备战2023年高考数学一轮复习-第5讲-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相AT＝eq\x(\s\up1(01))eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\x(\s\up1(02))eq\f(ω,2π)eq\x(\s\up1(03))ωx＋φeq\x(\s\up1(04))φ2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xeq\x(\s\up1(05))eq\f(0－φ,ω)eq\x(\s\up1(06))eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\x(\s\up1(07))eq\f(π－φ,ω)eq\x(\s\up1(08))eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\x(\s\up1(09))eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φeq\x(\s\up1(10))0eq\x(\s\up1(11))eq\f(π,2)eq\x(\s\up1(12))πeq\x(\s\up1(13))eq\f(3π,2)eq\x(\s\up1(14))2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤1．对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)，其图象的基本变换有：(1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短．(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长．(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移．(4)上下平移(纵向平移变换)：是由b引起的，b>0时上移，b<0时下移．可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换．2．当相应变换的函数名不同时，先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论．3．由y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)的图象得到y＝sinx的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到．1．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为()A．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,4) B．2，eq\f(1,2π)，eq\f(π,4)C．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,8) D．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,8)答案A解析由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的振幅为2，频率为eq\f(1,π)，初相为eq\f(π,4).故选A.2．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的简图是()答案A解析令x＝0得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，排除B，D.由x＝－eq\f(π,3)时，y＝0，x＝eq\f(π,6)时，y＝0，排除C.故选A.3．(2022·辽宁锦州月考)将曲线C1：y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))上的所有点向右平移eq\f(π,6)个单位，再将各点横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为()A．y＝2sin4x B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))C．y＝2sinx D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))答案A解析曲线C1上的所有点向右平移eq\f(π,6)个单位，得到曲线y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－\f(π,6)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝2sin2x，再将各点横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到曲线C2：y＝2sin4x.4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－eq\f(π,3) B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6) D．4，eq\f(π,3)答案A解析由图可知，eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,12)＋eq\f(π,3)＝eq\f(3π,4)，所以T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2.因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，2))在图象上，所以2×eq\f(5π,12)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.又－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3).故选A.5．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.答案eq\r(π2＋4)解析y＝cos(x＋1)的半个周期是π，最大值为1，最小值为－1，故由勾股定理得所求距离为eq\r(π2＋22)＝eq\r(π2＋4).6．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0,0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________.答案y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]解析从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝eq\f(1,2)×(30－10)＝10，b＝eq\f(1,2)×(30＋10)＝20，又eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)＝14－6，所以ω＝eq\f(π,8).又eq\f(π,8)×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝eq\f(3π,4)，所以y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]．考向一“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象例1用五点法作出y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上的图象．解2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)；2·eq\f(2π,3)＋eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).令2x＋eq\f(π,3)＝0，得x＝－eq\f(π,6)；令2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，得x＝eq\f(π,12)；令2x＋eq\f(π,3)＝π，得x＝eq\f(π,3)；令2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(3π,2)，得x＝eq\f(7π,12).列表如下：2x＋eq\f(π,3)－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)eq\f(5π,3)x－eq\f(π,3)－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(2π,3)y－eq\r(3)020－2－eq\r(3)描点作图．用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；(2)确定周期；(3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点；(4)选出一个周期内与x轴的三个交点；(5)列表；(6)描点．1.用“五点法”画出函数y＝eq\r(3)sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)的图象．解∵函数y＝eq\r(3)sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin\f(x,2)＋\f(1,2)cos\f(x,2)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)cos\f(π,6)＋cos\f(x,2)sin\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))，列表如下：eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(π,3)eq\f(2π,3)eq\f(5π,3)eq\f(8π,3)eq\f(11π,3)y020－20描点、连线作图如下：将函数y＝eq\r(3)sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(11π,3)))的图象不断向左、向右平移(每次移动4π个单位长度)，即得函数在R上的图象．考向二三角函数的图象变换例2(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)＝()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))C．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(7π,12))) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))答案B解析依题意，将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到f(x)的图象，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象eq\o(―――――――――→,\s\up14(向左平移\f(π,3)个单元长度))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))的图象eq\o(→,\s\up7(所有点的横坐标扩大到原来的2倍),\s\do5(纵坐标不变))f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))的图象．关于y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象由y＝sinx的图象的变换，先将y＝sinx的图象向左(向右)平移|φ|个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)，然后将所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是eq\f(|φ|,ω)个单位，原则是保证x的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．2.(多选)(2021·青岛市高三上学期期末)要得到y＝cos2x的图象C1，只要将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象C2怎样变化()A．将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象C2沿x轴向左平移eq\f(π,12)个单位B．将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象C2沿x轴向右平移eq\f(11π,12)个单位C．先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴向右平移eq\f(5π,12)个单位D．先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴向左平移eq\f(π,12)个单位答案ABC解析对于A，将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象C2沿x轴向左平移eq\f(π,12)个单位，可得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x的图象C1，故A正确；对于B，将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象C2沿x轴向右平移eq\f(11π,12)个单位得到y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(11π,12)))＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,2)))＝cos2x的图象C1，故B正确；对于C，先作C2关于x轴对称的图象，得到y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象C3，再将图象C3沿x轴向右平移eq\f(5π,12)个单位，得到y＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,12)))＋\f(π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝cos2x的图象C1，故C正确；对于D，先作C2关于x轴对称的图象，得到y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象C3，再将图象C3沿x轴向左平移eq\f(π,12)个单位，得到y＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－cos2x的图象，故D不正确．故选ABC.考向三求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例3(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)下图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))答案BC解析由函数图象可知eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝π，则|ω|＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，所以ω＝±2，当ω＝2时，由函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，且f(0)>0，得φ＝eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，同理，当ω＝－2时，φ＝eq\f(π,3)－2kπ，k∈Z，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).故选BC.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ.常用的方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象上的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．3.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))))>0的最小正整数x为________.答案2解析由eq\f(3T,4)＝eq\f(13π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(3π,4)，得T＝π，|ω|＝2，不妨取ω＝2，则f(x)＝2cos(2x＋φ)，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))看作“五点作图法”中的第二个点，则eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，φ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))))>0，即(f(x)－1)f(x)>0，解得f(x)<0或f(x)>1.所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))>eq\f(1,2)或coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))<0.当x＝1时，2x－eq\f(π,6)＝2－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，不符合题意；当x＝2时，2x－eq\f(π,6)＝4－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(7π,6)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))<0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2.多角度探究突破考向四函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质角度函数图象与性质的综合应用例4(2021·山东泰安模拟)在①函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))为奇函数；②当x＝eq\f(π,3)时，f(x)＝eq\r(3)；③eq\f(2π,3)是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解∵函数f(x)的图象相邻对称轴间的距离为π，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．选条件①：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋φ－\f(π,3)))为奇函数，∴φ－eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，解得φ＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z.(1)∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，令k＝0，得－eq\f(5π,6)≤x≤eq\f(π,6)，令k＝1，得eq\f(7π,6)≤x≤eq\f(13π,6)，∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，2π)).选条件②：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝eq\r(3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.(1)∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)同选条件①.选条件③：∵eq\f(2π,3)是函数f(x)的一个零点，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴φ＝kπ－eq\f(2π,3)，k∈Z.(1)∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)同选条件①.三角函数图象与性质综合问题的求解思路(1)将函数整理成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0)的形式．(2)把ωx＋φ看成一个整体．(3)借助正弦函数y＝sinx的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．4.(2021·潍坊一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是偶函数，将y＝f(x)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,6)个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．已知y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω＝________，若y＝g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为－2，则g(x)在[0，π]上的最大值为________.答案1eq\r(3)解析把y＝Asin(ωx＋φ)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,6)个单位，所得图象的解析式为y＝Asineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(ω,6)π＋φ))，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式为y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ω,2)x＋\f(ω,6)π＋φ))＝g(x)．由题意可知g(x)的周期为4π，所以eq\f(2π,\f(ω,2))＝4π，ω＝1.因为y＝g(x)的图象在其某条对称轴处对应的函数值为－2，A＞0，所以A＝2，所以f(x)＝2sin(x＋φ)．因为f(x)＝2sin(x＋φ)是偶函数，0<φ<π，所以φ＝eq\f(π,2)，所以g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)＋\f(π,2)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))，当x∈[0，π]时，eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，则g(x)在[0，π]上的最大值为g(0)＝eq\r(3).角度函数零点(方程根)问题例5(2022·湖南郴州期中)已知关于x的方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.答案(－2，－1)解析方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋eq\r(3)sin2x＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).设2x＋eq\f(π,6)＝t，则t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))，∴题目条件可转化为eq\f(m,2)＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))有两个不同的实数根．∴y＝eq\f(m,2)和y＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))的图象有两个不同的交点，如图：由图象观察知，eq\f(m,2)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，故m的取值范围是(－2，－1)．巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)问题解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决．5.(2021·潍坊二模)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，若函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2)))上恰有三个零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，则x3－x1的值是()A.eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．π D．2π答案C解析∵当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2)))时，2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(10π,3)))，函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2)))上恰有三个零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1＋\f(π,3)＋2x2＋\f(π,3)))＝eq\f(3π,2)，eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(π,3)＋2x3＋\f(π,3)))＝eq\f(5π,2)，两式相减得x3－x1＝π.故选C.角度三角函数模型的简单应用例6某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)f(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，因为0≤t<24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.当t＝2时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；当t＝14时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，故有10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))>11，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))<－eq\f(1,2).又因为0≤t<24，因此eq\f(7π,6)<eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(11π,6)，即10<t<18.所以若要求实验室温度不高于11℃，则在10h至18h实验室需要降温．解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b中的待定系数．6.(2021·乌鲁木齐二模)我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．如图所示．已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝2coseq\r(\f(g,l))t，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是(精确到0.1cm)()A．3.6cm B．3.9cmC．4.0cm D．4.5cm答案C解析由题意可知s＝2coseq\r(\f(g,l))t，由函数的图象可知函数的周期为0.4，故0.4＝eq\f(2π,\r(\f(g,l)))，所以eq\r(\f(g,l))＝eq\f(2π,0.4)＝5π，所以l＝eq\f(g,5π2)＝eq\f(g,25π2)≈eq\f(980,25×3.142)≈4.0cm.故选C.一、单项选择题1．(2021·永州模拟)函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分图象大致是()答案A解析由y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))，故排除B；又因为函数图象过点(0，eq\r(3))，故排除C.2．(2022·西安五校联考)将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移eq\f(π,4)个单位，所得到的图象的解析式是()A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin4x D．y＝cos4x答案A解析将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象，再向右平移eq\f(π,4)个单位，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)＋\f(π,4)))＝sinx的图象．3．(2021·南昌二模)心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张．心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压．某人的血压满足函数p(t)＝110＋25sin(150πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是()A.eq\f(1,150) B．eq\f(1,110)C.eq\f(1,70) D．eq\f(1,75)答案A解析由题意可知相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是函数p(t)的半个周期，∵p(t)＝110＋25sin(150πt)，∴最小正周期T＝eq\f(2π,150π)＝eq\f(1,75)，∴eq\f(1,2)T＝eq\f(1,150).故选A.4．(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A.eq\f(10π,9) B．eq\f(7π,6)C．eq\f(4π,3) D．eq\f(3π,2)答案C解析由图可得，函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)，0))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)·ω＋\f(π,6)))＝0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)，0))是函数f(x)的图象与x轴负半轴的第一个交点，所以－eq\f(4π,9)·ω＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)，解得ω＝eq\f(3,2).所以函数f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\f(3,2))＝eq\f(4π,3).故选C.5．若将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，与函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的图象重合，则ω的最小值为()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)答案D解析将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到y＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,6)＋\f(π,4)))的图象，所以－eq\f(ωπ,6)＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，解得ω＝－6k＋eq\f(1,2)，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为eq\f(1,2).6．(2021·咸阳模拟)已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，若∠MPN＝60°，则该函数的最小正周期是()A．3 B．4C．5 D．6答案D解析由点P是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，知|MP|＝|NP|，又∠MPN＝60°，所以△MPN为等边三角形．由点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，得|MN|＝eq\f(2×\f(3\r(3),2),\r(3))×2＝6.故该函数的最小正周期T＝6.7．(2021·黄冈中学高三模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值为()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)答案A解析将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度得到y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以当2x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)，即x＝0时，f(x)取得最小值，为－eq\f(\r(3),2).8.(2021·聊城模拟)已知函数f(x)＝2eq\r(2)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若对于任意的x∈R，g(x)≤|geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))|，则a的值可以为()A.eq\f(π,12) B．eq\f(π,4)C．eq\f(5π,12) D．eq\f(π,2)答案C解析由函数f(x)＝2eq\r(2)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象知，f(x)的图象过点(0,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0))，所以f(0)＝2eq\r(2)sinφ＝2，可得sinφ＝eq\f(\r(2),2)，因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)ω＋\f(π,4)))＝0，所以eq\f(3π,8)ω＋eq\f(π,4)＝π＋2kπ，k∈Z，所以ω＝eq\f(16k＋6,3)，k∈Z，又eq\f(T,2)＝eq\f(2π,2ω)>eq\f(3π,8)，即0<ω<eq\f(8,3)，所以k＝0，ω＝2，可得f(x)＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).因为g(x)＝f(x－a)＝2eq\r(2)·sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－a＋\f(π,4)))，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)－a))＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2a))，又对于任意的x∈R，g(x)≤|geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))|，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2a))＝±2eq\r(2)，可得eq\f(π,3)－2a＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得a＝－eq\f(1,2)kπ－eq\f(π,12)，k∈Z，所以当k＝－1时，可得a＝eq\f(5π,12).故选C.二、多项选择题9．(2021·辽宁省实验中学高三模考)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．下列函数中是“互为生成”函数的是()A．f1(x)＝sinx＋cosxB．f2(x)＝eq\r(2)(sinx＋cosx)C．f3(x)＝sinxD．f4(x)＝eq\r(2)sinx＋eq\r(2)答案AD解析f1(x)＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度，然后向上平移eq\r(2)个单位长度后能够与f4(x)＝eq\r(2)sinx＋eq\r(2)的图象重合；f2(x)＝eq\r(2)(sinx＋cosx)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，与其他函数前面系数不同，平移后不能重合，函数f3(x)＝sinx与其他函数前面的系数也不同，平移后不能重合．故选AD.10．(2021·江苏南通高三模拟)如图，摩天轮的半径为40m，其中心O点距离地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中()A．经过10min，P点距离地面10mB．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的eq\f(1,2)C．第17min和第43min时，P点距离地面的高度相同D．摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70m的时间为eq\f(20,3)min答案ACD解析设点P距离地面的高度与时间的关系式为f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|≤\f(π,2))).依题意，A＝40，h＝50，T＝20，则ω＝eq\f(2π,20)＝eq\f(π,10)，因为f(0)＝40sinφ＋50＝90，所以φ＝eq\f(π,2)，所以f(t)＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)t＋\f(π,2)))＋50(t≥0)．对于A，f(10)＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)×10＋\f(π,2)))＋50＝10，A正确；对于B，若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，B错误；对于C，f(17)＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)×17＋\f(π,2)))＋50＝－40coseq\f(7π,10)＋50＝40coseq\f(3π,10)＋50，f(43)＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)×43＋\f(π,2)))＋50＝40coseq\f(3π,10)＋50，所以f(17)＝f(43)，C正确；对于D，令f(t)≥70，得40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)t＋\f(π,2)))＋50≥70，所以coseq\f(π,10)t≥eq\f(1,2)，所以－eq\f(π,3)＋2kπ≤eq\f(π,10)t≤eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(10,3)＋20k≤t≤eq\f(10,3)＋20k，k∈Z，eq\f(10,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)))＝eq\f(20,3)，即摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70m的时间为eq\f(20,3)min，D正确．故选ACD.11.(2021·菏泽模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋4φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,8)))的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq\f(1,4)，再向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是()A．函数f(x)的解析式为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))B．函数g(x)的解析式为g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝－eq\f(π,3)D．函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))上单调递增答案ABD解析由图可知，A＝2，eq\f(T,4)＝π，∴T＝4π＝eq\f(2π,ω)，得ω＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4φ))，将(0,1)代入得sin4φ＝eq\f(1,2)，结合0<φ<eq\f(π,8)，∴4φ＝eq\f(π,6).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，故A正确；将函数f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq\f(1,4)，可得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象，再向右平移eq\f(π,6)个单位长度，可得g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象，故B正确；∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝0，不是最值，故直线x＝－eq\f(π,3)不是函数f(x)图象的对称轴，C错误；由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))，得2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)，\f(15π,6)))，同y＝sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上的单调性，根据复合函数的单调性可知，函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))上单调递增，D正确．故选ABD.12．(2021·汕头一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－tan(πx)在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值可以是()A．3.8 B．3.9C．4 D．4.1答案AB解析f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又f(2－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，令t＝－x得f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是周期函数，周期为2，又f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝0，f(1)＝0，所以f(n)＝0，n∈Z，作出y＝f(x)和y＝tan(πx)的图象，其中y＝tan(πx)的周期是T＝eq\f(π,π)＝1.如图，由图可知x≥－1时，从点A(－1,0)，10个交点依次为A，B，O，C，D，E，F，G，H，I，点J是第11个交点，J(4,0)，设C点横坐标为x0，显然x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝－log2eq\f(1,4)＝2，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)π))＝1，因此x0>eq\f(1,4)，所以eq\f(1,4)<x0<eq\f(1,2)，于是－eq\f(1,2)<xB<－eq\f(1,4)，4－eq\f(1,2)<xI<4－eq\f(1,4)，即3.5<xI<3.75，所以m可取3.8,3.9，m≥4时至少有11个零点，故选AB.三、填空题13．(2021·北京海淀模拟)去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y＝a＋bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))(a，b为常数)．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为________℃.答案31解析将(6,22)，(12,4)代入函数，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6))).当x＝8时，y＝13－18sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×8＋\f(π,6)))＝31.14．(2020·江苏高考)将函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________.答案x＝－eq\f(5π,24)解析将函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，所得图象对应解析式为y＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))，令2x－eq\f(π,12)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x＝eq\f(7π,24)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．当k＝－1时，x＝－eq\f(5π,24)，故与y轴最近的对称轴方程为x＝－eq\f(5π,24).15．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________.答案(eq\r(3)，2)解析令y1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．若2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2的图象应有两个不同的交点，所以eq\r(3)<a<2.16．(2021·德州二模)声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，已知函数f(x)＝2cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位后，与纯音的数学模型函数y＝2sin2x的图象重合，则φ＝________；若函数f(x)在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是________.答案eq\f(π,6)eq\f(π,12)解析将函数y＝2sin2x的图象向左平移eq\f(π,3)个单位后可得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋\f(π,2)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，又f(x)＝2cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)，所以φ＝eq\f(π,6).令2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，由0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，可得k＝0，由于函数y＝f(x)在区间[－a，a]上单调递减，则[－a，a]⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≥－\f(π,12)，,a≤\f(5π,12)，,－a<a，))解得0<a≤eq\f(π,12)，则a的最大值为eq\f(π,12).四、解答题17．(2021·福建龙岩模拟)把函数f(x)＝2sinx的图象向左平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))个单位，得到函数y＝g(x)的图象，函数y＝g(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称，记函数h(x)＝f(x)g(x)．(1)求函数y＝h(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)画出函数y＝h(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的大致图象．解(1)由题意知g(x)＝2sin(x＋φ)，根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称，得eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋mπ(m∈Z)，即φ＝eq\f(π,3)＋mπ(m∈Z)，又0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，则g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).则h(x)＝f(x)g(x)＝4sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝4sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))＝2sin2x＋2eq\r(3)sinxcosx＝1－cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al