2025北师数学六下数学好玩《神奇的莫比乌斯带》教学分析

神奇的莫比乌斯带学习目标1.动手操作，验证交流，经历探索和认识莫比乌斯带的过程，积累数学活动经验。2.在动手操作、对比探索中认识莫比乌斯带，学会将长方形纸条制作成莫比乌斯带，初步体会莫比乌斯带的特征。3.在数学活动中经历猜想与探索的过程，感受莫比乌斯带魔术般的神奇变化，感受数学的无穷魅力，进一步激发学生学习数学的兴趣和好奇心。建议课时数1课时。教师在理解教科书意图的基础上，可以根据学生的实际情况对课时进行适当调整。编写说明莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的，即：把一根纸条一头扭转180°后，两头再粘接起来做成纸环，这个纸环具有魔术般的性质。一般常见的纸环具有内侧的面和外侧的面两个面（即双侧曲面），两个面可以分别涂成不同的颜色。而这样的纸环只有一个面（即单侧曲面），沿着面涂颜色最后涂成的是一种颜色。这样的神奇的单面纸环后来就用数学家莫比乌斯的姓命名为“莫比乌斯带”，也叫“莫比乌斯圈”。“莫比乌斯带”虽然属于“拓扑学”的内容，但这个内容是一个激发学生学习兴趣、拓展数学视野的好题材，对学生来说具有可操作性、趣味性和挑战性等特点，因此教科书将此内容安排为“数学好玩”的内容，目的是让学生通过数学活动，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发好奇心和学习数学的兴趣。当然，对于小学生来说，主要是让学生通过数学活动初步认识和体会其特征，体会数学的无穷魅力，不需要掌握双侧曲面、单侧曲面等知识。“莫比乌斯带”有很多有趣的、奇妙的特征，如“只有一个面”“只有一条边”“沿中间线剪开后不是两个纸环，而是一个大的纸环”等，会给学生的思维带来一定的冲击（如，明明原来是两个面，怎么会变成一个面了呢），学生会感觉到有点难以理解和有点“神奇”。为了帮助学生认识“莫比乌斯带”并体会其特征，教科书采用让学生用一般常见的纸环与“莫比乌斯带”比较的办法，设计了一系列操作实践活动，让学生在活动中观察、猜测、比较、验证、思考、发现，直观感受“莫比乌斯带”的神奇，领略数学的魅力，拓展数学思维。·一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，它能吃到面包屑吗？这个活动是让学生了解一般的纸环都有两个面。为了让学生在比较中认识“莫比乌斯带”，教科书先让学生了解一般的纸环的特点，让学生观察、思考，发现“在这样的纸环上，蚂蚁不爬过纸环的边缘，无法吃到面包屑”，因为“面包屑在里面，蚂蚁在外面”，即这样的纸环有两个面。·做一做，想一想。先用一张长方形纸条如左下图那样扭一下，再把两端粘上，得到如右下图的纸环。在这个纸环上作个标记表示面包屑，想一想，小蚂蚁从点A出发能吃到面包屑吗？这个活动是让学生学习制作“莫比乌斯带”，并初步体会莫比乌斯带的特征。教科书中，首先是让学生用长方形纸条制作“莫比乌斯带”，对于“纸条一头扭一下，再接起来”的过程教师可以作一定的指导、示范。制作完成后，让学生进一步猜测、操作、探索、体验特征，让学生发现“不管面包屑在什么地方，蚂蚁顺着面爬就能吃到，也就是不必爬过边缘就能吃到”，初步感受真是一个“神奇的纸环”。·分别在普通纸环和“神奇的纸环”上各取一点，从这点开始涂色，不能翻过边缘一直涂下去，你发现了什么？这个活动是让学生在对比中进一步体会“这个神奇的纸环只有一个面”的特征，涂色活动是让学生体验特征的一种简便可行的方式。教科书继续采用一般的纸环和神奇的纸环比较的方式，让学生分别给两个纸环涂颜色，发现一般的纸环涂到只有一面的颜色（另外一面涂不到），而神奇的纸环无论从哪里开始涂都是把所有的地方都涂到了，从而体会神奇的纸环实际上“只有一个面”。·再取两张长方形纸条，每张长方形纸条中间画一条虚线（如图），再分别做成一个普通纸环和一个“神奇的纸环”。用剪刀沿纸条上的虚线剪开，你又发现了什么？这个活动是让学生继续开展研究活动，在对比中发现“莫比乌斯带”“沿中间的一条线剪开后，成了一个大的纸环”等特征，进一步体会莫比乌斯带的神奇，并揭示莫比乌斯带的名称和来历。教科书首先设计了一个对比活动，让学生分别将一个一般的纸环和一个神奇的纸环沿中间的一条线剪开，发现一般的纸环变成了两个窄一点的纸环，但神奇的纸环却没有分成两个圈，而变成了一个窄一点的大的纸环（注意这个大的纸环已不是莫比乌斯带了），让学生进一步体会莫比乌斯带的神奇之处。在学生充分活动体验的基础上，揭示莫比乌斯带的名称和来历：是由数学家莫比乌斯发现的，并用他的姓来命名的。最后，教科书引导学生进一步研究莫比乌斯带，会发现更多有趣的奇妙的现象和规律，激发学生学习兴趣。如可以制作一个莫比乌斯带，画两条线平分成三份，沿线剪开，可以发现“剪开后是两个套在一起的纸环，其中一个是窄一点的大的纸环（不是莫比乌斯带），另一个窄一点的小的纸环（这个仍是莫比乌斯带，是原来分成三份中的中间部分形成的）。如果平分成四份，可以发现“剪开后，是两个大的套在一起的纸环（都不是莫比乌斯带）”，等等，莫比乌斯带还有很多奇妙的特征。教学建议课前，教师要准备好或让学生准备好一些学习材料：每位学生若干张纸条（一般6条左右），剪刀，固体胶（胶带纸）、水彩笔等，以在开展活动时使用。本节学习内容的展开方式，我们有两种建议。第一，对于自主学习能力较强的班级，教师可以把学习任务直接交给学生，即由学生根据教科书的问题串，直接通过小组合作的方式探索任务的结果。第二，对于自主学习能力一般的班级，建议参考如下活动建议。活动可以让每个学生独立开展操作活动，也可以同桌两人为一组进行。·一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，它能吃到面包屑吗？建议先让学生自己独立做一个纸环，并在纸环内侧标上记号表示面包屑，教师再呈现情境图，提出问题：“外面的一只蚂蚁如果不翻过纸环的边缘，能吃到面包屑吗？”让学生在自己做的纸环上模拟思考，再组织交流。引导学生发现：这样的纸环有两个面（内侧的面、外侧的面，或者简单地说里面、外面），所以不翻过边缘，蚂蚁无法吃到面包屑。·做一做，想一想。先用一张长方形纸条如左下图那样扭一下，再把两端粘上，得到如右下图的纸环。在这个纸环上作个标记表示面包屑，想一想，小蚂蚁从点A出发能吃到面包屑吗？教学时，建议教师先进行莫比乌斯带的制作的示范、指导，特别是扭的方法需要指导（实际就是把纸条的一头两个面扭转一下，再把两头接起来，就成了一个特别的神奇的纸环），然后让学生每人亲自动手制作一个神奇的纸环（即莫比乌斯带）。为了让学生更好地感受“原来有两个面的纸条，一头扭转后接起来的纸环只有一个面”的特点，这个活动中可以用正反面颜色不同的纸条或在白纸的一个面涂上颜色。学生制作完成后，让学生在这个纸环的一个地方标上记号表示面包屑，一个地方标记表示蚂蚁，引导学生思考“从点A出发，不翻过边缘能吃到面包屑吗”，可以让学生在自己做的纸环上模拟操作或者画线、思考，再组织交流，还可以让学生改变面包屑的位置，引导学生发现这个纸环很神奇，即“不管面包屑在什么地方，蚂蚁顺着面爬就能吃到，也就是不必爬过边缘就能吃到”，也就是“蚂蚁不翻过任何一处的纸的边缘，却能爬到纸表面的每一个地方”。学生总结交流后，还可以引导学生与前面的纸环进行比较，为什么前面这个一般的纸环吃不到面包屑，而这个神奇的纸环能吃到面包屑，初步体会“神奇的纸环只有一个面”的特征。·分别在普通纸环和“神奇的纸环”上各取一点，从这点开始涂色，不能翻过边缘一直涂下去，你发现了什么？教学时，建议先让学生按教科书要求分别开展涂色活动，然后说说有什么发现，在充分的活动后发现和体会“神奇的纸环只有一个面”的特征。在充分体验“只有一个面”的基础上，教师还可以引导学生去观察研究“是不是只有一条边呢”，可以在边上作个记号，然后用手沿着边往前，最后发现回到了原点，进一步体验这个纸环（莫比乌斯带）的神奇。·再取两张长方形纸条，每张长方形纸条中间画一条虚线（如图），再分别做成一个普通纸环和一个“神奇的纸环”。用剪刀沿纸条上的虚线剪开，你又发现了什么？教学时，建议先让学生按教科书要求在两张纸条中间分别画一条线，平分成两部分，然后分别制作成一个一般的纸环和一个神奇的纸环。然后，让学生先猜一猜“如果把两个纸环分别沿线剪开，会剪成什么样子呢”。在学生猜测的基础上，再让学生动手操作，验证自己的猜想，发现神奇的纸环“剪开后没有分成两个圈，而变成了一个窄一点的大的纸环”，交流中体会这个纸环的“神奇”。在此基础上，教师可以小结一下已经发现的“只有一个面”“剪开后没有一分为二，而变成了一个窄一点的大的纸环”等奇妙的特征，并让学生介绍“莫比乌斯带”的名称及其来历。最后，引导学生进一步开展研究活动，将莫比乌斯带平分成三份、四份，先猜一猜会剪成什么样子，再剪开，进一步探索和感受莫比乌斯带的“神奇”，体会数学的魅力，激发学习兴趣。教师还可以在网络上收集莫比乌斯带相关的资料与图片，向学生介绍一些莫比乌斯带的应用，如用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状，这样皮带就不会只磨损一面了；还有莫比乌斯圈原理制成的莫比乌斯爬梯、中国科技馆“三叶扭结”、过山车、克莱因瓶等，让学生直观地感受了它的作用，深刻体会了“数学来源于生活又服务于生活。”进一步激发学生探求数学知识的欲望。交织与连续——莫比乌斯带在设计中的运用莫比乌斯带是一种拓扑图形①，它是由德国数学家莫比乌斯于1858年发现的。一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质：普通纸带具有两个面——正面和反面，而莫比乌斯带只有一个面——单侧曲面。也就是说，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必路过它的边缘。人们把这种由莫比乌斯发现的纸带称为“莫比乌斯带”（Mobiusstrip，图1）。它在每个局部上都有两个面，但对于整体来说却是一个无限的交织与连续。莫比乌斯带还可以出更多的拓扑造型，如三叶扭结等（图2）。图1图2莫比乌斯带不止是一个数学概念，它作为一个极富趣味与意义的主题，还被运用在鞋子、家具及标志等各种设计领域。最为著名的产品设计是UnitedNude设计公司的一款名为莫比乌斯的概念鞋，整只鞋从鞋底、鞋跟、鞋床到鞋帮都由一整条带状皮革环绕而成，产生了有___________________________________________________________________________①拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种交换的条件是：在原来图形的点与变换图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫作拓扑变换。两个普通鞋跟的高度，却没有传统鞋跟的奇妙效果（图3）。图3莫比乌斯带的正反两个界面具有同一性，而把这种内与外边界的模糊性映射到建筑中，就产生了用一种材料连续环绕而形成建筑的顶面、墙面与地面的设计手法，使得梁、柱、墙与屋顶构件同一化，室内与室外空间概念模糊起来。图4日本建筑师远藤秀平设计的位于日本兵库县播磨公园内的弹性建筑B（SpringtectureB）美国建筑理论大师彼得·埃森曼在莱因哈特大楼（TheMaxReinhardtHaus）设计中运用了莫比乌斯带特有的“回旋”特性，来表达都市的多变与多元的“自我回旋”。他在这个设计中，先建立一个断面，接着让断面配合莫比乌斯带的路径进行回旋，直到最后又回到原点（图5）。由此生成的空间多变、充满非理性，不仅墙面与地面不再垂直，而且在整个空间的设计上也没有了以往