2024-2025学年高中数学第2章函数章末复习课学案北师大版必修1

PAGE1-第2章函数求函数的定义域【例1】(1)若函数y＝eq\f(1,ax2＋4ax＋3)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))的定义域为________．(1)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))(2)[2,4][(1)依题意，x∈R，解析式有意义，即对随意x∈R，都有ax2＋4ax＋3≠0成立，故方程ax2＋4ax＋3＝0无实根．①当a＝0时，3≠0满意要求；②当a≠0时，则有Δ＝16a2－12a＜0，即0＜a＜eq\f(3,4)时满意要求．综上可知a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).(2)由题意知，0≤eq\f(1,2)x－1≤1，解得2≤x≤4.因此，函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))的定义域为[2,4]．]求函数定义域的类型与方法1已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.2实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.3复合函数问题：①若fx的定义域为[a，b]，fgx的定义域应由a≤gx≤b解出；②若fgx的定义域为[a，b]，则fx的定义域为gx在[a，b]上的值域.,留意：①fx中的x与fgx中的gx地位相同；②定义域所指恒久是x的范围.1．已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．[解]由0≤x<1，得－1≤2x－1<1，所以，f(x)的定义域是[－1,1)．由－1≤1－3x<1，得0<x≤eq\f(2,3).所以，函数f(1－3x)的定义域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).函数的单调性【例2】(1)已知函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．(2)函数y＝|2x－1|的单调递增区间是________．[思路探究](1)将原不等式化为f(x－1)>f(2)，再利用函数的单调性将其转化为x－1<2来解；(2)画出函数的图像求解．(1)x<3(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))[(1)∵f(2)＝0，∴不等式f(x－1)>0，即为f(x－1)>f(2)，又f(x)是R上的减函数，则x－1<2，解得x<3.(2)函数y＝|2x－1|的图像如下：由图像知，其单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).]1fx是A上的增函数⇔对随意x1，x2∈A，当x1≠x2时，\f(fx2－fx1,x2－x1)>0，fx是A上的减函数⇔对随意x1，x2∈A，当x1≠x2时，.2若fx是单调递增减函数，则①fx2>fx1⇔x2>x1x2<x1；②fx2＝fx1⇔x2＝x1；③fx2<fx1⇔x2<x1x2>x1.2．(1)已知f(x)＝xeq\f(1,2)，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()A．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f(a)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)(2)已知函数y＝eq\r(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0,1] B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)(1)C(2)C[(1)由0<a<b<1，得0<a<b<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，又f(x)＝xeq\f(1,2)是增函数，则f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))).(2)依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a－1≥0，))解得a≥1.]函数的奇偶性[探究问题]1．具有奇偶性的函数其定义域有何特点？提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f(－x)＝－f(x)，故变量x，－x均在定义域中，同理，对于偶函数，由f(－x)＝f(x)可知，－x，x也均在定义域内．2．既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？提示：不对．如函数y＝0(x∈R)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数．3．定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？提示：f(0)＝0.【例3】(1)已知函数g(x)＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝()A．2 B．3C．4 D．5(2)若函数y＝eq\f(x＋12＋\r(3,x),x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.[思路探究](1)利用g(－2)＝g(2)求解；(2)变形得y＝1＋eq\f(2x＋\r(3,x),x2＋1)，先推断y＝eq\f(2x＋\r(3,x),x2＋1)是奇函数，再利用奇函数的最大值与最小值之和为零求解．(1)D(2)2[(1)由g(x)＝f(x)＋x是偶函数，得g(－2)＝g(2)，即f(－2)＋(－2)＝f(2)＋2，所以，f(－2)＝f(2)＋4＝1＋4＝5.(2)y＝eq\f(x＋12＋\r(3,x),x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋\r(3,x),x2＋1)，令f(x)＝eq\f(2x＋\r(3,x),x2＋1)，则f(x)是奇函数．∴f(x)max＋f(x)min＝0，∴M＋m＝[1＋f(x)max]＋[1＋f(x)min]＝2＋[f(x)max＋f(x)min]＝2.]函数奇偶性的几个结论1假如一个奇函数fx在原点处有定义，那么f0＝0.2假如函数fx是偶函数，那么f|x|＝fx.3奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.3．(1)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则肯定可得()A．a<b B．a>bC．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0(2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于()A．－3 B．－1C．1 D．3(1)C(2)C[(1)由f(x)是偶函数，得f(|a|)＝f(a)，f(|b|)＝f(b)．又f(a)<f(b)，则f(|a|)<f(|b|)．又f(x)在[0，＋∞)上是增函数．则|a|<|b|.故选C.(2)f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1，又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，则f(1)＋g(1)＝1.]函数的最大(小)值已知函数f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))上的最大值为1，求实数a的值．[解]当a＝0时，f(x)＝－x－3，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))上不能取得1，故a≠0.f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3(a≠0)的对称轴方程为x0＝eq\f(1－2a,2a).(1)令feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝1，解得a＝－eq\f(10,3)，此时x0＝－eq\f(23,20)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))，因为a＜0，f(x0)最大，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝1不合适．(2)令f(2)＝1，解得a＝eq\f(3,4)，此时x0＝－eq\f(1,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2)).因为a＞0，x0＝－eq\f(1,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))，且距右端点2较远，所以f(2)最大，合适．(3)令f(x0)＝1，得a＝eq\f(1,2)(－3±2eq\r(2))，验证后知只有a＝eq\f(1,2)(－3－2eq\r(2))才合适．综上所述，a＝eq\f(3,4)或a＝－eq\f(1,2)(3＋2eq\r(2))．应用分类探讨思想解决问题的关键是确定分类的标准，从而使分类不重不漏.其步骤：1确定分类探讨的对象，即对哪个参数进行探讨；2对所探讨的对象进行合理的分类；3逐个探讨；4归纳总结，即对各类状况进行归纳，得出结论.4．(1)对于随意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．(2)已知函数f(x)＝eq\r(－x2＋bx＋c)，对于其定义域的随意x，都有f(－1)≤f(x)≤f(1)，则b＝________，c＝________.(1)2(2)23[(1)如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．从图像视察可得函数f(x)的表达式：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3x≤0，,－x＋30＜x≤1，,\f(3,2)x＋\f(1,2)1＜x≤5，,x2－4x＋