2023初中数学培优竞赛例题+练习：几何初步认识（共5个）（学生版+解析版）

专题13几何图形问题

一、数正方体个数

【典例】如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的

俯视图

A.6个B.7个C.8个D.9

【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，第三层有1

个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1+1=6个.

故选：A.

【巩固】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正

C.9D.10

二、正方体的展开与折叠

【学霸笔记】

正方体的II种不同的展开图

“一四一”型

【典例】如图，是一个几何体的表面展开图.

（1）该几何体是:

（2）依据图中数据求该几何体的体积.

【解答】解：（I）由展开图得这个几何体为长方体，

故答案为：长方体.

（2）表面积：3X1X2+3X2X2+2X1X2=22（米？），

体积：3X2X1=6（米3）,

答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米.

【巩固】如图是•个正方体的展开图，标注了字母A,C的面分别是正方体的正面和底面，其他面分别用字

母B,D,E,F表示.已知A=h+1,B=3x-2,C=hD=x-I,E=2x-1,F=x.

（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出x的值；

（2）如果正面字母A代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且x为整数，求整数女的值.

三、叠放的几何体求表面积或体积

【典例】棱长为。的正方体，摆成如图所示的形状.

(1)如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积：

(2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积.

(3)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下〃层，求该物体的表面积.

【解答】解:(I)6X(1+2+3)加2=36层.

故该物体的表面积为36〃：

(2)6X(1+2+3+…+20)・标=1260/.

故该物体的表面积为1260a2；

(3)6X(1+2+3+…+〃)•储=3〃(1+/?)a2.

故该物体的表面积为3〃(l+〃)a2.

【巩固】将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染

色的小正方体有2197个，则只有两个面染色的小正方体有个.

巩固练习

1.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数

字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）

2.如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）

A.12JiB.I8nC.24nD.30Ji

3.如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）

4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字

表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图.

5.(I)如图I,一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形

的周长.

(2)如图2,一个长方体纸盒的长、宽、高分别是。厘米、厘米、c厘米(a>b>c)将它的一些棱剪开

展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形.

6.请在下面的五个方框中画出5种不I可的正力体的展开图(经过平移或旋转后能够重合的，算作一种).

例

7.如图，下列几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜

色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律.

图③

（1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有个.第3个几何体中只有2个面涂色的小立方

体共有个.

（2）设第〃个几何体中只有.2个面涂色的小立方体的块数为M,请用含字母〃的代数式表示M；

（3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和.

8.（1）在如图（1）所示的正方体表面展开图中的三个空白正方形内各填入一个质数，使该图复原成正方

体后，三组对面上的两数之和都相等.

（2）图（2）是由四个如图（1）所示的正方体拼成的长方体，其中有阴影的面上为合数，无阳影的面上为

质数，并且整个表面上任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数.已知长方

体正面上的四个数之和为质数，那么其左侧面上的数是（填具体数）.

（3）如果把图（2）中的长方体从中间等分成左右两个小长方体，它们各自表面上的各数之和分别为和

S右，那么S左与S友的大小关系是SJS右.

IE®

(2)

9.六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到

的包装形状是一个长方形.已知磁带盒的大小为〃加=11X7X2（单位

（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；

（2）若不给出。、b、c的具体尺寸，只假定3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并

10.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）,面数（F）,棱数（E）之间存在的一个有趣

的美系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

四面体长方体正八面体正十二面体

（I）根据上面多面体的模型及表格中的数据:

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体446

长方体8612

正八面体6812

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是；

（2）一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10,则这个多面体的面数是；

（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体.它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成.每个顶

点处都有3条棱，共有棱36条.若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2,求该多面体

外表面三角形的个数.

专题13几何图形问题

一、数正方体个数

【典例】如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的

俯视图

A.6个B.7个C.8个D.9

【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，第三层有1

个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1+1=6个.

故选：A.

【巩固】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正

方体的个数最多是（）

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：由俯视图易得最底层有6个小正方体，第二层最多有3个小正方体，那么搭成这个几何体的

小正方体最多为3+6=9个.

故选：C.

二、正方体的展开与折叠

【学霸笔记】

正方体的11种不同的展开图

“一四一”型

【典例】如图，是一个几何体的表面展开图.

（1）该几何体是:

（2）依据图中数据求该几何体的体积.

【解答】解：（I）由展开图得这个几何体为长方体，

故答案为：长方体.

（2）表面积：3X1X2+3X2X2+2X1X2=22（米？），

体积：3X2X1=6（米3）,

答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米.

【巩固】如图是•个正方体的展开图，标注了字母A,C的面分别是正方体的正面和底面，其他面分别用字

母B,D,E,F表示.已知A=h+1,B=3x-2,C=hD=x-I,E=2x-1,F=x.

（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出x的值；

（2）如果正面字母A代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且x为整数，求整数女的值.

【解答】解：(I)•・•正方体的左面B与右面D代表的代数式的值相等，

A-1—3x-2»

解得x=

(2)•・•正面字母A代表的代数式与对面F代表的代数式的值相等，

kx+1=x,

：.(A-1)x=-I,

为整数,

・•・力…为・l的因数,

:.k-1=±1,

・・・&-0或3一2,

综上所述，整数k的值为。或2.

三、叠放的几何体求表面积或体积

【典例】棱长为。的正方体，摆成如图所示的形状.

(1)如果这•物体摆放三层，试求该物体的表面积：

(2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下2()层，求该物体的表面积.

(3)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下〃层，求该物体的表面积.

(2)6X(1+2+3+…+20)・。2=1260屋.

故该物体的表面积为1260a2；

(3)6X(1+2+3+…+〃)*/=3〃(1+〃)a2.

故该物体的表面积为3〃(1+//)标.

【巩固】将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染

色的小正方体有2197个，则只有两个面染色的小正方体有个.

【解答】解：•・•133=2197,

，在大正方体中未染色的部分是棱长为13的小立方•体，

因此大正方体的棱长为13+2=15,

棱长为15的大正方体的每一条棱上有15-2=13个只有两个面奥色的小正方体,

因此共有13X12=156个只有两个面染色的小正方体，

故答案为：156.

巩固练习

1.一个几何体山大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数

字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）

【解答】解：由所给图可知，这个几何体从正面看共有三列，左侧第一列最多有4块小正方体，中间一列

最多有2块小正方体，最右边一列有3块小正方体，

所以主视图为B.

故选:B.

2.如图是一个儿何体的二视图，根据图中所标数据计算这个儿诃体的体积为（）

A.12JiB.18nC.24nD.30n

【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1,大圆半径是2,

则大圆面积为：nX22=4n,小圆面积为：nX12=n,

故这个几何体的体积为：6X4Ji-6XJT=24Ji-6n=18n.

故选:B.

3.如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）

【解答】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，

则三角形的面在右面，与原图不符，

只有B折叠后符合，

故选：B.

4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字

表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图.

【解答】解：从止面看、左面看的图形如图所示:

从正面看从左面看

5.(1)如图1,一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形

的周长.

(2)如图2,一个长方体纸盒的长、宽、高分别是〃厘米、匕厘米、。厘米(a>b>c)将它的一些棱剪开

展戌一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形.

【解答】解：(1)•・•正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接,

・•・要剪12-5=7条棱，

4X(7X2)

=4X14

=56(cm).

答：这个平面图形的周长是56a”；

这个平面图形的最大周长是8a+46+2c.

6.请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图(经过平移或旋转后能够重合的，算作一种).

【解答】解：作图如下：(答案不唯一).

7.如图，下列几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜

色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律.

图①图②

（1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有个.第3个几何体中只有2个面涂色的小立方

体共有个.

（2）设第〃个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数为M,请用含字母〃的代数式表示M；

C）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和.

【解答】解：（I）观察图形可得第I个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何

体中只有2个面涂色的小立方体共有5X4=20个故答案为：420…（4分）

（2）观察图形可知：图①中，两面涂色的小立方体共有4个；

图②中，两面涂色的小立方体共有12个；

图③中，两面涂色的小立方体共有20个.

4,12,20都是4的倍数，可分别写成4X1,4X3,4X5的形式，

囚此，笫〃个图中两面涂色的小立方体共有4（2/L1）=8/2-4,

・・・M=8〃-4（〃为正整数）…（8分）

（3）（8X1-4）+（8X2-4）+（8X3-4）+（8X4-4）+（8X5-4）+•••+（8X100-4）

=8（1+2+3+4+…+100）-100X4=40000

故前100个图形的点数和为4000（）.

8.（I）在如图（I）所示的正方体表面展开图中的三个空白正方形内各填入一个质数，使该图复原成正方

体后，三组对面上的两数之和都相等.

（2）图（2）是由四个如图（1）所示的正方体拼成的长方体，其中有阴影的面上为合数，无阳影的面上为

质数，并且整个表面上任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数.已知长方

体正面上的四个数之和为质数，那么其左侧面上的数是（填具体数）.

（3）如果把图（2）中的长方体从中间等分成左右两个小长方体，它们各自表面上的各数之和分别为S,,和

S右，那么S左与S右的大小关系是S左S右.

（2）已知长方体正面上的四个数之和为质数，任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相

对面上的两数.那么可猜测正面上的四个数分别为：13,18,2,21,按照（1）,13在正面，那么21应该

在左侧；

故答案为21.

同时第（2）小题中，如果正面的数从左到右依次是2,10,13,16与13,10,2,16,答案就不一样了.同

时即使左边一个正面的数为2,那上面的数可以是16,也可以是10,故此题答案不唯一.

（3）分开后，左侧表面的数的和为:2（13+21+10+16+7）=134；右侧表面的数的和为：（2+16+21+7+13）

+（21+10+13+2+7）=112,

；・St£>S右.

9.六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到

的包装形状是一个长方形.已知磁带盒的大小为。儿=11X7X2（单位cm）.

（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；

（2）若不给出人爪c的具体尺寸，只假定〃2匕263问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并

说明理由.

a

【解答】解：（1）设：三个面的面积记为A=Ac,B=ac,C=ab,

①在1X6的方式下，打包方式如图乙，这时，表面积

S6=2C+12BH2A=2X11X7+I2XIIX2+I2X7X2=586（cM：；

②在2X3的方式下，打包方式如图丙，这时，表面积

S丙=4C+6B+12A=4XI1X7+6X11X2+12X7X2=608（c/n2）；

因为S乙<S内，所以最小表面积的打包方式是1X6.

（2）若a，b》c,则单叠（即1*6方式）打包的最小表面积S=2a力+12ac+12Ac；

双叠（即2*3方式）打包最小表面积S'=4仍+6ac+12〃c.所以SS'=2a（3c-A）.

所以：当且cWAV3c时，最小表面积为双橙

当心Q3c时，最小表面积为单叠

当。2〃=3。时，两种方式一样大

o9B

图甲图乙图丙

10.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣

的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题:

四面体长方体正八面体正十二面体

（1）根据上面多面体的模型及表格中的数据：

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体446

长方体8612

正八面体6812

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是;

（2）一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10,则这个多面体的面数是；

（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶

点处都有3条棱，共有棱36条.若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2,求该多面体

外表面三角形的个数.

【解答】解：（1）74+4-6=2,8+6-12=2,6+8・12=2,

・・・顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；

故答案为：V+F・E=2：

<2）根据题意，可得『第”,解得《=祟

（2占=3V=30

VV+F-E=2,

.•・F=2+E-V=2+30-20=12,

故答案为：12；

(3))・・・¥=36=E,V=24,V+F-E=2,

2

••・F=14,

设八边形的个数为），个,

则三角形的个数为23，+2个，

由题意得尸2y+2=14,

解得：y=4,

・・・2尸2=10,

答：该多面体外表面三角形的个数为10个.

专题14直线、射线、线段

一、线段的和、差、倍、分

【典例】(1)如图，已知点C在线段AB上，且AC=12c/〃，BC=8a〃，点M、N分别是

AC、BC的中点，求线段MN的长度；

(2)若点C是线段AB上任意一点，且AC=a,BC=几点M、N分别是AC、BC的中点，

求线段MN的长度：(用心〃的代数式表示)

(3)在(2)中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他

条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果.

AMCNB

【解答】解：(1)由AC=12(cm),M是AC的中点，得

MC=-AC=6(cm).

2

由BC=8(cm),N是CB的中点，得

CN=-CB=4(cm).

2

由线段的和差，得

MN=MC+NC=6+4=10(cm)；

(2)由AC=a(cm),M是AC的中点，得

MC=-AC=-(cm).

22

由BC=〃(c〃z),N是CB的中点，得

CN=:CB=2(cm).

22

由线段的和差，得

MN=MC+NC=-+-=—(cm)；

222

(3)①当点C在B点的右边时，AC=a,BC=4点M、N分别是AC、BC的中点，得

MC=-AC=NC=-BC=-(cm).

2222

由线段的和差，得

MN=MC-NC=7-1=£T(的)；

②当点C在A点的左边的，AC=〃，BC=〃，点M、N分别是AC、BC的中点，得

MC=-AC=NC=-BC=-(c//z).

2222

由线段的和差，得

MN=NC-MC=

222

③点C在线段AB上时，MN=MC+NC=T+?=?(cm).

【巩固】如图，已知线段AB=,〃，CD=〃，线段CD在直线AB上运动(点A在点B的左

侧，点C在点D的左侧）,若■⑵+（6-〃）2=0.

（1）求线段AB,CD的长：

（2）若点M,N分别为线段AC,BD的中点，BC=4,求线段MN的长；

（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点,

下列两个结论：①^是定值，②^是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明.

•・------•—•----------------

ACDB

二、计数类问题

【学霸笔记】

1.若平面内有两两相交的〃条直线，其交点最少为1个，最多有—个；

2.若一条直线上有〃个点，那么这条直线上的线段总数有4〃（八一1）条，射线总数有如条:

3.过平面上任意三个不在同一条直线上的〃个点中的两个点，可以画1）条直线；

4.平面内〃条直线两两相交，且任意三条直线都不共点时，这些直线可以将平面分成互不

重叠的部分最多，有：TigI1）I1个.

【典例】A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），

当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，

B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队

必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，

已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，

又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），

所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场.

故选：B.

【巩固】为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，

数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当〃=2,3,4时，画出最多直线的条数分

别是：

6=1+2+3

13=1+2

过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增

加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+…+9=45条直线.

请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）

（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？

（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上〃条直线最多可以把平

面分成多少个部分？

巩固练习

1.如图，王伟同学根据图形写出了四个结论:

①图中共有3条直线；②图中共有7条射线：③图中共有6条线段；④图中射线BC与射线

CD是同一条射线.

其中结论正确的有（）

2个C.3个D.4个

2.如图，线段AF中，AB=«,BC=b,CD=c,DE=d,EF=e.则以A,B,C,D,E,

F为端点的所有线段长度的和为（）

[a11Ic[d]。।

ABCDEF

A.5a+8〃+9c+8d+5eB.5a+Sb+\0c+Sd+5e

C.5a$9从9c$94+5eD.Da+16>18c+16d*10c

3.互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC=2a+l,BC=〃+4,AB=3a,这三点

的位置关系是（）

A.点A在B、C两点之间B.点B在A、C两点之间

C.点C在A、B两点之间D.无法确定

4.如图，在数轴上有A,B,C,D,E五个整数点（即各点均表示整数），且AB=2BC=

3CD=4DE,若A、E两点表示的数的分别为-13和12,那么，该数轴上上述五个点所表

示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（）

IIlli

ABCDE

A.-1B.5C.6D.8

5.如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为

NA的中点，Q是AM的中点，则MN：PQ等于（）

IIlliII

AQPMNBC

A.1B.2C.3D.4

6.平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有机个，最少有//个，则〃计〃等于（）

A.36B.37C.38D.39

7.某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，

三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所

有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）

卜10咪水200米x

/区8区C区

A.A区B.B区

C.C区D.A、B两区之间

8.如图，B,C,D是线段AE上的三个点，已知AE=9,BD=4,求图中以A、B、C、D、

E这5个点为端点的所有线段的和为.

ABCDE

■IBB■

9.已知线段AB=〃？（机为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC

上，且满足CQ=2AQ,CP=2BP.

ACB

（1）如图，若AB=6,当点C恰好在线段AB中点时，则PQ=；

（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不

是，请说明理由；

（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ-2PQ

与1的大小关系，并说明理由.

10.直线/上的三个点A、B、C,若满足BC=，\B,则称点C是点A关于点B的“半距点”.如

图1,BC=|AB,此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”.

若M、N、P三个点在同一条直线机上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN=6c〃?.

（1）MP=cm；

（2）若点G也是直线〃?上一点，旦点G是线段MP的中点，求线段GN的长度.

ABC1

（图1）

（备用图）

专题14直线、射线、线段

一、线段的和、差、倍、分

【典例】(1)如图，己知点C在线段AB上，且AC=12M,BC=8CM,点M、N分别是AC、BC的中点，

求线段MN的长度；

(2)若点C是线段AB上任意一点，且AC=a,BC=4点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN

的长度；(用。、。的代数式表示)

(3)在(2)中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB_L任意一点，其他条件不变，则线

段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果.

AMCNB

【解答】解：(1)由AC=12(cm),M是AC的中点，得

MC=-AC=6(cm).

2

由BC=8(an),N是CB的中点，得

CN=-CB=4(an).

2

由线段的和差，得

MN=MC+NC=6+4=10(cm)；

(2)由AC=〃(cw),M是AC的中点，得

MC=-2AC=-2(cm).

由BC=〃Cem),N是CB的中点，得

CN=-CB=-Cem).

22

由线段的和差，得

MN=MC+NC=-+-=—(cm)；

222

(3)①当点C在B点的右边时，AC=〃，BC=〃，点M、N分别是AC、BC的中点，得

MC=-AC=NC=-BC=-(cw).

2222

由线段的和差，得

MN=MC-NC=---=—(an)；

222

②当点C在A点的左边时，AC=〃，BC=A点M、N分别是AC、BC的中点，得

MC=-AC=NC=-BC=-(cm).

2222

由线段的和差，得

MN=NC-MC=

222

③点C在线段AB上时，MN=MC+NC=j+1=(cm).

【巩固】如图，已知线段AB=〃【，CD=〃，线段CD在直线AB上运动(点A在点B的左侧，点C在点D

的左侧)若12|+(6-/1)2=0.

(1)求线段AB,CD的长；

(2)若点M,N分别为线段AC,BD的中点，BC=4,求线段MN的长；

(3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，下列两个结论:

是定值，吟=是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明.

・・•—•------------------------

ACDB

【解答】解：(1)'：\m-12|+(6-〃)2=0,

\m-121=-(6-//)*2,

"-12=0,6-n=0,

・・〃=6,〃?=12,

AAB=12,CD=6；

(2)如图I,・・・M、N分别为线段AC、BD的中点，

,\AM=-2AC=-2(AB+BC)=8,

DN=-BD=-(CD+BC)=5,

22

/.MN=AD-AM-DN=9；

MN,

-------------------------•-------------•------------1

ABCD

图1

“N

・•••••/

ACBD

图2

如图2,VMsN分别为线段AC、BD的中点，

AAM=-AC=i(AB-BC)=4,

22

DN=-BD=-(CD-BC)=1,

22

/.MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9；

(3)②正确.理由如下：

..PA+PB_(PC+AC)+{PC-CB)_2PC

•—==2,

PCPCPC

工②嗜是定值2.

二、计数类问题

【学霸笔记】

1.若平面内有两两相交的〃条直线，其交点最少为1个，最多有义九⑺一1)个;

2.若一条直线上有〃个点，那么这条直线上的线段总数有条，射线总数有2八条;

3.过平面上任意三个不在同一条直线上的〃个点中的两个点，可以画—条直线；

4.平面内〃条直线两两相交，且任意三条直线都不共点时，这些直线可以将平面分成互不重叠的部分最

多,有）以"+1）+1个.

【典例】A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一

定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，

这时，E队己赛过的场数是（）

A.IB.2C.3D.4

【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、

E这四个球队各赛•场，

已知B队赛过3场，B队已和A队赛过I场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，

乂知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），

所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从再推断E队赛过2场.

故选:B.

【巩固】为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴

趣小组的同学们讨论得出如下方法：当〃=2,3,4时，画出最多直线的条数分别是：

过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，

以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+…+9=45条直线.

请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）

（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？

（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上〃条直线最多可以把平面分成多少个部

分？

【解答】解.：（1）当有2,3,4条直线时最多交点的个数分别是：

.*.20条直线最多有1+2+3+…+19=190个交点;

(2)当有I,2,3条直线时最多可把平面分成的部分分别是:

1+(1+2+3+…+100)=5051个部分,

同理〃条直线最多可把平面分成

1+(1+2+3+…+〃)=1+3=立山

22

巩固练习

1.如图，王伟同学根据图形写出了四个结论:

①图中共有3条直线：②图中共有7条射线：③图中共有6条线段；④图中射线BC与射线CD是同一条射

线.

其中结论正确的有()

C.3个D.4个

【解答】解：①图中只有BDI条直线，原来的说法错误;

②图中共有2X3+1义2=8条射线，原来的说法错误；

③图中共有6条线段的说法是正确的；

④图中射线BC与射线CD不是同一条射线，原来的说法错误.

故选：A.

2.如图，线段AF中，AB=〃，BC=b,CD=c,DE=d,EF=e.则以A,B,C,D,E,F为端点的所有

线段长度的和为()

aibicidiei

ABCDEF

A.5a+8b+9c+8d+5eB.5a+8b+1Oc+8d+5e

C.5a+9b+9c+9d+5eD.10。+165+18rH6d+10e

【解答】解:以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF,这些线段长度之和为5a+4〃+3e+2d+e,

以B为端点线段有BC、BD、BE、BF,这些线段长度之和为4/>+3c+2d+e,

以C为端点线段有CD、CE、CF,这些线段长度之和为3e+2d+e,

以D为端点线段有DE、DF,这些线段长度之和为

以E为端点线段有EF,线段的长度为e,

故这些线段的长度之和为5〃+8加9c*+8d+5e,

故选：A.

3.互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC=2a+l,BC=a+4,AB=3a,这三点的位置关系是

()

A.点A在B、C两点之间B.点B在A、C两点之间

C.点C在A、B两点之间D.无法确定

【解答】解：•••AC=2a+l,BC=a+4,AB=3mA、B、C三点互不重合

：.a>0,

若点A在B、C之间，

则AB+AC=BC,

即2a+l+3a=a+4,

解得«=p

4

故A情况存在，

若点B在A、C之间，

则BC+AB=AC,

即a+4+3a=2a+l,

解得〃=*,

故B情况不存在，

若点C在A、B之间，

则BC+AC=AB,

即。+4+2。+1=3。，

此时无解，

故C情况不存在，

•・•互不重合的A、B、C三点在同一直线上，

故选：A.

4.如图，在数轴上有A,B,C,D,E五个整数点（即各点均表示整数），且AB=2BC=3CD=4DE,若

A、E两点表示的数的分别为-13和12,那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点

最近的整数是（）

IIlli

ABCDE

A.-1B.5C.6D.8

【解答】解：由题意可设AB=K,由AB=2BC=3CD=4DE有

BC=-2x,C3D=-x.D4E=-x

,:A、E两点表示的数的分别为-13和12,

AAE=25

.*.A+-X+-X+入=25,解得x=12

234

/.AB=12,BC=6,CD=4,DE=3

・・・B、C、D三个点表示的数分别是-1、5、9.

而A、E两点的中点表示的数应该是-0.5,

.•.上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是-1.

故选：A.

5.如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，、是线段AC的中点，P为NA的中点，Q

是AM的中点，则MN：PQ等于（）

IIlliII

AQpMNBC

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点,

Q是AM的中点，可知：PQ=AP-AQ=1AN-^AM=1（AN-AM）=|MN,所以MN：PQ=2：1=2

故选：B.

6.平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有〃?个，最少有〃个，则〃计〃等于（）

A.36B.37C.38D.39

【解答】解：三条最多交点数的情况.就是第三条与前面两条都相交：1+2

四条最多交点数的情况.就是第四条与前面三条都相交：1+2+3

五条最多交点数的情况.就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4

六条最多交点数的情况.就是第六条与前面五条都相交:1+2+3+4+5

七条最多交点数的情况.就是第七条与前面六条都相交:1+2+3+4+5+6

八条最多交点数的情况.就是第八条与前面七条都相交:1+2+3+4+5+6+7

九条最多交点数的情况.就是第九条与前面八条都相交:1+2+3+4+5+6+7+8=36

当平面内的9条直线相交于同•点时，交点数最少，即〃=1

则擀+〃=1+36=37

故选:B.

7.某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直

线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之

和最小，那么停靠点的位置应设在()

200米

A.A区B.B区

C.C区D.A、B两区之间

【解答】解：•・•当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15X100+10X300=4500”

当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30X10010X200=5000//?,

当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30X30015X200=12000〃?，

当停靠点在A、B区之间时，

设在A区、B区之间时，设距离A区x米，

则所有员工步行路程之和=3Qr+15(100-x)+10(100+200-

=3O.v+l5OO-15x+30(X)-IOx,

=5廿4500,

也可以：利用人数越多，走的路程越少，总路程会越少，

・••当x=0时，即在A区时，路程之和最小，为4500米；

综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区.

故选：A.

8.如图，B,C,D是线段AE上的三个点，已知AE=9,BD=4,求图中以A、B、C、D、E这5个点为

端点的所有线段的和为.

ABCDE

■…•■.I..1

【解答】解：・・・AE=9,BD=4,

AAB+DE=9-4=5.

・••以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和=AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE

=(BC+CD)+(AB+DE)+(AC+CE)+(AD+DE)+AE+BD

=BD+(AB+DE)+AE+AE+AE+BD

=4+5+9+9+9+4

=40.

故答案为：40.

9.已知线段AB=〃？(m为常数，点C