向量高考真题训练

向量高考真题训练

一.选择题（共4小题）

1.已知平面a的一个法向量\=（1,-2,-2）*点A（-l，3,0）在a内，则平面外一

点P（-2,1,4）到a的距离为（）

A.10B.3C.苴D.曲

33

2.如图，已知正方体ABC。-的棱长为1,点M为棱的中点，点尸在侧面3。。加

及其边界上运动，下列命题：①当可=2用时，异面直线CP与4。所成角的正切值

3

为2；②当点P到平面A8CO的距离等于到直线4切的距离时，点P的轨迹为抛物线的

一部分；③存在点尸满足PM+PDi=J^;④满足MP_LDiM的点尸的轨迹长度为亚；

4

其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,

它体现了数学的对称美.如图.将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三

棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多

面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（）

C.V2D.272

4.设x,>6R,向量之=(x,2,2),E=(1,y,1),1=(1,-2,1),且之_11，%晨,

则I&EI=()

A.V10B.4V3c.3V2D.3V3

二.填空题（共1小题）

5.设点P在单位圆的内接正八边形AM2…A8的边41A2上，则前;-n/+…+口后的取

值范围是.

三.解答题（共11小题）

6.在平面五边形ABCDE中（如图1）,ABCO是梯形，AD//BC,AD=2BC=2,AB=V§，

N48C=90°,△4£>E是等边三角形.现将△4OE沿A。折起，连接EB,EC得四棱锥

E-ABCD（如图2）且EC/.

（1）求证：平面E4O_L平面48cd

（2）在棱EB上有点凡满足里,，求二面角E-A。-尸的余弦值.

EB3

7.如图所示，平行六面体A4cO-A向。的底面是菱形，AB=2,A4i=4,ZDAB=Z

4/W=NDA4=60°设AB=a，AD=b，

A1N=3NCfD〔M二附AAj=c-

（1）试用工，E,凝示葡，丁:

（2）求MN的长度.

8.已知直三棱柱ABC-48C1,。为线段4B1的中点，E为线段CC1的中点，AC=CE=

1,平面ABE_L平面A4C1C.

(1)证明：ABLAEi

（2）三棱锥E-的外接球的表面积为¥2L,求平面AOE与平面七夹角的余弦

2

9.直三棱柱ABC-AiBCi中，AAi=AB=AC=2,AA\±AB,AC.LAB,。为481中点，E

为A4i中点，F为CD中点.

(1)求证：后尸〃平面ABC

(2)求直线BE与平面C。。的正弦值；

(3)求平面A1CZ)与平面C。。夹角的余弦值.

10.如图，直三棱柱A8C-4B1C1的体积为4,△48C的面积为人厄.

(1)求4到平面48C的距离；

(2)设。为4c的中点，AA\=AB,平面A1BC_L平面ABB1A1,求二面角A-BO-C

的正弦值.

B

11.如图，在正方体ABC。-AIBIOOI,£为4£>i的中点，81cl交立面8七交于点F.

(I)求证：F为BiCi的中点;

(II)若点M是棱4加上一点，且二面角M-尸C-E的余弦值为返，求A2L的值.

3A^i

12.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,其中b=2.

(1)若A+C=120°,a=2c,求边长c；

(2)若A-C=15°,«=V2csinA,求△ABC的面积.

13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知如k=s1n2B

1+sinAl+cos2B

(1)若C=22L,求以

3

2,,2

(2)求a'的最小值.

2

c

14.在△A8C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.己知戾in4=acos(8-—).

6

(I)求角8的大小：

(II)设a=2,c=3,求力和sinC2A-B)的值.

15.已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,〃)，函数/(x)=a*b»且y=/(x)的图象

过点(工，V3)和点(空■，-2).

123

(I)求帆，n的值；

(II)将)，=7(x)的图象向左平移3(0<(p<Tr)个单位后得到函数y=g(x)的图象,

若y=g(x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递

增区间.

16.已知a=（cosa,sina）,b=（cosp,sinp）,0<p<a<n.

（1）若Ia-W=V2»求证：a-Lb;

（2）设。=（0,1）,若a+b=c，求a，0的值.

2023年02月10日高中数学的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共4小题)

1.已知平面a的一个法向量7=(1,-2,-2)»点A(-L3,0)在a内，则平面外一

点尸(-2,1,4)到a的距离为()

A.10B.3C.苴D.此

33

【分析】求出而，根据点尸到a的距离公式d」“于।，求解即可得出答案.

In|

【解答】解：VA(-1,3,0)、P(-2,1,4),

AAP=(-1,-2,4>

又平面a的一个法向量二=(1,-2,-2)»

・・・点P到a的距离dJ^gl=.I1X(J1)H-2)5tgmL=5

2223

IniVl+(-2)+(-2)

故选：C.

【点评】本题考查空间向量的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属

于中档题.

2.如图，已知正方体48co的棱长为1,点M为棱A8的中点，点尸在侧面BCCiBi

及其边界上运动，下列命题：①当可=1甲时，异面直级。尸与4。所成角的正切值

为2；②当点P到平面ABC。的距离等于到直线4B1的距离时，点P的轨迹为抛物线的

一部分；③存在点P满足PM+PDi=J可；④满足MP_LD1M的点P的轨迹长度为返；

4

其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【分析】建立空间直角坐标系.利用空间向量求解线线角的余弦值，进而求出正切值可

判断①；先作出辅助线，得到PEJ■平面A“C£>,故设出尸（相，1,〃），利

用尸列出方程，化简后得到轨迹方程，得到当点尸到平面ABCO的距离等于到直

线4小的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分，可判断②;可以假定设PM=PQ1=返,

2

PM=返，转化成点尸轨迹是以8为圆心，长度为1的圆上，同理设尸。=乂£,转化

22

成点P轨迹是以。为圆心，长度为工的圆上，两个圆位置关系即可判断③；利用三垂线

2

定理分别找出垂直的两个平面，与BCC\B\的交线即为点P的轨迹，可以判断④.

【解答】解：如图1,以。为坐标原点，分别以DA,DC,DDi为小y,z轴，建立空间

直角坐标系，

则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),P(A,1,2),

33

CP=(Xo,2),AE=(-ho,o),

33

设异面直线CP与A。所成角为BE(0,—

2

则cosO=|cos<CP，AD>I=I--I=I.3——尸渔,

ICPllADlKZxi5

V99

故sin8=d]_co$28=必应所以lan6=2,故①正确；

5

如图3,过点P作PE_L8C于点£连接P3i,

因为481_L平面BCCiBi,BiPu平面BCCiBi,

所以4Bi_L8iPi,

因为48_L平面BCCiBi,EPu平面BCCIBI,

所以A8_LEP,

因为A8G3C=8,AB,8Cu平面ABC。，

所以PEJL平面ABC。，

设P(/n,1,〃)，OW/nWl,其中(1»1,1),

当尸与二PE时，”(m-l)2+(l-l)2+(n-l)2=〃,

整理得：〃=[(m-1)2+工,

22

故当点P到平面ABCD的距离等于到直线A\B\的距离时，点P的轨迹为抛物线的•部

分，故②正确；

假设PM=PZ)i=返，

2_________

22

VPA/=^BH2+Hp2=^i+(-1),又BM=£,且BM始终垂直平面BCCIBI,

・・・BP=1,・••点尸轨迹是以8为圆心，半径为1的圆上，

同理尸。1=返，DiCi=L/.CiP=X

22

・•・点尸轨迹是以。为圆心，半径为1的圆上，如图I.

2

，两个圆相交有交点，即存在点夕满足「加=。£)1=亚",故③正确;

2

过M点作MG//AF交BC于点G,过M点作AE//MH交BB\于H,

则BG=HG=2,又。IM_LAF,

4

同理又MHCMG=M,

・・・£>iM_L平面M”G,又平面M/7GA平面BCOBi="G,

:,点P的轨迹为HG={§)2+§)2=噂,故④正确.

故选：D.

【点评】本题考杳空间中动点的轨迹问题，考查立体几何的综合运用，属中档题.

3.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,

它体现了数学的对称美.如图.将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三

棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多

面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（）

A."B.1C.V2D.2V2

2

【分析】先将半正多面体补全成正方体，再建系，利用空间向量法，三角函数的同角关

系，即可求解.

【解答】解：如图，将半正多面体补全成正方体，

取满足题意的两个三角形平面EFG与平面EHI,

建立如图的空间右手直角坐标系，设该正方体的棱长为1，

则。(0,0,0),B\(1,1,1),4(1,0,1),C(0,1,0),

A^C=(-1,1,-1)，DB7=(1,1,1)，

又由正方体的性质及三垂线定理易知：

4C_L平面EFG,平面E"/,

・•・平面EFG与平面EHI的法向量分别为m=A^C=(-l,1,-1)，

n=DB]=(l,1,1)，

设该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角为。，

则cos0_|cosV\,n>-p।^।11,又峭0,

ImIInixV§3

故选：D.

【点评】本题考查向量法求解面面角问题，分割补形法，化归转化思想，属中档题.

4.设x,y€R,向量；=(x,2,2),b=(1,yt1),"c=(1,-2,1),且氢E〃彳,

Mla+bl=()

A.V10B.4A/3c.3V2D.3V3

【分析】由向量的关系列等式求解x,)，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式,

结合向量的模计算得出结果.

【解答】解：向量Z=(x,2,2),%=(1,y,1),浸(1,-2,1)，且

—♦—♦—♦一

aJ_c>b//cf

a•-4+2=0

rx=2

****-2y»解得

丁Kly=-2

・・・a+b=(2+l,2-2,2+1)=(3,0,3)，

•**Ia+bIR9+0+9=3V2.

故选：C.

【点评】本题考查了向量的数乘及加法的坐标公式，属于基础题.

二.填空题（共1小题）

5.设点P在单位圆的内接正八边形442…A8的边4A2上，则为〜拓2+…+直2的取

值范围是“2+2被，16].

【分析】以圆心为原点，443所在直线为x轴，A5A]所在直线为丁轴，建立平面直角坐

标系,求出正八边形各个顶点坐标,设尸（x,y）,进而得到PA；+PA『+…+PA/=8

（Ay2）+8,根据点P的位置可求出的范围，从而得到为2+可2+…+居的

取值范围.

【解答】解：以圆心为原点，由由所在直线为％轴，A5Al所在直线为），轴，建立平面直

角坐标系，如图所示，

设尸(x,y),

贝UPA?2+FAZ2-1-…+前2=照1F+I朋2『+|朋3『+|必『+|附5「+|朋6『+|以7『+|阴8|2=8

128

(7+,2)+8,

22

Vcos22.5°A1^0345°x+y<p

2

.・邛“+y2<>

/.12+272^8(Ay2)+8W16,

即PA；+PA：+…+PA；的取值范围是[12+2加，16],

故答案为：[12+2迎，16].

【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问

题的能力，属于中档题.

三.解答题（共11小题）

6.在平面五边形ABCDE中（如图1）,ABCD是梯形，AD//BC,AO=28C=2,AB=V§，

NABC=90°,ZXAOE是等边三角形.现将△AOE沿折起，连接EB,EC得四棱锥

E-ABCD（如图2）且ECW^.

（1）求证：平面E4Q_L平面48CQ；

（2）在棱EB上有点凡满足旦E」，求二面角E-A。-尸的余弦值.

EB3

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，即可证明;

（2）建系，利用向量法，即可求解.

【解答】解：（1）证明：在图I中，取A。的中点0,连。C,0E,

依题意得：0C_LQ4,OELOA,如图，

贝UOC=AB=«，0E=^-X2=V3»

2

折叠后，在图2中，OEJLA。，如图，

在△COE中，0C=V3，0E=V3，EC=V6，

:,EU=OU+O出,・・・OE_LOC,

又OE_LA。，OCr\AD=O,OCu平面ABCO,AOu平面ABCO,

・・・OE_L平面ABCD,又OEu平面EAD,

；・平面£4。_1_平面ABCD；

(2)由(1)可知，OC,OA,OE两两垂直，

以OC,04,OF所在直线分别为x,y,z轴，建系如图，

则A(0,1,0),B(V3,1,0),E(0,0,V3),C(V3,0,0),

A0B=(V3,1,0>0E=(0,0,0A=(0,1,0)，

VILJL,AEB=3EF>A0E-0E=30F-3M

EB3

，正言加图=(夸,po)+(o,o,喋)=(*■，p限)，

取平面E4。的一个法向量为无0,0),

设平面AD尸的一个法向量为'=(x,y,z>

n•OA=y=0

・一、_OCn_-2/32V5

，

••cos'UCn'-|0•C|1l|n|.—-M7=---X--->14+0+1=--5-

又由图可知，二面角E-AO-尸为锐角，

・•・二面角E-A。-尸的余弦值为汉区.

5

【点评】本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解二面角问题,

属中档题.

7.如图所示，平行六面体48co-AiBiCiP的底面是菱形，AB=2,44=4,ZDAB=Z

.T9—

AiAB=ZDAAi=60°,不=3西，币=诬，设AB"AD=b，AA7=C-

(1)试用工，E,凝示葡，丁：

(2)求MN的长度.

B

【分析】（1）选z,b,，作为空间向量的一组基底，利用空间向量的线性运算，计算即

可得出答案；

（2）求出而I利用向量的线性运算，即可得出答案.

【解答】（1）连接AM,AN,如图所示:

:不二3耐，D7M=NB'邺"，AD=b丽:，

・••西=BC+BA+西=AE-AB+而=b--a+c，

■.1t—1I•—1f―f1—1—1—

AM=AB+Bli=a+yBD[=aq(b+c-a)5a+yb+yc，

■•••21•3—3—・•■3—3——

AjC+BJCJ=a+b,AJN^-AJC^AN;A+A1N=iaqb+c；

（2）在平行六面体ABCD-A\B\C\D\中，四边形ABCD是菱形，48=2,A4i=4,Z

DAB=ZA]AB=ZDAA\=60°，

则

a・b=2X2Xcos600=2,1-C=2X4XCOS600=4,b-0=2x4X00360°=/

又MN=MA+AN=,(a+b+c)仔a普b+c[a卷c'

「op1-♦11-♦o1—2—2—2——————

,,(MN)=y^-(a+b+4c+2a*b+4a•c+4b•c)

■^(22+22+4X42+2X2+4X4+4X4)与

164

**,MN=|MNI=^-/号'

故MN的长度为肯叵.

2

【点评】本题考查空间向量的线性运算和平面向量的数量积运算，考查转化思想，考查

逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

8.已知直三棱柱48C-4BC1,。为线段AiBi的中点，E为线段CC1的中点，AC=CE=

1,平面A4£_L平面A4cle

(1)证明：ABVAE,

（2）三棱锥£-48。的外接球的表面积为期L,求平面AOE与平面BDE夹角的余弦

【分析】（1）取4E的中点尸，连接FC,由FCLAE,平面48E_L平面AA\C\C,可证

FC_L平面A8E,知rC_LA8,结合CiC_LAB,推出力8_L平面AAiCC,再由线面垂直的

性质定理，得证；

（2）以4为坐标原点建立空间直角坐标系，设A8=2m外接球的球心为O（x,y,z）,

利用QA|=|08|=|0Q|=Q£|=R,可求得〃的值，再分别求出平面ADE与平面BDE的法

向量7与；，设平面ADE与平面8DE的夹角为8,由cose=|cos<7,n>b得解.

【解答】（1）证明：取4E的中点尸，连接尸C,

因为AC=CE,所以尸C_LAE,

因为平面ABE_L平面A41OC,平面ABEA平面A4iCiC=AE,产Cu平面AAiCC,

所以尸C_L平面ABE,

又AEU平面ABE,所以EC±AB,

因为直三棱柱A8C-4BC1,所以C1UL平面人BC,

因为48u平面ABC,所以C1CLAB,

又尸cncc=c,FC、CiCu平面A41C1C,

所以AB_L平面AAiCiC,

因为AEu平面AACiC,所以AB_LAE.

(2)解：以4为坐标原点，4B,AC,A4所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，

设48=勿，则A(0,0,0),B(2a,0,0),D(a,0,2),E(0,1,1),

因为三棱锥E・ABO的外接球的表面积为期二所以47次2=」空，即外接球半径R=

22

设外接球的球心为O(x,y,z),

由|OA|=|O5|=|OD|=|O£|=R,得f+V+dn(x-2a)2+>?2+z2=(x-a)2+y2+(z-2)2

=—+(y-1)2+(z-1)2=—,

8

解得x=a,y=^az,z=l--^a2,a=\

44

所以8(2,0,0),D(1,0,2),

所以AE=(0,b1),DE=(-1,1,-1),BE=(-2,1,1),

ffm*'AF=0fYi+z1=0

设平面AOE的法向量为ir=(.ri,ji,zi),则(F_Igpl1

m・DE=0[ri+y「Zi=0

令)”=1,则xi=2,zi=-L所以ir=(2,1,-1),

同理可得，平面BOE的法向量为；=(2,3,1),

・

设平面ADE与平面BDE的夹角为0,则cose=|cos<n，n>l=Imn|_

Iml•InIV6XV14

_V21'，

7

故平面ADE与平面BDE夹角的余弦值为返1.

7

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定

理，利用空间向量找外接球球心，解决平面与平面夹角的方法是解题的关键，考查空间

立体感、推理论证能力和运算能力，属于难题.

9.直三棱柱4BC-48C1中，AA\=AB=AC=2,AA\LAB,AC1AB,。为中点，E

为441中点，尸为C。中点.

(1)求证：〃平面A8C；

(2)求直线BE与平面狗正弦值：

(3)求平面4co与平面夹角的余弦值.

【分析】利用中位线可证(1),建立空间直角坐标系设n=(x,y,z)是平面CC1D的

法向量，平面4c。的法向量为7=(x，y，z),可解.

【解答】解：(1)证明：取B81的中点G,连接/G,EG,连接AD交EG于K,

再连接FK,

,：EK//MB\,且E是AAi的中点，则K是4。的中点，

：.FK//AC,EG//AB,

又尸KC平面ABC,ACu平面"C,

・・・FK〃平面ABC,

同理可得，EG〃平面ABC,

又FKCEG=K,

，平面EFG〃平面ABC,

・•・£：尸〃平面ABC,

(2)在直三棱柱4BC・4BICI中，AC1AB,则可建立如图所示的空间直角坐标系，

又A4i=4B=4C=2,。为4Bi中点，E为/Ui中点，产为CO中点.

故8(2,2,0),£(1,0,0),C(2,0,2),Ci(0,0,2),D(0,1,0),

则靛=(1,2,0),(2,0,0),CD=(2,b2),

设7=(x，y，z)是平面CC1£>的法向量，则有:最前7=0,7•通=0,即f-2x二°,

1l-2x+y-2z=0

令z=l,贝ijx=0,y=2,

所以\=(0,2,1)，

设直线BE与平面CCi。的夹角为仇则sin0=|cos<gg,

(3)VAi(0,0,0)，则(2,0,2),7[D=(°，匕。)，

设平面AiC。的法向量为ir=(x,y,z),则有人力=6

即2x+2z-0,令X=L则y=0,z=・L故短(1,0,T>

y=0

设平面A\CD与平面CC1D的天角为p,

【点评】本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题.

10.如图，直二棱柱48C-481C1的体积为4,ZLAiBC的面积为25年・

(1)求4到平面A18C的距离;

(2)设。为4c的中点，AA\=AB,平面平面ABB1A1,求二面角A-BO-C

的正弦值.

B

【分析】（1）利用等体积法可求点A到平面48c的距离；

（2）以△为坐标原点，BC,BA,△⑶所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标

系，利用向量法可求二面角A-8。-。的正弦值.

【解答】解：（1）由直三棱柱ABC・AiBiCi的体积为4,可得%口「皿

—_4—,

3

设A到平面AiBC的距离为d,由VA_诋=VA_ABC»

--SAd”・d=2，解得d=&.

3AAxBC333

（2）连接ABi交48于点E,・・・441=4'・••四边形月8814为正方形，

・・・ABi_L4出，又•・•平面4BC_L平面43B14,平面4BCC平面

平面AiAC,：.AR\IRC,

由直三棱柱ABC-4BiCi知BBi_L平面ABC,：,BB\A.BC.又A8nB8i=Bi,

・・・8。_1_平面488|4,：,BCA.AB,

以8为坐标原点，BC,BA,8Bi所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

*：AA\=AB,/.BCX>[2ABX2^2>又LBXBCXAAI=4,解得AB=BC=A4i=2,

22

则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A\(0,2,2),D(1,\,1),

则萩=(0,2,0),BD=(hl，1)，BC=(2,0,0),

设平面AB。的一个法向量为7=(x,y,z),

KlJn*BA=2y=0,令尸1则y=0,z=-l,

n*BD=x+y+z=0

；・平面48。的一个法向量为7=(1,0,-1),

设平面8CO的一个法向最为ir=（a,b,c）,

m*BC=2a=0

令b=l,则a=0,c=-1,

m*BD=a+b+c=O

平面BCD的一个法向量为ir=(0,1,-1),

——11

cos<n，n>――————，

&■加2________

二面角A-BD-C的正弦值为Ji-(/)2=除.

【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题.

11.如图，在正方体48CO-4BI。。，E为4。的中点，BiCi交立面8七交于点尸.

(I)求证：F为BC的中点；

(II)若点M是棱4加上一点，且二面角M-FC-E的余弦值为返，求上汽的值.

3A]B1

【分析】(I)连结OE,利用线面平行的判定定理证明CO〃平面从而可证

明CO〃EF,即可证明四边形AiBiFE为平行四边形，四边形EFGDi为平行四边形，可

得4E=BiF,ED\=FC\,即可证明81尸=尸。，故点尸为Bi。的中点；

(II)建立合适的空间直角坐标系，设点M(6，0,0),且m<0,求出所需点的坐标

和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面CM尸与COE户的法向量，由向量的夹角公

式列出关于m的关系式，求解即可得到答案.

【解答】(I)证明：连结OE,

在正方体ABC。-AiBiCiDi中，CD//C\D\tC1D1U平面A山iCiD],CDC平面AIBICIDI,

则CO〃平面AiBiCiOi,因为平面AiBiCiOiA平面CDEF=EF,

所以CO〃所，则所〃CQ,

故A向〃所〃CD1,又因为

所以四边形A\B\FE为平行四边形，四边形EFCiDi为平行四边形，

所以A1E=B|F,ED\=FC\,

而点上为4。的中点，所以4£=瓦力，

故以产=尸@,则点尸为81cl的中点.

另解：取81a的中点F,则EP与平行且相等，

进而与8平行且相等，

:,E,Fr,C,。四点共面，

・・・8心0平面CDE=尸，

从而尸与尸'重合，，点尸为的中点.

(H)解：以点以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方体棱长为2,设点M(阳，0,0),

因为二面角M■广C・E的余弦值为YL，则机<0,所以机WO,

3

则C(0.2.-2),E(-2.1,0).F(0.1,0).

故而=(-2,0,0),FC=(O,1,-2),FM=(m,-1,0>

设平面CM尸的法向量为'=(a,b,1>

则IF,型,即(吁炉0,

m*FC=Olb-2=0

所以aN*，。=2,故m=(2,2f1)»

mm

设平面COE尸的法向量为三=(x,y,1),

则置=°,即-2'=°，

n-FC=Oly-2=0

所以x=0,y=2,故益=(0,2,]>

因为二面角M-FC-E的余弦值为逅，

___3

则|四牖,；>I喑濡=相4+11环噂'

Vm

解得机=±1,又加<0,

所以m=-1,

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线血平行的性质定理的应用，二面角

的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角

问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

12.在△4BC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,其中b=2.

(1)若4+C=120°,a=2c,求边长c；

(2)若A-C=15°,d=V2csinA,求△ABC的面积.

【分析】(1)由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求4,&C,然后结合锐角

三角函数即可求解；

(2)由已知结合正弦定理先求出sinC,进而可求C,再由正弦定理求出m结合三角形

面积公式可求.

【解答】解：(1)•・・&«=120°,且a=2c,

sinA=2sinC=2sin(120°-A)=V§cosA+sinA,

/.cosA=0,

・・・A=90°,C=30°，8=60°,

,:b=2,

・・・c=9

3

(2)«=V2csinA,

MsinA=V2sinCsinA,

sirh4>0,

.,.sinC=^2,,

2

VA-C=15°，

・・・C为锐角,

・・・C=45°,A=60°,B=75°,

a________2=8

sin600sin75°y[2+V6

_W3_=3加-V6>

=V2W6

.*.SMBC=i/?sinC=—x胃3义2X^-=3-V3-

22V2W62

【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的

应用，属于中档题.

13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知，cosA-sin2B

1+sinAl+cos2B

（1）若c=22L,求B；

3

2.,2

（2）求2曹的最小值.

c

【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出艮

（2）利用诱导公式把A用。表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出

结论.

2

【解答】解：（1）VcosA=sin2B；i+cos2B=2cosfi^0,cosBWO.

1+sinAl+cos2B

.cosA_2sinBcosB_sinB

1+sinA2COS2DCOSB

化为：cosAcosB=sin4sinB+sinB,

cos(8+A)=sinB,

；・-cosC=sinB,C=2兀,,

3

/.sinfi=—,

2

36

(2)由(1)可得：-cosC=sinB>0,/.cosC<0,Ce(—,K),

2

・・・C为钝角，B,A都为锐角，B=C-—.

2

sin>4=sin(B+C)=sin(2C--5-)—-cos2C>

2

a：+b2sin%+sin%_cos22C+cos2c_(l-2sin2c)2+(1-sin,C)_

2•2•2•2厂

csinCsinCsinC

2+4sin4c-5sin2c=_L_+4sin2c_5^2^2x4-5=472-5,当且仅当sinC=

sinCsinC

占时取等号.

V2

262一

:b的最小值为472-5.

【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、

转化方法，考查了推理能力与计算能力.属于中档题.

14.在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为mb,c.已知bsiM=acos(8-二上).

6

(I)求角B的大小；

(II)设a=2,c=3,求b和sin(Z4-B)的值.

【分析】(I)由正弦定理得从inA=〃sin8,与加in4=acos(8-WL).由此能求出&

6

(II)由余弦定理得力=，7，由bsinA=acos得siii4=^^,cosA=-^=-,

6V7V7

由此能求出sin(2A-B).

【解答】解：(I)在△ABC中，由正弦定理得/二产，得加inA=〃sinB,

sinAsinB

又bsinA=，cos

6

asinB=acos(B-----),即sinB=cos(B-)=cosficos-2L+sin5sin=

6666

2^_COSB+得sjj1g,

乙乙

，tanB=V^，

又在(0,n),

3

(II)在△48C中，以=2,c=3,B=—,

3

22=/

由余弦定理得Z?=5/a+c-2accosB^，由bsinA=acos(B-—得sin4=^^-,

6v7

,:aVc,AcosA=—

V7

/.sin24=2sinAcos4=

7

COS2A=2COS2A-1=—,

7

Asin(24-8)=sin2AcosB-cos2AsinB=-^ZLX——X—

727214

【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函

数与方程思想，是中档题.

15.已知向量@=(m，cos2x),b=(sin2x,n),函数/"(x)=a*b»且y=/(x)的图象

过点(三，V3)和点(空，-2).

123

(I)求m,n的值；

(ID将尸/(x)的图象向左平移(p(0<(p<n)个单位后得到函数尸g(x)的图象，

若y=g(x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递

增区间.

【分析】(I)由题意可得函数f(x)=7??sin2v+/7cos2.v,再由y=/1x)的图象过点(羽，

V3)和点(空，-2),解方程组求