新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2024-2025学年高二上学期期末数学试题【含答案解析】

克州2024－2025学年度第一学期期末质量监测试卷高二年级•数学时间：120分钟满分：100分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共计24分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角.【详解】由，所以直线的斜率为：.设直线的倾斜角为，则，且.所以.故选：B2.如图，空间四边形中，，，，，点在上，且，点为中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式.【详解】连接，如下图所示：因为为的中点，则，即，所以，，因为点在上，且，则，因此，.故选：B.3.曲线方程表示一个圆的充要条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用计算即可.【详解】表示圆的充要条件是，即.故选：C．【点睛】本题考查圆的一般方程，本题也可以采用配方来做，是一道容易题.4.已知数列的通项公式为，那么是它的（）A.第项 B.第项 C.第项 D.第项【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到，再解方程即可.【详解】由题知：，，解得或（舍去）.故选：A【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.5.在等比数列中，，，则公比的值为（）A. B.或1 C.－1 D.或－1【答案】B【解析】【分析】把已知条件用和公比表示后求解．【详解】由题意，解得或．故选：B．【点睛】本题考查求等比数列的公比，解题方法是基本量法．属于基础题．6.下列说法中正确的是（）A.已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段B.已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆C.平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆D.平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆的定义逐项分析点的轨迹.【详解】待求轨迹的点记为，A：因为，所以的轨迹是线段，故正确；B：因为，此时的轨迹不存在，故错误；C：因为，所以的轨迹是线段的垂直平分线，故错误；D：因为，所以，所以的轨迹是以为焦点的椭圆，故正确；故选：AD.7.已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程.【详解】不妨设点在第一象限.设，，根据题意：，所以，即，所以，，所以双曲线的方程为：.故选：D8.如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解.【详解】设异面直线与所成的角为，则根据异面直线上两点的距离公式可得：，即，所以.因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于，所以面与平面的夹角为.故选：C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，部分选对得部分分（选对一个得2分，2个得4分），选错或不答的得0分.9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】ABD【解析】【分析】利用向量共面的基本定理，结合基底的性质判断各项向量是否共面即可.【详解】对于A，有，所以，，共面；对于B，有，所以，，共面；对于C，假设，，共面，则有，即，由题意不共面，所以，无解，故假设不成立，所以，，不共面；对于D，，所以，，共面.故选：ABD.10.已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则下列结论能成立的有（）A.点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆B.点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆C.点的轨迹与圆相交D.点的轨迹与圆相切【答案】ABC【解析】【分析】明确点的轨迹，可以判断AB的真假；根据两圆的位置关系的判定方法，可以判断CD的真假.【详解】设，则，设，则，所以整理得：.所以点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆.对A：若，则点的轨迹方程为：，所以所以点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆.故A正确；对B：若，则点的轨迹方程为：，所以所以点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆.故B正确；因为，所以圆与点的轨迹相交，故C正确，D错误.故选：ABC11.（多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据等比数列的公比，可知，A正确；由于不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系；根据题意可知等差数列的公差为负，所以可判断出C不正确，D正确．【详解】对A，等比数列的公比，和异号，，故A正确；对B，因为不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，故B不正确；对CD，和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又，，故D正确，一定是负数，即，故C不正确.故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共计12分.12.已知各项不为0的等差数列中，，数列为等比数列，且，则的值为__________．【答案】16【解析】【分析】根据等差数列的下标和性质得到，根据等比数列的下标和性质可得答案.【详解】等差数列中,，故原式等价于，解得或,舍去，故，数列是等比数列，所以=16.故答案为：16.【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质，是基础的计算题.13.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________.【答案】【解析】【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即可求解.【详解】由题意可知，根据点到平面的距离为.故答案为：14.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）四、解答题：本大题共5小题，共计49分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．（1）当时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出；（2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程.【小问1详解】圆的圆心，半径，因为，所以直线的斜率，所以，即，所以圆心到的距离，所以；【小问2详解】因为弦被平分，所以，又因为，所以，所以，即.16.如图，在长方体中，，为的中点.（1）求证：.（2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）以原点建立空间直角坐标系，证明即可；（2）设，求出平面的一个法向量，满足即可求出，即可得出.【详解】（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则，，，，，故，，，.因为，所以.（2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时.又设平面的法向量，所以，得，取，得平面的一个法向量.要使平面，只要，有，解得.又平面，所以存点，满足平面，此时.【点睛】利用向量解决位置关系的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.17.已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为．（1）求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？（2）设点，，过点A且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】（1），轨迹是长轴长，短轴长分别为的椭圆；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程，化简可得曲线的方程，再根据方程说明曲线的形状即可.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理，表示出，化简即可.【小问1详解】设是点到定直线的距离，由题意，动点的轨迹就是集合，则，化简得，即，所以轨迹是长轴长，短轴长分别为的椭圆.【小问2详解】设直线的方程为，如图：与联立得，，设，，则，所以.所以为定值.18.已知等差数列满足，．（1）求数列的通项公式及其前项和；（2）记数列的前项和为，若，求的最小值．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的值，进而可求得等差数列的通项公式及其前项和；（2）求得，利用裂项相消法可求得，然后解不等式，即可求得满足条件的正整数的最小值.【详解】（1）设等差数列的公差为．依题意有，解得，所以，；（2）由（1）得，所以．因为，即，所以．又，所以的最小值为．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.19.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【解析】【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为．设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为k，则．令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设．因为，所以．于是，所以则直线的斜率为．当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．【整体点评】方法一根据向