人教A版高中数学必修第二册综合质量评估检测含答案

综合质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数-1-2i在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:复数-1-2i在复平面内对应的点(-1,-2)位于第三象限.答案:C2.(2023·全国乙卷,理)设z=2+i1+i2+iA.1-2i B.1+2iC.2-i D.2+i解析:因为i2=-1,i5=i,所以z=2+i1+i2+i5=2+ii=1-2i,所以z答案:B3.DC+AB-AC=()A.DB B.BCC.AD D.CB解析:DC+AB-AC=DC+CA+AB=DB.答案:A4.若数据x1,x2,…,x10的平均数为2,方差为3,则()A.数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的平均数为20B.∑i=110xC.数据3x1+2,3x1+2,…,3x10+2的方差为9D.∑i=110解析:数据x1,x2,…,x10的平均数为2,方差为3,则3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的平均数为3×2+2=8,3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的方差为3×32=27,故AC错误;∑i=110xi=10×2=20,故B错误;110∑i=110xi2=x2+s答案:D5.已知向量a=59,32,b=-49,-32,c=(-1,3),则向量c在向量a-b上的投影向量为()A.12,32 B.-12,32C.32,12 D.-32,12解析:因为向量a=59,-32,b=-49,-32,c=(-1,3),所以a-b=(1,3),又c=(-1,3),所以c在向量a-b上的投影向量为c·(a-b)(a-b)2(a-b)=12答案:A6.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为()A.0.25 B.0.3C.0.35 D.0.4解析:由题意知,模拟三次射击的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中十环的有421,292,274,632,478,663,共6组随机数,所以所求概率P=620=0.3答案:B7.下列命题正确的是()①平行于同一条直线的两条直线平行;②平行于同一条直线的两个平面平行;③平行于同一个平面的两条直线平行;④平行于同一个平面的两个平面平行.①② B.③④C.①④ D.②③解析:①由平行公理可得,平行于同一条直线的两条直线平行,故①正确;②平行于同一条直线的两个平面平行或相交,故②错误;③平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系,即平行、相交或异面,故③错误;④由平面与平面平行的判定可得,平行于同一个平面的两个平面平行,故④正确.所以正确的说法是①④.答案:C8.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34A.34B.5C.116D.9解析:分以下两种情况讨论:(1)第2球投进,其概率为34×34+14×14=58,第3球投进的概率为5(2)第2球投不进,其概率为1-58=38,第3球投进的概率为38×1故第3球投进的概率为1532+332=答案:D二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是()甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.甲地 B.乙地C.丙地 D.丁地解析:甲地:中位数为2,极差为5,每天新增疑似病例没有超过7人的可能,故甲地符合该标志,即A项正确;乙地:总体平均数为2,众数为2,每天新增疑似病例有超过7人的可能,故乙地不符合该标志,即B项不正确;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0,每天新增疑似病例有超过7人的可能,故丙地不符合该标志,即C项不正确;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.根据方差公式,如果存在大于7的数,那么方差一定大于3,故丁地符合该标志,即D项正确.故选AD.答案:AD10.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=ccosA,角A的平分线交BC于点D,AD=1,cos∠BAC=18,以下结论正确的是()A.AC=3B.AB=8C.CDBD=D.△ABD的面积为3解析:因为b=ccos∠BAC,所以sinB=sinCcos∠BAC=sin(∠BAC+C),所以sinCcosA=sin∠BACcosC+sinCcos∠BAC,所以sin∠BACcosC=0.因为sin∠BAC≠0,所以cosC=0,即C=12π因为cos∠BAC=ACAB=1由角平分线定理,可得ACAB=CDBD=设AC=x,则AB=8x,BC=37x,CD=73在Rt△ACD中,由勾股定理,可得x2+73x2=1,解得x=34,即AC=34,所以AB=因为S△ABC=12bcsin∠BAC=12×34×6×1-(18)

2=27732,所以S答案:ACD11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,P,Q是线段A1C1上的两个动点,且PQ=1,以A为顶点的三条棱长都是1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,则()A.EF∥平面A1C1DB.AC1=5C.三棱锥B-PQE的体积是定值D.三棱锥A1-ABD的外接球的表面积是3π答案:ACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=3.解析:因为|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,所以a2+b2-2a·b=3,a2+b2+2a·b=4a2+b2-4a·b,所以a2=2a·b.所以b2=3.所以|b|=3.13.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),则当λ=12时,点P在第一、第三象限的角平分线上;当λ<-1时,点P在第三象限内解析:设点P的坐标为(x,y),则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB+λAC=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).因为AP=AB+λAC,所以x-2=3+5λ,y-3=1+7λ.所以x=5+5λ,y=4+7λ.若点P在第一、第三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ,所以λ=12.若点P14.(2024·新高考全国Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为12解析:甲出1一定输,所以甲最多得3分.若甲得3分,就只有一种组合1-8,3-2,5-4,7-6.若甲得2分有三类,分别列举如下:①出3和出5时赢,有1-6,3-2,5-4,7-8;②出3和出7时赢,有1-4,3-2,5-8,7-6或1-8,3-2,5-6,7-4或1-6,3-2,5-8,7-4;③出5和出7时赢,有1-2,3-8,5-4,7-6或1-4,3-8,5-2,7-6或1-8,3-4,5-2,7-6或1-6,3-8,5-2,7-4或1-8,3-6,5-2,7-4或1-6,3-8,5-4,7-2或1-8,3-6,5-4,7-2.共12种组合满足要求,而所有组合为A44=24种,所以甲的总得分不小于2的概率为1224四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图所示,已知△ABC中,∠ACB是直角,CA=CB,点D是CB的中点,E为AB上一点.(1)设CA=a,CD=b,当AE=12AB,请用a,b来表示AB,(2)当AE=2EB时,求证:AD⊥CE.(1)解:因为CA=a,CD=b,点D是CB的中点,所以CB=2b,所以AB=CB-CA=2b-a,因为AE=12AB,所以CE=CA+AE=CA+12AB=a+12(2(2)证明:设CA=a,CD=b,则CB=2b,因为AE=2EB,所以CE=CA+AE=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13(a+4b),AD=AC+CD=-a+b.因为△ABC中,∠ACB是直角,CA=CB,点D是CB的中点,所以|a|=2|b|,a·b=0,所以AD·CE=13(a+4b)·(-a+b)=13(4b2-a216.(15分)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足BC·BA=-12(1)求角B的大小;(2)若b=23,sinA+sinC=1,求△ABC的面积.解:(1)因为BC·BA=-12ac,所以accosB=-12ac,所以cosB=-12.因为0<B<π,所以(2)因为B=2π3,b=23,所以12=a2+c2+ac①,又asinA=csinC=2332=4,所以sinA=a4,sinC=c4,所以a4+c4=1,所以a+c=4,所以a2+c2+2ac=16②,所以②-①得,ac=4,所以S△ABC=17.(15分)已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,所有球的大小完全相同.从1号箱中不放回地依次取2个球,每次取一个,求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率.解:设“从1号箱中第1次取得红球”为事件A,“从1号箱中第2次取得红球”为事件B,由题意可知,P(A)=46=23,P(B|A)=35,所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=2518.(17分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查,随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75,所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54(岁).设40名读书者年龄的中位数为x岁,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),故P(A)=81519.(17分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=2π3,AB=AC=2,AA1=6,D是BC的中点(1)求证:A1B∥平面ADC1;(2)求二面角B-AD-C1的余弦值.(1)证明:连接A1C交A