\up6（→）） B.eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\o(AB,\s\up6（→））＝eq\o(AC,\s\up6（→)）C。eq\o(AB,\s\up6(→））－eq\o(AD，\s\up6（→）)＝eq\o(BD，\s\up6（→)) D.eq\o(AD,\s\up6（→））＋eq\o(CB，\s\up6(→)）＝0答案C解析由eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o(AD，\s\up6（→)）＝eq\o(DB，\s\up6（→))＝－eq\o(BD，\s\up6（→)），故C错误．3．如图所示的方格纸中有定点O，P,Q，E,F，G，H,则eq\o（OP，\s\up6(→）)＋eq\o（OQ，\s\up6（→))＝(）A。eq\o（OH,\s\up6(→)) B.eq\o（OG,\s\up6（→）)C。eq\o（EO，\s\up6（→）） D。eq\o（FO，\s\up6(→））答案D解析在方格纸上作出eq\o（OP，\s\up6(→))＋eq\o（OQ，\s\up6（→）），如图所示，则容易看出eq\o（OP，\s\up6(→））＋eq\o（OQ，\s\up6（→）)＝eq\o（FO,\s\up6(→)）,故选D.4．已知向量a＝（1，eq\r(3))，b＝（eq\r（3）＋1，eq\r（3）－1）,则a与b的夹角为(）A.eq\f（π,4） B。eq\f(π，3）C.eq\f（π,2） D。eq\f(3π，4)答案A5．设a，b是共线的单位向量,则|a＋b|的值是（）A．等于2 B．等于0C．大于2 D．等于0或等于2答案D6．已知向量a＝(1，2），b＝（1，0)，c＝(3，4）,若λ为实数，（a＋λb）∥c，则λ＝（）A.eq\f(1，4) B。eq\f（1,2）C．4 D．2答案B7．设A(a，1),B(2，b），C（4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若eq\o（OA，\s\up6(→））与eq\o(OB,\s\up6(→）)在eq\o（OC,\s\up6（→)）方向上投影相同,则a与b满足关系式是(）A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14答案A8．已知平面向量a＝（1，－3），b＝（4,－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝（)A．－1 B．1C．－2 D．2答案A解析由题意λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2），a＝(1，－3）,∵λa＋b与a垂直,∴(λa＋b）·a＝λ＋4＋（－3）·(－3λ－2)＝10λ＋10＝0,∴λ＝－1。9．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则()A．a＝b B．a＝－bC．｜a|＝|b｜ D．以上都不对答案C10．若a，b是非零向量，且a⊥b,|a|≠|b|，则函数f（x）＝（xa＋b）·(xb－a)是（)A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数答案A解析由题设知f(x)＝xb2－xa2，因为｜a|≠|b｜，所以f（x）＝(b2－a2）x,所以函数f(x）是一次函数且为奇函数．11．设非零向量a，b，c，d满足d＝（a·b）c－(a·c)b，则a与d（)A．相等 B．共线C．方向相同 D．垂直答案D12．已知eq\o(BA,\s\up6(→））＝a,eq\o(BC，\s\up6（→）)＝b，eq\o（AC,\s\up6（→))＝c且满足λ（eq\f（a,｜a|)＋eq\f（b，｜b｜）)·c＝0(λ〉0)，则△ABC为()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．不确定答案A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)13．已知平面向量α,β,|α｜＝1,｜β|＝2，α⊥（α－2β），则｜2α＋β｜的值是________．答案eq\r（10）解析由于α⊥(α－2β），所以α·（α－2β）＝|α｜2－2α·β＝0,故2α·β＝1，所以｜2α＋β｜＝eq\r（4|α|2＋4α·β＋|β|2)＝eq\r(4＋2＋4）＝eq\r(10）.14．已知点A(2，3），C(0,1)，且eq\o(AB，\s\up6（→））＝－2eq\o(BC,\s\up6(→））,则点B的坐标为________．答案(－2,－1）解析设点B的坐标为(x,y)，则eq\o（AB，\s\up6(→))＝（x－2，y－3)，eq\o（BC，\s\up6(→)）＝（－x，1－y）．又eq\o(AB，\s\up6（→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→)），∴（x－2,y－3)＝－2（－x,1－y)＝(2x,2y－2)．∴x＝－2，y＝－1。15．与a＝(12,5）平行的单位向量是________．答案(eq\f(12,13），eq\f（5,13））或(－eq\f（12,13),－eq\f(5，13))16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c,则b＝c；②若a＝(1，k），b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝｜b|＝｜a－b｜，则a与a＋b的夹角为60°。其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）答案②解析运用向量有关概念和运算的判断，逐一进行验证,对于①向量不满足消去律，错;对于②两向量平行的坐标表示正确；对③在加减法构成的平行四边形中，由几何意义可得到所求角为eq\f（π,6），错；则正确的命题为②。三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知｜a｜＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的投影为－1，求：(1)a与b的夹角θ；（2)(a－2b）·b.解析（1)由题意，｜a｜＝2，｜b|＝1,｜a|cosθ＝－1，∴a·b＝|a｜|b|cosθ＝－｜b｜＝－1.∴cosθ＝eq\f（a·b,|a||b｜）＝－eq\f(1，2）。由于θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π，3)为所求．（2)（a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.18．（12分)平面内三点A，B，C在一条直线上，eq\o(OA,\s\up6（→)）＝(－2，m），eq\o（OB,\s\up6（→)）＝(n，1),eq\o(OC,\s\up6(→））＝（5，－1），且eq\o（OA，\s\up6(→））⊥eq\o(OB,\s\up6（→）），求实数m、n的值．解析eq\o(AC，\s\up6（→))＝eq\o（OC,\s\up6(→））－eq\o(OA,\s\up6（→)）＝（7，－1－m),eq\o（BC，\s\up6(→））＝eq\o(OC，\s\up6（→）)－eq\o（OB，\s\up6(→）)＝(5－n，－2）．∵A、B、C三点共线，∴eq\o（AC,\s\up6(→））∥eq\o(BC，\s\up6（→））。∴－14＋(m＋1)（5－n)＝0。①又eq\o（OA，\s\up6（→）)⊥eq\o（OB，\s\up6（→）)，∴－2n＋m＝0.②由①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（m＝6，，n＝3）)或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（m＝3，，n＝\f（3，2).)）19．(12分)已知a,b，c是同一平面内的三个向量,其中a＝（1，2）．（1)若|b｜＝2eq\r（5)，且a∥b，求b的坐标．(2）若|c｜＝eq\r(10),且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角．解析（1）设b＝（x,y），由｜b|＝2eq\r(5)，a∥b得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝20,，2x－y＝0，))得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4,))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，，y＝－4.）)所以b＝(2，4）或b＝（－2,－4）．（2)由已知（2a＋c)⊥(4a－3c)，(2a＋c)·（4a－3c）＝8a2－3c2－2a·c＝0，又｜a|＝eq\r（5)，｜c｜＝eq\r（10），解得a·c＝5,所以cos〈a，c>＝eq\f（a·c，|a｜｜c|）＝eq\f(\r（2），2)，〈a，c〉∈［0，π],所以a与c的夹角为eq\f(π，4)。20．（12分)如图,在平面直角坐标系中，|eq\o（OA，\s\up6（→））|＝2|eq\o(AB,\s\up6（→))|＝2，∠OAB＝eq\f(2π，3)，eq\o(BC,\s\up6（→)）＝（－1，eq\r(3））．（1)求点B，C的坐标；(2）求证:四边形OABC为等腰梯形．解析(1）连接OB,设B(xB,yB），则xB＝｜eq\o（OA,\s\up6(→））|＋｜eq\o（AB,\s\up6(→）)｜·cos（π－∠OAB)＝eq\f（5,2)，yB＝|eq\o（AB，\s\up6（→))｜·sin(π－∠OAB）＝eq\f(\r（3)，2),∴eq\o（OC,\s\up6(→）)＝eq\o（OB,\s\up6(→））＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＝（eq\f(5,2），eq\f(\r(3)，2）)＋(－1,eq\r（3））＝(eq\f(3，2)，eq\f(3\r（3），2）)，∴B(eq\f（5，2）,eq\f(\r(3），2)），C(eq\f（3，2），eq\f(3\r(3），2）)．（2)∵eq\o（OC,\s\up6(→））＝（eq\f（3，2），eq\f(3\r（3）,2))，eq\o（AB，\s\up6(→))＝（eq\f(1，2），eq\f（\r（3）,2)），∴eq\o(OC,\s\up6(→)）＝3eq\o(AB,\s\up6(→）),∴eq\o(OC，\s\up6（→)）∥eq\o（AB,\s\up6(→)）。又易知OA与BC不平行，｜eq\o(OA,\s\up6(→）)|＝|eq\o（BC，\s\up6(→）)｜＝2，∴四边形OABC为等腰梯形．21．(12分)设向量a＝（cosα，sinα）(0≤α<2π)，b＝（－eq\f(1，2），eq\f(\r（3)，2）),且a与b不共线．（1）求证:（a＋b)⊥(a－b）；（2)若向量eq\r(3)a＋b与a－eq\r(3）b的模相等，求角α.解析(1)证明：由题意，得a＋b＝（cosα－eq\f(1,2)，sinα＋eq\f(\r（3)，2）)，a－b＝（cosα＋eq\f（1,2)，sinα－eq\f(\r(3)，2）)，因为（a＋b）·（a－b)＝cos2α－eq\f（1,4)＋sin2α－eq\f（3,4）＝1－1＝0.所以（a＋b）⊥（a－b)．(2）解：因为向量eq\r(3）a＋b与a－eq\r（3）b的模相等，所以(eq\r（3）a＋b)2＝（a－eq\r(3）b）2。所以｜a|2－|b｜2＋2eq\r(3)a·b＝0。因为|a｜＝1,｜b｜＝eq\r（（－\f(1，2））2＋（\f（\r(3),2)）2）＝1。所以｜a|2＝|b|2，所以a·b＝0，所以－eq\f(1，2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝0，所以tanα＝eq\f(\r(3），3)，又因为0≤α〈2π，所以α＝eq\f（π,6）或α＝eq\f(7π，6）.22．（12分）已知△ABC中，A（2，4)，B(－1,－2)，C(4，3），BC边上的高为AD。(1)求证:AB⊥AC;（2）求点D和向量eq\o(AD，\s\up6（→)）的坐标;(3)设∠ABC＝θ，求cosθ；(4)求证:AD2＝BD·CD.解析(1）eq\o(AB,\s\up6（→）)＝（－1，－2)－(2,4)＝（－3，－6），eq\o（AC,\s\up6（→））＝(4，3）－(2,4）＝(2,－1)．∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o（AC，\s\up6(→））＝－3×2＋(－6)×(－1）＝0,∴AB⊥AC.(2）设D点坐标为（x，y），则eq\o(AD,\s\up6（→））＝（x－2,y－4)，eq\o（BC，\s\up6(→)）＝（5，5）．∵AD⊥BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o（BC,\s\up6(→））＝5(x－2）＋5（y－4)＝0.①又eq\o（BD,\s\up6(→））＝(x＋1，y＋2），而eq\o（BD,\s\up6（→)）与eq\o(BC，\s\up6(→)）共线，∵5（x＋1)－5(y＋2)＝0,②联立①②解得x＝eq\f(7,2），y＝eq\f（5,2)。故D点坐标为(eq\f（7,2),eq\f（5,2))．∴eq\o(AD,\s\up6(→）)＝(eq\f（7，2）－2,eq\f(5，2）－4)＝（eq\f(3,2），－eq\f(3，2））．(3)cosθ＝eq\f(\o(BA,\s\up6（→））·\o（BC,\s\up6（→）），|\o(BA,\s\up6(→）)｜·|\o(BC,\s\up6(→)）|)＝eq\f（3×5＋6×5,\r（32＋62）·\r(52＋52)）＝eq\f（3\r（10），10)。（4）∵eq\o（AD,\s\up6（→））＝(eq\f（3，2），－eq\f(3,2))，eq\o(BD,\s\up6（→）)＝(eq\f(9，2），eq\f(9,2））,eq\o（DC，\s\up6（→）)＝（eq\f（1,2），eq\f(1,2))，∴|eq\o(AD，\s\up6(→))|2＝eq\f(9，2），|eq\o（BD,\s\up6（→）)｜＝eq\r（（\f(9,2)）2＋(\f(9,2)）2）＝eq\f(9\r(2），2),｜eq\o（DC,\s\up6（→）)|＝eq\r((\f(1，2)）2＋（\f（1,2））2）＝eq\f（\r(2),2).∴|eq\o(AD,\s\up6（→))｜2＝｜eq\o(BD,\s\up6（→））｜·｜eq\o（DC，\s\up6（→））｜,即AD2＝BD·CD。1．已知a、b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6（→))＝λa＋b,eq\o(AC，\s\up6(→）)＝a＋μb(λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线应满足的条件是（)A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案D解析A，B，C三点共线即存在实数k，使得eq\o（AB,\s\up6(→）)＝keq\o（AC,\s\up6(→)），即λa＋b＝k（a＋μb)，所以有λa＝ka,b＝kμb，即λ＝k,1＝kμ,得λμ＝1.2．已知向量a，b，c都不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0（λ1，λ2,λ3∈R），则（）A．λ1，λ2,λ3一定全为0 B．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0C．λ1，λ2，λ3可以全不为0 D．λ1,λ2,λ3的值只有一组答案C解析在△ABC中,设eq\o(AB,\s\up6（→)）＝a，eq\o（BC,\s\up6（→））＝b，eq\o(CA，\s\up6（→))＝c，则a，b,c都不平行,且a＋b＋c＝0，排除A，B.且有2a＋2b＋2c＝0，排除D，所以选C.3．下列命题中，正确的是(）A．a＝（－2，5)与b＝（4，－10)方向相同B．a＝(4,10)与b＝(－2,－5)方向相反C．a＝（－3,1)与b＝（－2，－5）方向相反D．a＝(2，4)与b＝（－3，1）的夹角为锐角答案B解析在B中，a＝(4，10）＝－2(－2，－5）＝－2b,∴a与b方向相反．4．向量a＝（－1，1),且a与a＋2b方向相同,则a·b的取值范围是(）A．（－1,1） B．(－1，＋∞）C．（1，＋∞) D．（－∞,1）答案B解析依题意可设a＋2b＝λa(λ〉0),则b＝eq\f（1,2)（λ－1)a，∴a·b＝eq\f(1，2）(λ－1)a2＝eq\f（1，2)（λ－1)×2＝λ－1〉－1。5．已知|a|＝3,｜b|＝4，且满足(2a－b)·(a＋2b）≥4,求a与b的夹角θ的范围．解析∵(2a－b)·(a＋2b)＝2a2＋3a·b－2b2＝2×32＋3a·b－2×42＝3a·b－14,由(2a－b)·（a＋2b)≥4，∴3a·b－14≥4，∴a·b≥6.∴cos<a，b〉＝eq\f（a·b，|a｜·｜b｜)≥eq\f(6,|a|·|b｜)＝eq\f(6,3×4）＝eq\f（1，2).∴a与b的夹角θ满足0≤θ≤eq\f（π，3)。6．(1)已知|a｜＝4，｜b|＝3，(2a－3b)·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ。(2）设eq\o（OA,\s\up6(→))＝（2，5)，eq\o(OB,\s\up6(→））＝(3，1），eq\o(OC,\s\up6（→）)＝(6，3)，在eq\o(OC，\s\up6(→)）上是否存在点M，使