2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式一限时规范训练新人教A版必修4

PAGE1-第1课时三角函数的诱导公式（一）【基础练习】1．化简eq\r(1－sin21180°)的结果是()A．cos100° B．cos80°C．sin80° D．cos10°【答案】B【解析】原式＝eq\r(1－sin21180°)＝eq\r(1－sin2100°)＝eq\r(cos2100°)＝eq\r(cos280°)＝cos80°.故选B．2．(2024年福建厦门校级月考)已知sin(π＋α)＝eq\f(3,5)，α是第四象限的角，则cos(α－2π)＝()A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．±eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)【答案】A【解析】由sin(π＋α)＝eq\f(3,5)，得sinα＝－eq\f(3,5)，而cos(α－2π)＝cosα且α是第四象限角，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5).故选A．3．下列等式恒成立的是()A．cos(－α)＝－cosα B．sin(360°－α)＝sinαC．tan(2π－α)＝tan(π＋α) D．cos(π＋α)＝cos(π－α)【答案】D【解析】依据诱导公式可得cos(－α)＝cosα，sin(360°－α)＝－sinα，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan(π＋α)，可得A，B，C都不正确，再由cos(π＋α)＝－cosα＝cos(π－α)，可得D正确．故选D．4．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是()A．1 B．2C．0 D．2sin2α【答案】B【解析】原式＝sin2α＋(－cosα)·(－cosα)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.故选B．5．化简eq\f(sin2α＋π·cosπ＋α,cos3－α－π·tan2α－2π)的结果是()A．1 B．－1C．cosα D．eq\f(1,cosα)【答案】A【解析】eq\f(sin2α＋π·cosπ＋α,cos3－α－π·tan2α－2π)＝eq\f(sin2α·－cosα,－cos3α·tan2α)＝eq\f(sin2α,cos2α·\f(sin2α,cos2α))＝1.故选A．6．(2024年江西南昌模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(\r(3),2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))的值为________．【答案】eq\f(\r(3),2)【解析】因为eq\f(3π,4)－α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(\r(3),2).7．(2024年江苏苏州期末)已知3sin(α－π)＝cosα，则tan(π－α)的值是________．【答案】eq\f(1,3)【解析】因为3sin(α－π)＝－3sin(π－α)＝－3sinα，所以－3sinα＝cosα，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,3).所以tan(π－α)＝－tanα＝eq\f(1,3).8．求值：(1)sin1650°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(28π,3))).【解析】(1)sin1650°＝sin(4×360°＋210°)＝sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(28π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10π＋\f(2π,3)))＝coseq\f(2π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).9．已知eq\f(cos180°＋αsinα＋360°sin540°＋α,sin－α－180°cos－180°－α)＝lgeq\f(1,\r(3,10))，求eq\f(cosπ＋α,cosα[cosπ－α－1])＋eq\f(cosα－2π,cosαcosπ－α＋cosα－2π)的值．【解析】∵eq\f(cos180°＋αsinα＋360°sin540°＋α,sin－α－180°cos－180°－α)＝eq\f(－cosαsinαsin180°＋α,－sin180°＋αcos180°＋α)＝eq\f(－cosαsinα－sinα,sinα－cosα)＝－sinα＝lgeq\f(1,\r(3,10))，∴sinα＝－lgeq\f(1,\r(3,10))＝lgeq\r(3,10)＝eq\f(1,3).∴eq\f(cosπ＋α,cosα[cosπ－α－1])＋eq\f(cosα－2π,cosαcosπ－α＋cosα－2π)＝eq\f(－cosα,cosα－cosα－1)＋eq\f(cosα,cosα－cosα＋cosα)＝eq\f(1,cosα＋1)＋eq\f(1,1－cosα)＝eq\f(1－cosα＋1＋cosα,1－cos2α)＝eq\f(2,sin2α)＝18.【实力提升】10．(2024年湖南株洲期中)已知tan(π－α)＝－eq\f(2,3)，则eq\f(cos－α＋3sinπ＋α,cosπ－α＋9sinα)的值为()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(3,7)C．eq\f(1,5) D．eq\f(3,7)【答案】A【解析】tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(2,3)，可得tanα＝eq\f(2,3)，∴eq\f(cos－α＋3sinπ＋α,cosπ－α＋9sinα)＝eq\f(cosα－3sinα,－cosα＋9sinα)＝eq\f(1－3tanα,9tanα－1)＝eq\f(1－3×\f(2,3),9×\f(2,3)－1)＝－eq\f(1,5).故选A．11．已知角α与角β终边关于y轴对称，有四个等式：①sinα＝sin(π＋β)；②sinα＝sinβ；③cosα＝cos(π＋β)；④cosα＝cos(－β)，其中恒成立的是()A．②③ B．①④C．①③ D．②④【答案】A【解析】设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则P′(－x，y)在β的终边上，由三角函数的定义得sinα＝eq\f(y,r)，sinβ＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，cosβ＝－eq\f(x,r)，∴sinα＝sinβ，cosα＝－cosβ.故①④错误，②③正确．故选A．12．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数．若f(2018)＝－1，则f(2019)＝________.【答案】1【解析】∵f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＝asin(π＋2018π＋α)＋bcos(π＋2018π＋β)＝－asin(2018π＋α)－bcos(2018π＋β)＝－f(2018)，又f(2018)＝－1，∴f(2019)＝1.13．化简：eq\f(\r(1＋2sin280°·cos440°),sin260°＋cos800°).【解析】原式＝eq\f(\r(1＋2sin360°－80°·cos360°＋80°),sin180°＋80°＋cos720°＋80°)＝eq\f(\r(1－2sin80°·cos80°),－sin80°＋cos80°)＝eq\f(