2024-2025学年高中数学课时分层作业9等差数列的性质含解析新人教B版必修5

PAGE1-课时分层作业(九)等差数列的性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2C[由a，b，c成等差数列知2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝a＋2＋c＋2，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．39 B．20C．19.5 D．33D[由题意知，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝33.]3．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1 B．2C．3 D．4B[由题知a1＋a5＝2a3＝10，所以a3＝5，又a4＝7，所以公差d＝a4－a34．已知等差数列{an}满意a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0C．a3＋a99＝0 D．a51＝51C[依据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a5．已知{an}、{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为()A．－6 B．6C．0 D．10B[由于{an}、{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选B．]二、填空题6．在等差数列{an}中，a2＋a5＝9，a8＝6，则a2＝______.4[法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝9，,a8＝6，))∴a2＋a5＋a8＝3a5＝15，∴a5＝5，a2＝4.法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝9，,a8＝6，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3d＝9，,a2＋6d＝6，))解得a2＝4.]7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．1或2[∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]8．在等差数列{an}中，已知a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则eq\f(1,2)a50＋a20＋a80＝________.eq\f(25,2)[由题意，知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a99＝10.又因为{an}是等差数列，所以a50＝eq\f(a1＋a99,2)＝5，故eq\f(1,2)a50＋a20＋a80＝eq\f(5,2)a50＝eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,2).]三、解答题9．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解]设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.10．(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋[解]法一：依据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝eq\f(1,3)，∴a4＋a8＝2a6＝eq\f(2,3).法二：设公差为d，依据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d，由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝eq\f(1,3).∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝eq\f(2,3).(2)设公差为d，∵a1＋a3＝2a2∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5.又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.[实力提升练]1．设{an}是等差数列，则下列结论中正确的是()A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若0<a1<a2，则a2>eq\r(a1a3)D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0C[若an＝5－3n是等差数列，满意a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，但a2＋a3＝(－1)＋(－4)＝－5<0，A不正确；an＝5－3n也满意a1＋a3＝2＋(－4)＝－2<0，但a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，B不正确；若0<a1<a2，则a2＝eq\f(a1＋a3,2)>eq\r(a1a3)，C正确；设等差数列{an}的公差为d，则(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，D不正确，故选C．]2．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq\f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝()A．1 B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,8)C[设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，∵a1＝eq\f(1,4)，∴d＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，a4＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,4)，∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(7,4)－\f(3,4)×\f(5,4)))＝eq\f(1,2).]3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________.100[∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴an＋bn＝100，故a37＋b37＝100.]4．已知数列{an}满意a1＝1，若点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.n2[由题设可得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式eq\f(an,n)＝n，所以an＝n2.]5．已知{an}是等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入3个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：(1)原数列的第12项是新数列的第几项？(2)新数列的第29项是原数列的第几项？[解]因为数列{an}中，a1＝2，a2＝3，d＝a2－a1＝3－2＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×1＝n＋1.设新数列为{bn}，公差为d′，据题意知b1＝2，b5＝3，则d′＝eq\f(b5－b1,5－1)＝eq\f(3－2,4)＝eq\f(1