【数学】平面向量基本定理同步课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6．3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理第六章平面向量及其应用学习单元2平面向量基本定理及坐标表示[学习目标]

1.理解平面向量基本定理，了解向量的一个基底的含义．2.在平面内，当一个基底选定后，会用这个基底来表示其他向量．3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．条件e1，e2是同一平面内的两个____________结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________基底若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内________向量的一个基底不共线向量λ1e1＋λ2e2

不共线所有微提醒：1．同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可．2．当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．

(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(

)A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2[分析]

两个向量是否共线是判断作为基底的条件．例1ACD选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底．选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．思维提升1．(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法正确的是(

)A．若λ，μ满足λe1＋μ

e2＝0，则λ＝μ＝0B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μ

e2成立的实数λ，μ有无数对C．线性组合λe1＋μ

e2可以表示平面α内的所有向量D．当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μ

e2可能表示同一向量跟踪训练AC例2用基底表示向量的一般方法1．根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法运算的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.2．基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．思维提升跟踪训练a＋b2a＋c例31．平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．2．平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．思维提升跟踪训练AA〈课堂达标〉

1．下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．其中，说法正确的为(

)A．①②

B．②③C．①③ D．①②③B平面内只要是两个不共线的向量均可作为表示该平面内所有向量的基底，有无数组，①错误，②正确；由平面向量基本定理可得，平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的，③正确．2．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(

)A．a＝0，b＝e1＋e2B．a＝3e1＋3e2，b