新高考艺术生40天突破数学第19讲 复数（原卷版）

第19讲复数【知识点总结】一.基本概念（1）叫虚数单位，满足，当时，.（2）形如的数叫复数，记作.=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.二.基本性质1.复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数.（3）.实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.2.复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）复数（为虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例2．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足，则（）A． B． C． D．（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足，则（）A．|z|=2 B．是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα=例4．（2022·上海·高三专题练习）已知复数，则___________.例5．（2022·江苏·高三专题练习）已知其中是实数，是虚数单位，则_________例6．（2022·全国·高三专题练习）若复数，其中为虚数单位，则的虚部为_____________.例7．（2022·全国·高三专题练习）复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是_____________.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知，，，复数的实部为，虚部为，则（）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）设，则z的共轭复数的虚部为（）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若，则当且仅当时，为纯虚数；③则；④；⑤若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应；其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（）A． B． C． D．6．（2022·浙江·高三专题练习）设，，为复数，则下列命题中一定成立的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，，那么，且7．（2022·浙江·高三专题练习）复数，若复数，则在复平面内，复数对应的点与复数对应的点（）A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称C．关于原点对称 D．关于点对称8．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（）A． B． C． D．9．（2022·全国·高三专题练习）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点为（）A． B． C． D．10．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．A． B． C． D．12．（2022·全国·高三专题练习（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A． B． C． D．13．（2022·全国·高三专题练习）若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限15．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限16．（2022·全国·模拟预测）已知复数在复平面上对应的点在直线上，则（）A． B．2 C． D．317．（2022·全国·高三专题练习）设复数（是虚数单位），则的值为（）A． B． C． D．18．（2022·全国·高三专题练习）设，则（）A． B． C． D．119．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足，则（）A． B．2 C． D．20．（2022·浙江·高三专题练习）已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z的虚部是（）A． B． C． D．21．（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．322．（2022·全国·高三专题练习（文））若复数，则=（）A．0 B．2 C．4 D．623．（2021·全国·高三专题练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（）A．25 B．5 C． D．4124．（2021·全国·高三阶段练习（理））复数的共轭复数为（）A． B． C． D．二、多选题25．（2022·全国·高三专题练习）若实数，满足，则（）A．的共轭复数为 B．C．的值可能为 D．26．（2022·全国·高三专题练习）已知复数，，则（）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．27．（2022·江苏·高三专题练习）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是A．的虚部为 B．C．为纯虚数 D．的共轭复数为28．（2021·江苏·海安高级中学高三阶段练习）设，是复数，则下列说法中正确的是（）A． B．C．若，则 D．若，则29．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）设是的共轭复数，下列说法正确的是（）A． B． C．是实数 D．是纯虚数30．（2021·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则31．（2021·重庆·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（）A．复数的虚部为B．C．的最大值D．的最小值为32．（2021·全国·高三专题练习（理））设为复数，则下列命题中正确的是（）A．B．C．若，则的最大值为2D．若，则33．（2021·湖南·高三阶段练习）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（）A．点的坐标为 B．（为的共轭复数）C．的最大值为 D．的最小值为三、填空题34．（2022·浙江·高三专题练习）已知是虚数单位，，且，则__________.35．（2022·全国·高三专题练习（文））为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数___________，36．（2022·上海·高三专题练习）若复数满足，其中为虚数单位，则_________．37．（2022·全国·高三专题练习）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值为___________.38．（2022·全国·高三专题练习（理））复数，，若为实数，则______．39．（2022·上海·高三专题练习）已知复数，，是正实数，则复数__________.40．（2022·全国·高三专题练习）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________．41．（2022·全国·高三专题练习）已知m∈R，复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位），若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是_____