广东省惠州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题【含答案解析】

惠州市2024-2025学年高一第一学期期末考试数学全卷满分150分，时间120分钟.2025.1注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的概念可直接得到结果.【详解】因为.故选：D2.命题“，使得”的否定是（）A.“，使得” B.“，使得”C.“，使得” D.“，使得”【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定式特称命题分析判断.【详解】命题“，使得”的否定是“，使得”.故选：C.3.“角是锐角”是“角是第一象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用任意角定义及充分不必要条件定义即可得到结果.【详解】若角是锐角，则角是第一象限角；但角是第一象限角，则角不一定是锐角，故“角是锐角”是“角是第一象限角”的充分不必要条件，故选：A.4若，则有（）A.最小值3 B.最小值6C.最大值6 D.最大值3【答案】B【解析】【分析】由基本不等式求解．【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.所以，当时，则有最小值6，故选：B.5.,,,则下列关于大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三个数构造函数,大概计算三个数的范围,比较出三个数的大小即可.【详解】解:由题知单调递增,,,,所以.故选:A6.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面积公式计算（大扇形面积减去小扇形面积）．【详解】由已知，，扇面面积为故选：B．7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，结合余弦二倍角公式即可求解；【详解】因为，所以，故选：D.8.已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可.【详解】令，作出函数的图象如下图所示：因为关于的方程有个不同的实数根，则关于的方程在内有两个不等的实根，设，则函数在内有两个不等的零点，所以，，解得.故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分.9.下列式子化简正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由诱导公式逐个判断即可；【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误故选：BC.10.已知实数，满足等式，则下列不等式可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】作出函数与函数图像，分，两种情况求解.【详解】作出函数与函数的图像，如图，当时，根据图像得，故A选项正确；当时，根据图像得，故D选项正确；故选：AD.11.已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A.为偶函数B.C.对，不等式总成立D.对，且，总有【答案】ACD【解析】【分析】由是奇函数，是偶函数，且，求出和，利用偶函数的定义判断A选项；求函数值判断B选项；作差法比大小判断C选项；由不等式的性质判断D选项.【详解】是上的奇函数，是上的偶函数，且，则，有，由，得，，，为偶函数，A选项正确；，B选项错误；对，，所以不等式总成立，C选项正确；对，且，则，，所以，D选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性的特征，由，得，求出和的解析式，解决选项中的问题即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则______.【答案】0【解析】【分析】分段函数求值，根据自变量取值所在区间确定解析式代入求值.【详解】已知函数，则，所以．故答案为：.13.已知，，且，，则______．【答案】【解析】【分析】根据，结合同角三角关系和两角和差公式运算求解.【详解】因为，，且，，则，，可得，即.故答案为：.14.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则__________.【答案】（或写成）【解析】【分析】根据奇函数和，得函数的周期为4，利用函数周期性和奇函数的关系进行转化即可得到结果．【详解】因为，所以直线是函数的一条对称轴，即，又因为是奇函数，所以点是函数的对称中心，即，所以，所以，故函数的周期是4，因为是定义在上的奇函数，所以，又当时，，且，所以，，两式联立可解得，所以当时，，所以，，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，属于基础题．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.计算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）-3（2）【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则计算，根式化为分数指数幂．（2）根据对数运算法则计算．【小问1详解】【小问2详解】.16.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式，并求的值；（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在上的单调递增区间.【答案】（1），（2）【解析】分析】（1）代入点坐标求得，得解析式，再计算函数值；（2）由图象变换得出的的解析式，然后由正弦函数的单调性求得增区间．【小问1详解】由图形可得，，，解得，因为过点，所以，即，所以，又因为，所以，故所以【小问2详解】函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，所以，【方法一】令，则，因为，所以，所以在上的单调递增区间为【方法二】令，所以，因为的单调递增区间为，且由，得，所以在上的单调递增区间为．17.已知函数是上的偶函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上单调性，并用定义法证明；（3）求不等式的解集.【答案】（1）（2）增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义求出值.（2）利用单调函数的定义证明单调性.（3）利用函数的单调性及奇偶性角不等式.【小问1详解】由函数是上的偶函数，得对任意恒成立，即对任意恒成立，整理得对任意恒成立，所以.【小问2详解】由（1）知，，在上单调递增，任取，且，则，由，得，，，因此，，则，所以函数在上单调递增.【小问3详解】由（1）、（2）知，上的偶函数在上单调递增，在上单调递减，不等式，则，解得或，所以原不等式的解集为.18.为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）；（2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）（2）万件，最大利润为万元【解析】【分析】（1）将点代入给定的函数解析式求出c，结合给定的函数模型即可求解；（2）当时，取得最大值10万元；当时，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】依题意得：当时，，则，所以，因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元，依题意得：当时，，当时，，所以.【小问2详解】当时，所以当时，取最大值10万元；当时，.当且仅当即时，取最大值14万元因为，所以当时，取最大值14万元，所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．19.若函数在定义域内存在实数满足，则称函数为定义域的“阶局部奇函数”.（1）若函数，判断是否为上的“阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若函数是上的“阶局部奇函数”，求实数的取值范围；（3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合.【答案】（1）是，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）解法一：根据“阶局部奇函数”的定义得出，然后在时解此方程即可得出结论；解法二：直接验证满足方程即可得出结论；（2）由题意可知，使得，结合对数的运算性质可知，，求出在时的取值范围，可得出，再由，使得，结合参变量分离法可得出，综合可得出实数的取值范围；（3）由题意可知，在上有解，分两种情况讨论：①时，直接验证即可；②当时，则任意的实数，恒成立，根据一次函数的基本性质可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出整数的取值集合.【小问1详解】解法一：若是上的“阶局部奇函数”，则，满足，即.即，，因为，则，所以，，解得，则在上存在实数满足，故是上的“阶局部奇函数”；解法二：因为，所以，故即在上存在实数满足，故是上的“阶局部