2025高考数学一轮复习9.2用样本估计总体【课件】

第九章统计与成对数据的统计分析第2节用样本估计总体1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有______的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.p%2.众数、中位数、平均数(1)众数：一组数据中______________的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

(3)平均数：把________________称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.出现次数最多最中间常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.(

)(2)一组数据的第p百分位数可以不唯一.(

)(3)方差与标准差具有相同的单位.(

)(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.(

)×√×√解析(1)平均数指的是这组数据的平均水平；中位数指的是这组数据的中间水平，它们之间没有必然联系，故该说法错误.(3)方差是标准差的平方，故它们的单位不一样.2.(必修二P180T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(

) A.一定为5.5kW·h B.高于5.5kW·h C.低于5.5kW·h D.约为5.5kW·hD解析由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW·h.

3.(必修二P213T2改编)若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为(

) A.2

B.4

C.6 D.8D解析根据方差的性质可知，数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.4.某校体育节10名旗手的身高(单位：cm)分别为175，178，176，180，179，175，176，179，180，179，则中位数为________.178.5解析把10名旗手的身高从小到大排列为175，175，176，176，178，179，179，179，180，180，考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一总体百分位数的估计例1(1)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为________，第86百分位数为________.14.517解析∵75%×20＝15，∵86%×20＝17.2，∴第86百分位数为第18个数据17.(2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.(结果保留两位小数)124.44解析由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位数一定位于[120，130)内.感悟提升1.计算一组数据的第p百分位数的步骤2.直方图中可运用面积和求第p百分位数.训练1(1)(2024·唐山模拟)某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为(

)A.220

B.240

C.250

D.300B解析∵1200×80%＝960，∴小于103分的学生最多有960人，则数学成绩不小于103分的学生至少有1200－960＝240(人).(2)若数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是______________.[4.5，＋∞)解析因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6个数据为4.5，所以应该有5个数据不大于4.5，则x≥4.5.考点二总体集中趋势的估计角度1样本的数字特征例2(1)(多选)给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据(

)A.众数为2 B.平均数为3C.方差为1.6 D.标准差为4BC解析由题中数据可得，众数为2和3，故A错误；(2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(

)A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差BD解析取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.角度2频率分布直方图中的数字特征例3

在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位：mm)，得到样本的频数分布表如下：纤维长度频数频率[0，50)40.04[50，100)80.08[100，150)100.10[150，200)100.10[200，250)160.16[250，300)400.40[300，350]120.12(1)在图中作出样本的频率分布直方图；解样本的频率分布直方图如图所示.(2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计.设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位数为252.5mm；故平均数为222mm.由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为275mm，252.5mm和222mm.感悟提升1.中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用.2.频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高的矩形底边中点的横坐标.(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和是相等的.(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个矩形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.训练2(1)某大学共有12000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)(

)A.中位数为6B.众数为10C.平均数为6.88D.该校读书不低于8本的人数约为3600C解析由图知，中位数x在[4，8)内，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，A错误；由图知，众数在[4，8)内，故众数为6，B错误；平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正确；由图知，该校读书不低于8本的频率之和为1－0.16×4＝0.36，所以该校读书不低于8本的人数约为0.36×12000＝4320，D错误.(2)(2023·上海卷)国内生产总值(GDP)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标.根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳定增长，第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元和241亿元，且四个季度的GDP逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020年的GDP总额为________亿元.946解析依题意，将2020年四个季度的GDP数据分别记为a1，a2，a3，a4，则a1＝232，a4＝241，考点三总体离散程度的估计解由表格中的数据易得：感悟提升标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小.训练3(2024·济南调研)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(

) A.样本x1，x2，…，xn的标准差

B.样本x1，x2，…，xn的中位数 C.样本x1，x2，…，xn的极差

D.样本x1，x2，…，xn的平均数AC解析由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC.2.从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为(

)A.92，85 B.92，88C.95，88 D.96，85B解析数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，所以第25百分位数是88.3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(

)A.中位数 B.平均数C.方差

D.极差A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响.D5.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(

) A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同CD6.(多选)(2024·江苏四市调研)某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则(

) A.a＝0.008 B.X＝120 C.70分以下的人数约为6人 D.本次考试的平均分约为93.6AD解析对于A，由题图可知20×(0.002＋0.014＋a＋0.004＋0.020＋0.002)＝1，解得a＝0.008，故A正确；对于B，由题图可知成绩在[110，130)分的学生人数为1000×0.008×20＝160，成绩在[130，150]分的学生人数为1000×0.002×20＝40，对于C，70分以下的人数为1000×20×(0.002＋0.004)＝120，故C错误；对于D，平均分为(0.002×40＋0.004×60＋0.014×80＋0.020×100＋0.008×120＋0.002×140)×20＝93.6，故D正确.7.(2024·T8联考)某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是(

) A.中位数是3，众数是2 B.平均数是3，中位数是2 C.方差是2.4，平均数是2 D.平均数是3，众数是2C解析对于A，当掷骰子出现的结果为2，2，3，5，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故选项A不正确；对于B，当掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故选项B不正确；所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，故选项C正确；对于D，当掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，众数为2，可以出现点数6，故选项D不正确.故选C.8.已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________.8.60解析根据众数的定义知，百分率最高的是0.10.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为______秒.16.5解析设成绩的70%分位数为x，解由题意，求出zi的值如表所示，所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.12.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图所示.(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解由题图可知，区间[80，90)的频率最大，所以众数为85.设中位数为x，则0.025＋0.1＋(x－80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求(在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？解日销售量在区间[60，100)的频率为0.875＜0.9，日销售量在区间[60，110)的频率为0.975＞0.9，故所求的量位于区间[100，110)内.由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，13.(多选)(2024·杭州调研)2023年9月23日至10月8日在杭州举办了第19届亚运会，为了宣传亚运精神，红星实验学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如图所示的频数分布折线图，则(

)ABDA.甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数B.甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差C.甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数D.甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差解析观察每天宣传次数的频数分布折线图，甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2，3，A正确；甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3，2，B正确；14.(多选)(2023·海南模拟)环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的AQI(空气质量指数)，数据按照(0，50]，(50，100]，…，(200，250]进行分组得到下面的频率分布直方图，已知0＜AQI≤50时空气质量等级为优，则(

)ABDA.甲、乙两城市AQI的中位数的估计值相等B.甲、乙两城市AQI的平均数的估计值相等C.甲城市AQI的方差比乙城市AQI的方差小D.甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多解析A中，根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的AQI的中位数均为125，A正确；B中，设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，则a×50×2＋b×50＋c×50×2＝1，即50(2a＋b＋2c)＝1，同理，50(2x＋z＋2y)＝1，甲城市的AQI的平均数为50c×25.5＋50a×75.5＋50b×125.5＋50a×175.5＋50c×225.5＝50(250c＋250a＋125.5b)＝50×125.5×(2c＋2a＋b)＝125.5，乙城市的AQI的平均数为50x×25.5＋50y×75.5＋50z×125.5＋50y×175.5＋50x×225.5＝50(250x＋250y＋125.5z)＝50×125.5×(2x