《工业机器人技术及应用》课件-第3章

第3章机器人的微分运动与速度3.1微分与雅克比矩阵3.2坐标系的微分运动3.3雅克比矩阵计算3.4

建立雅克比矩阵与微分算子之间的关联3.5雅克比矩阵的逆

机器人的运动是机器人结构的动态变化;机器人的速度是一定时间内的运动变化。机器人在很短的时间段内的运动就是机器人的微分运动。微分运动是对机器人进行运动分析

和速度分析的重要手段。

3.1微分与雅克比矩阵

雅克比矩阵(Jacobian)是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。雅克比矩阵是机构在任何给定时间的几何形状和不同部件之间相互关系的表示,可表示机构部件随时间变化的几何关系。

1.微分与雅克比矩阵的关系

假设有两自由度的机构,每个连杆都独立旋转,θ1为第1连杆相对于参考坐标系的旋转角度,θ2为第2连杆相对于第1连杆的旋转角度,根据该两自由度平面机构建立的坐标系,如图3-1所示。

图3-1两自由度平面机构的坐标系

由于机器人是串联机器人,因此每个连杆的运动都是指该连杆相对于前一连杆上的当前坐标系的运动。通过对B点位置方程求微分有

对式(3-1)中两个变量求微分可得

2.机器人关节与手的微分运动

式(3-5)的矩阵形式为

根据式(3-6)可建立机器人的关节微分运动和机器人手坐标系微分运动之间的关系为

例3-1假定已知在某一时刻的机器人雅克比矩阵,计算在给定关节微分运动的情况下,机器人手坐标系的线位移微分运动和角位移微分运动。

3.2坐标系的微分运动

1.坐标系的微分运动对于机器人来说,机器人手坐标系的微分运动是由机器人每个关节的微分运动所引起的。机器人关节的微量运动会导致机器人手坐标系产生微量运动,因此,必须将机器人的微分运动与坐标系的微分运动关联起来。坐标系的微分运动包括微分平移、微分旋转和微分变换。

1)微分平移

微分平移是坐标系相对于参考坐标系平移一个微分量,其含义是坐标系沿着x、y、z轴做了微小量的运动,可表示为

2)微分旋转

微分旋转是坐标系的微小旋转。绕参考轴的微分旋转是绕坐标系绕x、y、z轴的旋转,其相应的微分转动定义为δx、δy、δz,其微分旋转可分别表示为Rot(x,δx)、Rot(y,δy)和Rot(z,δz),也可以是绕当前轴n、o、a旋转。

绕轴大角度旋转时变化矩阵是不能交换的,但绕轴微分旋转时变换矩阵是满足交换律的,即

证明:由于微分值很小,高阶微分可忽略不计,设高阶微分如δxδy为零,则有

3)微分变换

因此,微分算子Δ的求解如下

坐标系B运动后的位姿为

2.坐标系间的微分变化

式(3-16)可改写为

则有

例3-3-对给定的坐标系B,绕y轴进行0.1rad的微分运动,再沿微分平移[0.1,0,0.2],求相对于当前坐标的微分变换的微分算子。

3.3-雅克比矩阵计算

机器人的雅克比矩阵就是将关节运动和手运动之间的建立起了联系,即

以六自由度链式机器人为例,机器人基座坐标系和机器人手坐标系之间的总变换为

事实上,相对于最后一个坐标系T6的雅克比矩阵比相对于第一个坐标系的雅克比矩阵计算要简单。Paul指出,可将相对于最后一个坐标系(即第6个坐标系)速度方程写为

式(3-24)可写为

3.4建立雅克比矩阵与微分算子之间的关联

1.借助D建立关系假设机器人的关节移动一个微分量:

2.借助T6JD建立关系

例3-4假定一个五自由度机器人手的坐标系、瞬时的雅克比矩阵及一组微分运动,求经微分运动后机器人手的坐标系的新位置。

微分运动后,机器人手的坐标系的新位置为

3.5雅克比矩阵的逆

为了计算机器人关节上的微分运动,则需要获得雅克比矩阵的逆,方程如下:上式同时左乘矩阵雅克比矩阵的J-1,则可得

雅克比矩阵逆的求解对机器人精确运动有着重要意义,常用的方法有三种:第一种是求出符号形式的雅克比矩阵的逆,把值代入其中并计算出速度;第二种是将数据代入雅克

比矩阵,再用高斯消去法或其他方法求解数值矩阵的逆;第三种是利用逆运动方程计算关节的速度。以六自由度链式机器人为例,其总变换矩阵为

将机器人的期望位姿表示为

1.dθ1的求解方法

通过机器人的期望位姿矩阵和式(3-30)构建等式关系,并将等式两边左乘A-11,即

2.dθ3-的求解方法

3.dθ2的求解方法

4.dθ4的求解方法

5.dθ5的求解方法

例3-5工业相机安装在机器人手坐标系TH上,已知机器人在该位置的雅克比矩阵的逆:

机器人所做的微分运动为

(1)找出哪些关节必须做微分运动,并计算出这些关节需要做多大的微分运动量才能产生所指定的微分运动。

从而可得,关节1、2、4、6需要做微分运动,这些关节需要做的微分运动量为0.05、0.2、