山东省青岛市2024-2025学年高二上学期期末数学试题【含答案解析】

青岛市2025年高二年级调研检测数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求直线的斜率，再求倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，直线的斜率为1，即，又，所以直线的倾斜角为.故选：C2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．【详解】双曲线的渐近线方程为，即，故选：C.3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意依次计算可判断选项正误.【详解】由题：.则ACD错误，B正确.故选：B4.已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据基底向量的定义以及向量共面的判定定理逐项分析判断即可.【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量，对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误；对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误；对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误；对于D：假设，，共面，则，可得，方程组无解，可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确；故选：D.5.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用方程中表示椭圆的特征列式求解.【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得，所以m的取值范围是.故选：B6.设分别是双曲线的左、右焦点，若C上存在一点W满足，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直角三角形边与角的关系，可求得与，再结合双曲线的定义，即可得到与的关系，从而求得离心率.【详解】因为且，结合双曲线的定义可知：，所以，所以.故选：C7.《九章算术》中记载了一种名为“刍甍”的空间几何体．如图，几何体中，四边形矩形，，，和都是正三角形，则平面与平面夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二面角平面交点的定义，结合等边三角形以及等腰梯形的性质，根据锐角三角形定义，可得答案.【详解】分别取、的中点为、，在平面内分别过、作的垂线，垂足分别为、，如下图：因为四边形为矩形，则且，又因为、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则且，因为，则，因为，则，故、、、四点共面，在等边中，为的中点，则，同理可得，所以，为二面角的平面角，由等边与等边的边长都为，且、分别为、的中点，则，在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，则，，在和中，，，所以，，则，在中，，所以平面与平面的夹角余弦值为.故选：A8.已知是、的等差中项，直线，点为圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等差中项的性质可得直线所过定点，利用圆上点到定点的距离最大值，可得答案.【详解】因为是、的等差中项，则，整理可得，则，直线的方程可化为，由可得，所以，直线过定点，由圆，则圆心为，半径为，当时，圆心到直线的距离取最大值，圆心到直线所过定点的距离为，圆上任意一点到直线的距离最大值为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.等差数列中，公差为d，为其前n项和，，则（）A. B. C. D.的最大值为30【答案】AD【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式，即可判断.【详解】A.，故A正确；B.，故B错误；C.，故C错误；D.因为数列的公差为，所以数列单调递减，且，所以的最大值为，故D正确.故选：AD10.曲线C的方程为，M为曲线C上任意一点，则（）A.点在曲线C上B.点M横坐标的范围是C.若，则D.设是曲线C上不同两点，若，则【答案】ABD【解析】【分析】将点代入计算可得A正确，解不等式可知B正确，取特殊值可知存在点使得，C错误，分别对和分类讨论，利用两点间距离公式计算即可得，可知D正确.【详解】对于A，将点代入可得，显然等式成立，即点在曲线C上，所以A正确；对于B，易知，即，解得，即B正确；对于C，设，则，显然当时，，即存在点使得，因此C错误；对于D，由，且，当或时，，当，此时，当，此时，当，此时；若，即异号时，；当时，不妨设，即，解得；又，所以；此时，即此时当时，不妨设，可得，；所以综上可知，，即D正确.故选：ABD11.长方体中，，E为棱CD上一点，，F是平面ABCD内一动点，，则（）A.存在点，使得平面B.存在不与重合的点，使得平面C.棱上存在两定点，使得D.点的轨迹截直线所得弦长为【答案】ACD【解析】【分析】建系，设，由，得到点F的轨迹方程，进而逐个判断即可.【详解】如图建系，易知，设，则：，由，可得：，化简可得：，对于A，若平面，易得又，可得：，联立，消去可得：，有解，所以存在点F，使得平面，对于B，由长方体性质可知，，要使得平面，则必有,，所以，联立，可得或，此时点与重合，故B错误；对于C:由化简可得：，即点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上，且，所以棱CD上存在两定点M，N，使得，故C正确；对于D：在坐标平面中，直线的方程为：，联立，可得：，，所以点的轨迹截直线所得弦长为，故D正确，故选：ACD三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知，，且，则_________【答案】##【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，列方程求.【详解】因为，，，所以，解得：.故答案为：.13.已知数列的前n项和，则__________．【答案】【解析】【分析】首先求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】当时，，当时，，当时，，所以，，所以.故答案为：14.已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是__________，的最小值为__________．【答案】①.②.5【解析】【分析】利用焦半径公式表示，利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可得到答案.详解】①由题意得，，设，，，

则，，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴.②∵，∴，∵，∴，即，∵，当且仅当时等号成立，∴，即，∴，即的最小值为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线综合问题，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，平行六面体的底面ABCD是菱形，且．（1）求的长；（2）求证：平面．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解；（2）根据线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明.【小问1详解】设，由于四边形ABCD为菱形，则，即，所以，同理可得，由题意可得，所以；【小问2详解】因为，所以，所以，同理可证又因为平面．所以平面16.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知直线l过点，且__________．①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为．（1）求直线l的一般式方程；（2）已知圆心为C圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）三种选择均可确定直线斜率，然后由点斜式可得直线方程.（2）设圆心C的坐标为，由（1）可得，然后由可得圆心坐标，进而可得半径，即可得答案.【小问1详解】若选①与直线平行，则直线l的斜率又其过点，故直线l的方程为，整理得若选②与直线垂直，则直线l的斜率k满足，解得又其过点，故直线l的方程为，整理得若选③直线l的方向向量为，则直线l的斜率又其过点，故直线l的方程为，整理得综上，直线方程为：【小问2详解】设圆心C的坐标为，因为C在上，所以①因为A，B是圆上两点，所以有即②.由①②得所以圆心C坐标为，圆的半径综上，所求圆的标准方程是17.如图，在三棱锥中、底面ABD，．动点C在平面ABD内、且点A，C在直线BD两侧．（1）若四边形ABCD为正方形，求直线PC与平面PAB所成角的大小；（2）若点C到平面PBD的距离为、求的面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标系，设点，求得平面的法向量，利用点面距得到，设C点到直线PB的距离为，表达出，求出的最小值，进而求出三角形面积最小值.【小问1详解】底面ABD，平面，所以，，因为，四边形ABCD为正方形，所以，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，可得，，，设平面PAB的一个法向量为，则，所以，解得，令，则，故，直线PC与平面PAB的所成角为，所以，所以直线PC与平面PAB的所成角的大小为；【小问2详解】过A作直线平面ABCD，又，以A为原点，AB，AD，AW所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设点，可得，，，设平面PBD的一个法向量为，则，所以，解得，令，则，得，设点C到平面PBD的距离为d，则，所以或，因为点A，C在直线BD两侧，故，故舍去，直线PB的单位方向向量为，设C点到直线PB的距离为，其中则，当且仅当时取等号，综上，的面积18.记数列的前n项和为．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列满足：其中且．（i）求，并证；（ii）求．【答案】（1）证明见解析（2）（i），证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义，即可证明数列是等比数列；（2）（i）由（1）可得，利用递推关系可求，先证明构成等差数列，求出，再证明即可证明；（ii）记的和为，可得，再利用错位相减法可得答案.【小问1详解】因为①，②，两式相减得：，即；又因为，所以，所以数列是首项为1，公比为2的等此数列【小问2详解】（ⅰ）由（1）可得，则对于且，当时，；当时，，所以构成等差数列，其公差为，首项为，共有项．所以因为，得，所以，所以；（ii）记的和为，所以所以，两式相减得：综上19.圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P．（1）已知点，求切线l的方程；（2）过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若．（i）求抛物线的方程；（ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由．【答案】（1）（2）（i）；（ii）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由点P可得抛物线方程，然后设切线方程为，将切线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0可得斜率；（2）（i）法1，利用抛物线光学性质可得，然后由几何知识可得，即可得答案；法2，将切线方程设为，类似于（1）可得，注意到，然后由几何知识可得，即可得答案；法3，类似于法2可得切线斜率为，设直线l，PF的倾斜角分别为，经计算可得，然后由几何知识可得；法4，类似于法2可得，通过将过原点与切线平行的直线方程与直线PF的方程联立可得点S坐标，然后由结合两点间距离公式可得关于p的表达式，化简后可得答案；（ii）由（i）设，将方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得关于的表达式，然后由切线到圆心距离为1可得，代入表达式可得答案.【小问1详解】因为在抛物线上，所以，所以抛物线为设切线方程为，与抛物线联立得：，所以，所以所以切线方程为：【小问2详解】（i）（法1）如图，因由光学性质可知轴，因为入射角等于反射角，所以，所以，所以，所以，所以抛物线方程为（法2）设切线l的方程为：与抛物线方程联立得，由，整理，即如图，因为，所以，又因为，所以，所以，即，所似抛物线方程为（法3）点在第一象限，同法2，求得设直线l，PF的倾斜角分别为，计算可得：即，即，所以抛物线方程为（法4）同法2，求得，所以过原点与切线平行的直线为：直线PF的方程为：，解得