高中数学(人教B版)必修一同步讲义2.2.1不等式及其性质(4知识点+4题型+巩固训练)(学生版+解析)

2.2.1不等式及其性质课程标准学习目标1、掌握不等式5个性质与5个推论.2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式.掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法.反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法.灵活选用不等式5个性质与5个推论。知识点01不等式的定义我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式不成立.知识点02实数大小比较符号表示a－b>0⇔a>b，a－b0⇔ab，a－b<0⇔a<b.【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）设，则的大小关系为（）．A．B．C．D．知识点03不等式的性质性质1(可加性)如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质2(可乘性)如果a>b，c>0，那么ac>bc.性质3(可乘性)如果a>b，c<0，那么ac<bc.性质4(传递性)如果a>b，b>c，那么a>c.注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然不成立？(1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中ac时必有ab且bc.推论1(移项法则)如果a＋b>c，那么a>c－b.不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2(同向可加性)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.我们把a>b和c>d(或a<b和c<d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式．推论3(同向同正可乘性)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.推论4(可乘方性)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).推论5(可开方性)如果a>b>0，那么eq\r(a)>eq\r(b).注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据．(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c<d，则－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d.【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果那么下列说法正确的是（）A．B．C．D．【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.知识点04综合法、分析法与反证法（1）综合法从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．（2）分析法从待证结论出发，一步一步地寻求结论不成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法．（3）反证法首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法．注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法．(1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然不成立的结论．(2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论不成立的充分条件．【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知，求证：．难点：用反证法证明命题示例：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A∠B90°.其正确顺序为________．【题型1：比较大小】（一）作差法例1．（2024·青海西宁·高二统考期末）已知，，则a，b的大小关系是（

）A． B．C． D．无法确定变式1．（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（

）A． B．C． D．变式2.（2024·高一校考课时练习）已知，试比较与的值的大小．变式3．（2024·高一校考课时练习）比较与的大小，其中.变式4．（2024·全国·高一假期作业）比较大小：(1)和；(2)和，其中．变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M，N，则M与N的大小关系为（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定（二）作商法例2．（2024·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x－，y－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．xyC．x＜y D．x，y的关系随c而定变式1．（2024·全国·高三专题练习）设，比较与的大小变式2.（2024·全国·高三专题练习）已知，，试比较与的大小；变式3．（2024·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小.【方法技巧与总结】1、比较两数大小比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．2、用作差法比较两个实数大小的四步曲注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．【题型2：不等式的性质应用】例3.（2024·高一校考课时练习）已知，则下列不等关系中一定不成立的是（）A．B．C．D．变式1．【多选】（2024·贵州贵阳·高二统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则变式2．（2024·辽宁·高二校联考期末）已知，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．变式3．（2024·高一校考课时练习）对于实数a，b，c，有下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是(填序号)变式4．【多选】（2024·山东滨州·高二统考期末）已知实数，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则变式5．【多选】（2024·河北保定·高二校联考期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则变式6．（2024·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则变式7．【多选】（2024·广西玉林·高二统考期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则变式8．【多选】（2024·福建三明·高二统考期末）已知，，则下列四个不等式中，一定不成立的是（

）A． B．C． D．变式9．【多选】（2024·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知实数a，b，c，若，则下列不等式不不成立的是（

）A． B．C． D．变式10．【多选】（2024·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则变式11．【多选】（2024·江西九江·高二统考期末）已知，则下列不等式一定不成立的是（

）A． B．C． D．变式12.（2024·广西）已知，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．【方法技巧与总结】不等式性质的应用(1)首先要注意不等式不成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．【题型3：利用不等式性质求范围】例4．（2024·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知,则的取值范围是（）A． B． C． D．变式1．（2024·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式2．（2024·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知，，则的取值范围是．变式3.【多选】（2024·湖南长沙）已知，，则下列正确的是（）A．B．C．D．变式4．（2024·河北保定·高二校联考期末）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．变式6．【多选】（2024·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（

）A．的取值范围为 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是变式7.（2024·全国·高三专题练习），，则的最小值是___________.【方法技巧与总结】利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解．【题型4：证明不等式】例5．（2024·全国·高一假期作业）用综合法证明:如果，那么（2024·全国·高一假期作业）已知，证明：.变式1．（2024·湖南长沙·高一校考阶段练习）若，，，求证：.变式2．（2024·江苏连云港·高一赣榆一中校考阶段练习）（1）已知，，．求证：；（2）已知，，求证：．变式3．（2024·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．(1)，bd＞0，求证：；(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．变式4．（2024·全国·高一假期作业）（1）已知，且，证明：．（2）证明：．变式5．（2024·全国·高一假期作业）证明下列不等式：(1)已知，求证(2)已知，求证：．【方法技巧与总结】1、证明不等式的解题策略(1)简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．(2)对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．2、不等式的证明方法(1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小；(2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法(3)反证法：首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立；(4)分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它不成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显不成立的事实，从而得出要证的命题不成立。一、单选题1．（2024高二下·福建龙岩·阶段练习）若，且，则下列各式中，恒不成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024高一上·北京·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C． D．4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2024高一上·山东·专题练习）已知，则下列结论错误的是（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．取值范围为6．（2024高二下·安徽·学业考试）若，，则下列不等式不成立的是（

）A． B． C． D．7．（2024高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．二、多选题8．（2024高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．已知，则D．为互不相等的正数，且，则9．（2024高一下·广西南宁·期末）已知实数满足，则（

）A． B． C． D．10．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（

）A．，当时，B．，当时，C．，当时，D．，当时，三、填空题11．（24-25高一上·上海·随堂练习）某种服装，平均每天可以销售20件，每件获利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，每天可多卖出5件，如果每天获利1800元，每件应降价元．12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中不成立的是（填上正确的序号）．①；②；③；④．13．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围为．14．（2024高二下·湖南张家界·期末）记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为.四、解答题15．（2024高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c满足，且.求证：且.16．（2024高一·全国·课后作业）若，求证：．17．（2024高一·上海·课堂例题）已知，求证：.18．（2024高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：(1)；(2)．19．【多选】（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（

）A． B．C． D．若，则20．（2024高一上·全国·专题练习），，，，设，证明：.21．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：(1)若、、.①求证：；②求证：；③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.(2)设，求证：不成立的充要条件是.2.2.1不等式及其性质课程标准学习目标1、掌握不等式5个性质与5个推论.2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式.掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法.反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法.灵活选用不等式5个性质与5个推论。知识点01不等式的定义我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式不成立.【答案】，证明见解析【分析】将不等关系表示为不等式，进而由作差法证明即可.【详解】解：.证明:，，，.知识点02实数大小比较符号表示a－b>0⇔a>b，a－b0⇔ab，a－b<0⇔a<b.【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）设，则的大小关系为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，.又，故．综上可得：．故选：.知识点03不等式的性质性质1(可加性)如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质2(可乘性)如果a>b，c>0，那么ac>bc.性质3(可乘性)如果a>b，c<0，那么ac<bc.性质4(传递性)如果a>b，b>c，那么a>c.注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然不成立？(1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中ac时必有ab且bc.推论1(移项法则)如果a＋b>c，那么a>c－b.不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2(同向可加性)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.我们把a>b和c>d(或a<b和c<d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式．推论3(同向同正可乘性)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.推论4(可乘方性)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).推论5(可开方性)如果a>b>0，那么eq\r(a)>eq\r(b).注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据．(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c<d，则－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d.【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果那么下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，不等式两边同时减去得，D正确，若，则AB错误，若，C错误．．【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.【答案】，，【解析】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．知识点04综合法、分析法与反证法（1）综合法从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．（2）分析法从待证结论出发，一步一步地寻求结论不成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法．（3）反证法首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法．注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法．(1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然不成立的结论．(2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论不成立的充分条件．【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知，求证：．【答案】见解析【解析】．，，，，，，．，同理得，，．又，．难点：用反证法证明命题示例：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A∠B90°.其正确顺序为________．【解析】用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而得到正确的命题．故填③①②.【题型1：比较大小】（一）作差法例1．（2024·青海西宁·高二统考期末）已知，，则a，b的大小关系是（

）A． B．C． D．无法确定【答案】A【分析】利用作差法并结合不等式的性质，可得答案.【详解】因为所以，所以，即..变式1．（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用作差法结合配方法比较大小．【详解】，所以．．变式2.（2024·高一校考课时练习）已知，试比较与的值的大小．【答案】时，；时，．【解析】，可得，当时，，，则，即；当时，，则，即．综上可得时，；时，．变式3．（2024·高一校考课时练习）比较与的大小，其中.【答案】【分析】两式作差，因式分解变形，根据已知确定差的符号，即可判断两式大小.【详解】因为，所以，所以，即.变式4．（2024·全国·高一假期作业）比较大小：(1)和；(2)和，其中．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用做差法比较大小即可；（2）利用做差法比较大小即可．【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以，所以.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M，N，则M与N的大小关系为（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定【答案】C【分析】平方后作差比较大小即可.【详解】，∴M<N..（二）作商法例2．（2024·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x－，y－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．xyC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】D【分析】应用作商法比较的大小关系即可.【详解】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y..变式1．（2024·全国·高三专题练习）设，比较与的大小【答案】【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.【详解】，，，.变式2.（2024·全国·高三专题练习）已知，，试比较与的大小；【答案】（当且仅当时取等号）【解析】由，当且仅当时等号不成立，所以（当且仅当时取等号）.变式3．（2024·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小.【答案】【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.【详解】（方法1）因为，所以.所以.因为，所以，即；（方法2）所以，又，所以,所以.【方法技巧与总结】1、比较两数大小比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．2、用作差法比较两个实数大小的四步曲注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．【题型2：不等式的性质应用】例3.（2024·高一校考课时练习）已知，则下列不等关系中一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析：因为，所以，故A正确；对于B：当时，故B错误；对于C：当，，显然满足，但是，故C错误；对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；变式1．【多选】（2024·贵州贵阳·高二统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AD【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解.【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式不成立，所以A正确；对于B选项，例如：，，但是，所以B错误；对于C选项，当时，，所以C错误；对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确.D．变式2．（2024·辽宁·高二校联考期末）已知，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质判断C、D，利用特殊值判断A、B.【详解】因为，所以，故D正确；对于A：若，，满足，此时，故A错误；对于B：若，，满足，此时，故B错误；对于C：因为，所以，故C错误；变式3．（2024·高一校考课时练习）对于实数a，b，c，有下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是(填序号)【答案】②③④【分析】利用不等式的性质可逐一判定.【详解】当时，可以判定①错误；因为，所以故不等式两边可同时除以，不变号，故②正确；因为，所以对于不等式两边同时乘以，不等式变号，故，不等式两边同时乘以，不等式变号，故，所以不成立，故③正确；因为，，所以，故，故④正确.故答案为：②③④.变式4．【多选】（2024·山东滨州·高二统考期末）已知实数，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】CC【分析】根绝不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质不成立的条件.【详解】对于选项A，当时，若，则，错误；对于选项B，若，故，则，正确；对于选项C，若则，所以，正确；对于选项D,，当时，，但是的符号与的符号不确定，所以与大小关系不确定，错误.C.变式5．【多选】（2024·河北保定·高二校联考期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确；对于B中，若，，则，所以，所以B不正确；对于C中，若，则，所以C正确；对于D中，若，则，所以D正确．CD.变式6．（2024·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，若，，则，故B错误；对于C，若，，可得，故C正确；对于D，若，，，则，故D错误.．变式7．【多选】（2024·广西玉林·高二统考期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】CC【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,由,若时，不一定，故A错误，对于B，若，所以故，所以，故B正确，对于C,由得，又，所以，故C正确，对于D，由于，无法确定的正负，所以的正负无法确定，故与的大小无法确定，故D错误，C变式8．【多选】（2024·福建三明·高二统考期末）已知，，则下列四个不等式中，一定不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据不等式的性质,结合作差法逐个判断各个选项即可．【详解】对于A，，，，，，即，故A正确；对于B，，，，故B正确；对于C，取，，，则，故C错误；对于D，，，，，即，故D正确．BD．变式9．【多选】（2024·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知实数a，b，c，若，则下列不等式不不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】举特例即可否定选项A，B，D，利用不等式的性质判断C，从而得解.【详解】当，时，满足，但，故A错误；当，时，满足，但，故B错误；因，，由不等式性质得，故C正确；当时，不不成立，故D错误.BD.变式10．【多选】（2024·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】AB【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断【详解】对于，因为，，所以，故正确；对于，因为，所以，又，所以，故B正确；对于C，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D，当时，满足，但，此时，故D错误，B变式11．【多选】（2024·江西九江·高二统考期末）已知，则下列不等式一定不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据不等式性质判断各个选项即可.【详解】因为，所以正确；由不等式的倒数法则可知，两边同乘以，得，C错误；由，得，D正确，BD.变式12.（2024·广西）已知，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为正数，为负数，所以，，，所以.【方法技巧与总结】不等式性质的应用(1)首先要注意不等式不成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．【题型3：利用不等式性质求范围】例4．（2024·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知,则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案【详解】因为,所以,由,得,变式1．（2024·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，解得，根据不等式性质求出.【详解】设，则，解得，因为，，所以，所以，即.变式2．（2024·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知，，则的取值范围是．【答案】【分析】由不等式的基本性质求解即可【详解】解：，，则，，故由不等式的可加性可知，，故的取值范围是．故答案为：．变式3.【多选】（2024·湖南长沙）已知，，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因为，，所以，，则，，，即，，，则；故AB正确，CD错.变式4．（2024·河北保定·高二校联考期末）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由待定系数法确定其系数，然后代入计算，即可得到结果.【详解】设，则，所以，因为，所以．因为，所以，故．变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．【答案】详见解析.【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.【详解】因为，，所以，即的取值范围是．由，，得，所以的取值范围是．由，，得，所以的取值范围是．易知，而则，所以的取值范围是．变式6．【多选】（2024·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（

）A．的取值范围为 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】ABC【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；【详解】由，两式相加得，即，故A正确；由，得，又，两式相加得，即，故B正确；设，所以，解得，则，因为，所以，又因为，所以，所以，即，故C正确，D错误.BC.变式7.（2024·全国·高三专题练习），，则的最小值是___________.【答案】【解析】设，则，解得，所以，，因此，的最小值是.【方法技巧与总结】利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解．【题型4：证明不等式】例5．（2024·全国·高一假期作业）用综合法证明:如果，那么【答案】证明见解析【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可.【详解】证明:，即显然，即.（2024·全国·高一假期作业）已知，证明：.【答案】证明见解析.【解析】∵，，，，.变式1．（2024·湖南长沙·高一校考阶段练习）若，，，求证：.【答案】证明见解析.【分析】因为，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同号可乘性即可证明.【详解】证明：因为，所以，又因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得，所以，所以，因为，，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得.又，所以，所以由不等式的同号可乘性可得.变式2．（2024·江苏连云港·高一赣榆一中校考阶段练习）（1）已知，，．求证：；（2）已知，，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；（2）利用作差法证明即可．【详解】（1）因为，所以又因为，所以所以又因为，所以．（2）因为，，所以，因此，从而，即．变式3．（2024·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．(1)，bd＞0，求证：；(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；（2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到.【详解】（1）证明：，因为，，所以，，又bd＞0，所以，，即.（2）证明：因为a＞b＞c＞0，所以有，，，，则，，即有，不成立；因为，，所以，，又，所以，不成立.所以，有.变式4．（2024·全国·高一假期作业）（1）已知，且，证明：．（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；(2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明.【详解】证明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要证，只需证，即证；即证，即证；即证，显然不成立；所以．变式5．（2024·全国·高一假期作业）证明下列不等式：(1)已知，求证(2)已知，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．【详解】（1）证明：，，，，又因为，即，所以.（2）证明：，，；又，，；.【方法技巧与总结】1、证明不等式的解题策略(1)简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．(2)对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．2、不等式的证明方法(1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小；(2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法(3)反证法：首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立；(4)分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它不成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显不成立的事实，从而得出要证的命题不成立。一、单选题1．（2024高二下·福建龙岩·阶段练习）若，且，则下列各式中，恒不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式性质推理判断即得.【详解】由，得，而，则，C错误，D正确；取，满足，且，而选项AB中不等式无意义，AB错误.2．（2024高一上·北京·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】由，可得：若，则，当时，，故不能推出；若，则当时，，可得，也不能推出．综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件．．3．（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.【详解】当时，，且，故，C项错误；因为，，所以，故B项错误；，故D项正确..4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质计算可得.【详解】由题意可知，,所以..5．（2024高一上·山东·专题练习）已知，则下列结论错误的是（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．取值范围为【答案】C【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】因为，，所以，，，所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误；因为，，所以，，，所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确.6．（2024高二下·安徽·学业考试）若，，则下列不等式不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取特殊值作反例，可判断A、B、C项；根据不等式的性质可判断D项.【详解】对于A，取，，则，，显然，但是，A项错误；对于B，取，，，满足，，，，但，B项错误；对于C，取，，但，故C项错误；对于D，若，，则，故D正确..7．（2024高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论.【详解】因为,移项得,所以,可得,由,得,可得,可得.综上所述,不等式不成立,故选:B.二、多选题8．（2024高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．已知，则D．为互不相等的正数，且，则【答案】ACD【分析】利用不等式的性质，逐个进行判断即可.【详解】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确；对于B，令，则，，显然，因此B错误；对于C，由，又，，则，即，因此C正确；对于D，由为互不相等的正数，则，又，，即，，即，，又，，即，因此D正确；CD.9．（2024高一下·广西南宁·期末）已知实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用不等式的性质进行分析即可.【详解】由，知必有，所以两边同乘以a，得，故A正确；因为b的符号不能确定，所以不一定正确，故B错误；由两边同乘以c，得，故C正确；当，时，满足且，但，故D错误．C．10．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（

）A．，当时，B．，当时，C．，当时，D．，当时，【答案】DD【分析】对于ABD选项，取特殊值进行判断；对于C选项，利用作差法比较大小.【详解】对于A，取，满足，且，此时，，故A错误；对于B，取，满足，此时，则，故B错误；对于C，因为，当时，，所以，则，故C正确；对于D，存在，，满足，故D正确.D.三、填空题11．（24-25高一上·上海·随堂练习）某种服装，平均每天可以销售20件，每件获利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，每天可多卖出5件，如果每天获利1800元，每件应降价元．【答案】4【分析】设每件应降价元，然后求出每件获得利润和平均每天可