福建省龙岩市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检查数学试题【含答案解析】

龙岩市2024~2025学年第一学期期末高二教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线经过点和点，则该直线的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据方向向量的定义即可求解.【详解】由于直线经过点和点，故直线的方向向量与向量平行的向量，故选：A2.设是等差数列，且，，则的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据是等差数列，用公式求出，得到的通项公式【详解】设等差数列的公差为,因为，所以,解得,则.故选：B3.若直线：与直线：平行，则实数为（）A.-3 B.3 C.3或-3 D.1或-1【答案】B【解析】【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可；【详解】由题意可得：，解得：，当时，直线：与直线：平行，当时，直线：即，与直线：，重合，舍去，故，故选：B4.二次函数图象的顶点的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线【答案】C【解析】【分析】根据二次函数写出顶点坐标，即可得轨迹方程，判断轨迹图形即可.【详解】由，则顶点坐标为，所以顶点的轨迹是，为抛物线.故选：C5.设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（）A. B. C.16 D.17【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．【详解】正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，a5，3a3，a4成等差数列，可得6a3＝a5+a4，即6a1q2＝a1q4+a1q3，化为q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则1+q4＝1+16＝17．故选D．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．6.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（）A.75种 B.144种 C.288种 D.360种【答案】C【解析】分析】根据分步乘法计数原理，先排数学，再排英语，最后排剩余课程，结合组合数运算求解.【详解】先排数学，有种不同的排法；再排英语，有种不同的排法；最后排剩余课程，有种不同的排法；所以不同的排法共有种.故选：C.7.中国传统乐器“埙”是汉族特有的闭口吹奏乐器，音色朴拙抱素独为地籁．有一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.已知半椭圆和半圆组成的曲线C如图所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点．当点M的坐标为时，的面积最大，则该半椭圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两点距离可得，即可根据与平行的直线且与半圆相切于点时，到直线的距离最大，即可根据求解.【详解】由点在半圆上，所以，由椭圆可知图中，，要使的面积最大，当与AG平行的直线且与半圆相切于点时，M到直线AG的距离最大，此时，即，∴，解得，所以半椭圆的方程为故选：C8.已知抛物线C：焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（）A. B. C.14 D.【答案】D【解析】【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案.【详解】由l：得，由，得，，所以直线，过定点．所以点的中点坐标为，连接AM，则，由题意知点B在以AM为直径的圆上，所以点B的轨迹方程为（不包含点），记圆的圆心为，过点P，N分别作准线垂线，垂足分别为D，H，则，当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，所以的最小值为．故选：D.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知n是正整数，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由组合数、排列数的计算公式逐个判断即可；【详解】正确；，正确，，错误，由可知，D错误，故选：AB10.已知直线l：，圆P：，点M是圆P上的动点，则（）A.直线l与圆P有2个不同的交点B.点M到直线距离的最小值为C.若直线l与圆P相交于A，B两点，则的最小值为D.若直线l是圆P的对称轴，点，则的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，求出直线l过定点，判断定点在圆内，即可判断；对于B，圆P上一点M到直线的最小距离是圆心到直线的距离与圆的半径的差，从而可求出答案；对于C，由A选项直线l过的定点，根据时，取得最小值，从而可求出答案；对于D，由题意得，直线l过圆心P，代入圆心坐标，求得m，的最大值为圆心P与点之间的距离与圆的半径之和，从而可求出答案.【详解】对于A，因为直线l：，所以直线l：所以，解方程组得所以直线l恒过定点，圆P：的圆心为，半径为；由于，所以直线l恒过的定点在圆P内，所以直线l与圆P定有2个不同的交点，故A正确；对于B，圆心到直线距离为，点M到直线距离的最小值为，故B错误；对于C，当时，取得最小值，，故C正确；对于D，因为直线l是圆P的对称轴，所以圆心在直线l上，即，解得，所以所以，所以的最大值为，故D正确，故选：ACD11.已知数列的通项公式为，数列满足，，，则（）A.B.数列是递增数列C.D.满足不等式的最小正整数n为7【答案】AC【解析】【分析】根据数列的通项公式求前三项判断A、B；根据及通项公式判断C；根据已知得，结合，判断D.【详解】由，得，，，所以A正确；因为，，所以B错误；因为，，，所以，，，，，，，，，，，，，，，，所以C正确；因为，所以，∴，即，故，故，所以，易知且单调递增，由可知，，则，，所以n的最小值为8，所以D错误．故选：AC【点睛】关键点点睛：利用递推式求相关项，并判断数列的单调性为关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为______．【答案】【解析】【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解.【详解】的中点坐标为,则,故边上的中线所在直线方程为，即，故答案为：13.已知椭圆C：的左焦点为F，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为______．【答案】20【解析】【分析】画出图形，运用椭圆对称性和定义，设，则，，将的最小值问题转化为二次函数最值问题即可.【详解】如图，假设右焦点为，由对称性和椭圆定义可知：，，设，则，故，则当时，取得最小值，最小值为20．故答案为：20.14.已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是______．【答案】【解析】【分析】设的左焦点为，由已知作图，可得，根据圆周角定理得，再由三角形外角可得，即得，结合双曲线定义和勾股定理，即可化简得到，进而求出离心率的范围.【详解】因为，所以是以为圆心，为半径的圆与双曲线的交点，设的左焦点为，则，，，又，，则．在双曲线的右支上，，，又在中，，，即，解得，又，．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，满足．（1）求n的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令即可得解.（2）根据乘法分配律，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】(1)∵，.∴令时，，∴.(2)由（1）知∴，∴.16.已知圆：，圆：．（1）证明：圆与圆相交；（2）若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证.（2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程.【小问1详解】圆的标准方程为，圆心，半径；圆的标准方程为，圆心，半径；于是，即，所以圆与圆相交.【小问2详解】由，得，将代入圆得：，当时，；当时，，则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为，而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为.17.已知正项数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列性质公式计算即可；（2）运用裂项相消法计算，结合不等式性质，证明即可.【小问1详解】∵，当时，，∴两式相减并化简得，又，则；当时，，即，∴，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.【小问2详解】证明：由（1）得，，又，则，则.18.折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，可按如下步骤折纸．步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点，此时圆弧上与点重合的点标记为；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点；步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点．现取半径为4圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的标准方程；（2）设直线l：与曲线交于两点．①若直线过点，且的面积为，求实数的值；②若直线过定点，为坐标平面上的动点，直线斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理．【答案】（1）（2）①；②点N是在定直线上．【解析】【分析】（1）以所在的直线为x轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，由，即可求解；（2）①由直线过焦点可得直线l：，联立椭圆方程，由弦长公式及点到线的距离公式，求出面积列出等式求解即可；②设点，设点、，由直线l过定点，得到AB的方程为，联立椭圆方程，由，列出等式求解即可.【小问1详解】以所在的直线为x轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，设为椭圆上一点，由题意可知且，则曲线是以为左右焦点，长轴长，焦距的椭圆，其中，，，所以曲线的标准方程为．【小问2详解】（2）①由（1）知，直线l：过，可得：，即，所以由直线l：与曲线的标准方程联立方程组，消去y得，．设两交点，，则有，，所以，又椭圆左焦点到直线l：的距离为，所以，解得或（舍去），即;（2）②解：设点，设点、，因为直线l过定点，所以直线的方程为，联立消去y得，．∴，，，，，因为直线斜率的倒数成等差数列，即，所以，，即，将，代入上述等式可得，当时点N在l上，显然满足当时，，整理可得，可得，即，即对任意的恒成立，所以，，解得或．由于的斜率不为0，所以，故；所以点是在定直线上．【点睛】关键点点睛：②点，设点、，由，化简得到对任意的恒成立.19.已知有穷数列A：，满足，记，定义如下操作过程T：从A中任取两项，，将的值添在A的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列，继续实施一次操作过程T，得到的新数列记作，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作．（1）设数列，求的所有可能的结果；（2）证明：；（3）设数列，求可能结果，并说明理由．【答案】（1）；；；（2）证明见解析；（3），理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知及新定义求的所有可能的结果；（2）应用作差法比较与大小，即可证结论；（3）对于满足的实数a，b定义运算：，先证明运算满足交换律、结合律，再应用运算律求经过4次操作后的余项，即可得结果.【小问