高考数学第二轮专题第11讲-立体几何

第11讲立体几何1.[2020·天津卷]如图M4-11-1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1M⊥B1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.图M4-11-12.[2020·全国新高考Ⅰ卷]如图M4-11-2,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.图M4-11-23.[2020·全国卷Ⅱ]如图M4-11-3,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.图M4-11-34.[2020·全国卷Ⅰ]如图M4-11-4,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=66(1)证明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.图M4-11-4平行、垂直关系的证明1如图M4-11-5,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,E为侧棱PD的中点,O为AC与BD的交点.(1)求证:OE∥平面PBC;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,AC=4,AB=5,sin∠ABC=45,求证:AC⊥图M4-11-5【规律提炼】(1)证明平行与垂直时,主要是考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理的运用,考查转化与化归思想,考查空间想象能力,求解时注意条件书写的完整性.(2)证明面面关系的核心是证明线面关系,证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法:①线面平行的性质定理;②三角形中位线法;③平行四边形法.证明线线垂直的常用方法:①等腰三角形三线合一;②勾股定理的逆定理;③线面垂直的性质定理;④菱形的对角线互相垂直.测题1.如图M4-11-6,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点O,EF∥AB,AB=2EF,平面BCF⊥平面ABCD,BF=CF,点G为BC的中点.(1)求证:OG∥平面EFCD;(2)求证:AC⊥平面ODE.图M4-11-62.如图M4-11-7所示,在四棱锥P-ABCD中,AB=AD=2BC=2,BC∥AD,AB⊥AD,△PBD为正三角形,且PA=23.(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;(2)若点P到底面ABCD的距离为2,E是线段PD上一点,且PB∥平面ACE,求三棱锥A-CDE的体积.图M4-11-7利用空间向量求角与距离2[2020·全国卷Ⅲ]如图M4-11-8,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内;(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.图M4-11-83[2020·浙江卷]如图M4-11-9,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(1)证明:EF⊥DB;(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.图M4-11-9【规律提炼】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)求出相应平面的法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理、结论求出相应的角和距离.测题1.如图M4-11-10,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=1,D是棱BB1上一点,P是C1D的延长线与CB的延长线的交点,且AP∥平面A1CD.(1)求证:BD=B1D;(2)求二面角C-A1D-C1的正弦值;(3)若点E在线段AP上,且直线A1E与平面A1CD所成的角的正弦值为147,求线段AE的长图M4-11-102.如图M4-11-11,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠B1BA=π3(1)证明:B1C⊥AC1;(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC,M为A1C1的中点,求B1C与平面AB1M所成角的余弦值.图M4-11-11利用空间向量解决探索性问题4如图M4-11-12①,在平面五边形ABCDE中,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AD=2BC=22,AB=3,∠ABC=90°,△ADE是等边三角形.现将△ADE沿AD折起,连接EB,EC,得到如图②所示的几何体.(1)若点M是ED的中点,求证:CM∥平面ABE.(2)若EC=3,在棱EB上是否存在点F,使得二面角E-AD-F的余弦值为223?若存在,求EFEB的值;若不存在图M4-11-125如图M4-11-13所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面BDE.(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值.(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.图M4-11-13【规律提炼】对于立体几何中的探索性问题、存在性问题,借助空间向量,使几何问题代数化,可降低思维难度.对于存在性问题,解题的策略一般为先假设存在,然后转化为“封闭型”问题求解判断,若不出现矛盾,则肯定存在;若出现矛盾,则否定存在;对于折叠问题,要注意折叠前后的位置关系与数量关系,一般情况下,折线同侧的关系不变,两侧的关系往往发生变化.测题1.如图M4-11-14,已知矩形ADEF和菱形ABCD所在的平面互相垂直,其中AF=1,AD=2,∠ADC=π3,点N为AD的中点(1)试问在线段BE上是否存在点M,使得直线AF∥平面MNC?若存在,求出BMME的值;若不存在,请说明理由(2)求二面角N-CE-D的正弦值.图M4-11-142.如图M4-11-15,在四棱锥P-A