上海市2024年中考数学模拟练习卷4

上海市2024年中考数学模拟练习卷3

（考试时间：100分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮茶干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单选题（共24分）

I.（本题4分）下列运算正确的是（）

A.瓜-立=瓜B.a3-a4=ai2

C.（a-b）2=a2-b2D.（-2tf2）3=-8a6

2.（本题4分）当使用换元法解方程时，若设则原方程

X+IX+1A+1

可变形为（）

A.y2+2y+3=OB./-2y+3=OC./+2>'-3=0D./-2y-3=O

3.（本题4分）下列说法正确的是（）

A.函数），=2x的图象是过原点的射线B.直线y=-x+2经过第一、二、三象限

2.

C.函数），=-一（％〈0）,y随X增大而增大D.函数y=2x-3,y随X增大而减小

X

4.（本题4分）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.根

A.甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数B.甲的射靶成绩比乙的射

靶成绩稳定

C.甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些D.在射靶上，甲比乙更有潜力

5.（本题4分）如图，，衣次连接四边形A8CD各边中点得四边形EFG”,要使四边形

EFG”为矩形，添加的条件不正确的是（)

A.ZFE//=90°B.AC=BDC.EG=FHD.AC1BD

6.（本题4分）如图，3知等腰梯形ABC。，AB//CD,AD=BC,ACIBC,BE1AB

交AC的延长线于E,EF_LA。交4。的延长线于凡下列结论：①BO〃EF；②NAEF

=2ZBAC；®AD=DFi®AC=CE+EF.其中错误的结论有（）

A.。个B.1个C.2个D.3个

第II卷（非选择题）

二、填空题（共48分）

7.（本题4分）分解因式：/_上=________.

16

9rx

8.（本题4分）计算：—+—=_______.

x-1l-.r

9.（本题4分）方程J4r=（）的解是.

10.（本题4分）函数），=叵三1的定义域是.

x-2

11.（本题4分）若关于x的一元二次方程（攵一5）/-2工+2=0无实数根，则整数&

的最小值为.

12.（本题4分）一个不透明的袋子中装有12个白球、9个黄球和若干个黑球，它们除

颜色外，完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现

得到白球的频率稳定在0.4,则可判断袋子中黑球的个数为.

13.（本题4分）如果一个正多边形的中心角为72。,则该正多边形的对角线条数为—.

14.（本题4分）下面是三位同学对某个二次函数的描述.

甲：图象的形状、开口方向与y=2/的相同；

乙：顶点在x轴上；

丙：对称轴是尸-1

请写出这个二次函数解析式的一般式：.

15.（本题4分）如图，已知梯形ABCO中，AD//BC,对角线AC、8。交于点。,

S]

⑺=设=AH=b，贝.（用含4、。的式子表示）

'△BOC-

16.（本题4分）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图是根据此次调查结果

所绘制的一个未完成的扇形统计图，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法:

①被调查的学生有60人；②被调查的学生中，步行的有27人；③被调查的学生中，骑

车.上学的学生比乘车上学的学生多20人：④扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为

.（填写序号）

17.（本题4分）如图，在RtAABC中，NC=90。，4=35。，点0在边AC上，且。4=2OC,

将。4绕着点。逆时针旋转，点A落在.ABC的•条边上的点。处，那么旋转角的

度数是,

18.（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面

一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，

且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是

第3列两个小圆的公共点.若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函

三、解答题（共78分）

19.（本题6分）计算：

（l）|-2|+x/12-^;

(2)(72023V3-2|+^+

2x+l>3x-1

20.(本题8分)解不笔式组：

x-5<l+4x

21.(本题10分)如图，/W是OO的直径，AC是一条弦，短是AC的中点，DE1AB

于点E,交AC于点P,交O于点〃,08交AC于点G.

(2)若A尸=W,sinNABQ=逝，求0。的半径.

25

22.(本题12分)在一次实验中，小李把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂质量为x

kg的物体，如图所示，弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的几组对应值

如下表：

w

v

w

w

w

v

^

x

所挂物体质量x/kg012345

弹簧长度y/cm182022242528

⑴当所挂物体的质量为4kg时，弹簧长cm；不挂重物时弹簧长cm；

⑵写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式；

(3)当弹簧长度为36cm时，求所挂物体的质量.

23.(本题12分)如左图，为探究一类矩形A8CO的性质，小明在边上取一点E,

连接。石，经探究发现：当平分NAZX;时，将小9沿4E折叠至ZX4右，点尸恰

好落在DE上据此解决下列问题：

(I)求证：△AFD@ADCE；

(2)如图，延长CT交人£于点G,交AB于点H.

①求证：EFDF=GFCF；

②求GE:GC的值

24.（本题14分）已知在平面直角坐标系大3,中，抛物线），=-5/+云+。与4轴交于

点A（-1,O）和点3,与）轴交于点C（0,2）,点尸是该帼物线在第一象限内一点，联结

AP/C4P与线段/3C相交于点八

⑴求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与线段交于点E,如果点”与点E重合，求点〃的坐标；

（3）过点尸作PG_Lx轴，垂足为点G,PG与线段RC交于点H,如果=求线段PH

的长度.

25.(本题16分)已知正方形A8CO与正方形人“G,正方形八EAG绕点八旋转一周.

图3

(I)在旋转过程中,

①连接成:与£>G,结合图1,探究线段班与0G的数量关系,线段8E与。G的

位置关系.

②连接BE与CF,结合图2,试探究线段座与CF的数量关系，并说明理由.

(2)在旋转过程中，连接CF,取CF中点用,

①连接3M、GM,结合图3,试探究8M与GM的关系，并说明理由;

②将正方形A&.G绕点A旋转一周，若A8=3,4E=2.请直接写出点M在这个过程中

的运动路径长

第I卷（选择题）

一、单选题（共24分）

1.（本题4分）下列运算正确的是（）

A.a-近=瓜B.a3-a4=a'2

C.（a-b）2=a2-b2D.（-2<r）'=-8«6

【答案】D

【分析】根据二次根式的减法法则、完全平方公式、同底数幕的乘法法则、积的乘方的

乘法法则对各项进行计算即可.

【解析】解：册-五=2五-五=五,故A错误；

故B错误；

=a~-2ab+b~,故C错误；

（-2*'=_8a6,故D正确;

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的减法、积的乘方、同底数箱的乘法、完全平方公式，熟练

掌握相关法则是解题的关键.

2.（本题4分）当使用换元法解方程（告了-2（告）-3=0时，若设产*，则原方程

可变形为（）

A.y2+2y+3=0B.y2-2y+3=OC./+2>'-3=0D.y2-2y-3=0

【答案】D

【分析】方程的两个分式具备平方关系，若设y=后，则原方程化为N一2），-3=0.用换

元法转化为关于y的一元二次方程.

【解析】解：把）•=3代入原方程得：y2-2y-3=0.

故选：D.

【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难

为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧.

3.（本题4分）下列说法正确的是（）

A.函数），=2x的图象是过原点的射线B.直线y=-x+2经过第一、二、三象限

2

C.函数y=--；（x<0）,y随X增大而增大D.函数y=2x-3,y随x增大而减小

【答案】c

【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得.

【解析】A、函数y=2.r的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意;

B、直线）'=一1+2经过第一、二、四象限，则此项说法错误，不符题意；

c、函数），=-4（x<o）,y随x增大而增大，则此项说法正确，符合题意；

.X

D、函数y=2x-3,丁随x增大而增大，则此项说法错误，不符题意；

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次

函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键.

4.（本题4分）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.根

A.甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数B.甲的射靶成绩比乙的射

靶成绩稳定

C.甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些D.在射靶上，甲比乙更有潜力

【答案】B

【分析】根据平均数的概念进行计算从而判断A,分别求得甲乙方差从而判断B,通过

对平均数和中位数的分析判断C,通过对甲乙成绩的变化趋势分析从而判断D

【解析】解：由题意可得:

9+5+7+8+7+6+84-6+7+7

甲的10次射靶的平均成绩为高=（环）,

10

乙的10次射靶的平均成绩为北=---------------------------=7(环)，

・•・甲的射靶成绩的平均数等于乙的射靶成绩的平均数，故选项A不符合题意；

甲的10次射靶的方差为

222222222

,_(9-7)+(5-7)+(7-7)+(8-7)2+(7_7)+(6-7)+(8-7)+(6-7)+(7-7)+(7-7)_

$甲=[5

乙的10次射靶的方差为

_(2-7)2+(4-7)24-(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2

Sy2-=D.4

••02,F2

•$甲＜S乙，

，甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定，故选项B符合题意；

从平均数上看，甲乙两人成绩一样，从中位数上看，曰的中位数为・二7,乙的中位

数为7号4-X=7.5,因此乙的射靶成绩较好，故选项C不符合题意；

从平均成绩上看，甲乙二人平均成绩一样，从中位数上看，乙的中位数高于甲，从图象

上看，乙的射靶成绩上升趋势更为明显，所以在射靶上，乙比甲更有潜力，故选项D

不符合题意;

故选：B.

【点评】本题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数和方差，准确识图，根据平均

数和方差的计算公式进行计算是解题关键.

5.(本题4分)如图，依次连接四边形A8CQ各边中点得四边形EPG”,要使四边形

EFG”为矩形，添加的条件不正确的是()

A.ZFE/7=90°B.AC=BDC.EG=FHD.AC1BD

【答案】B

【分析】根据中点四边形可得四边形EFG〃是平行四边形，进而添加一个直角或者对

角先线相等，可得矩形，而添加邻边相等得出四边形为菱形，据此即可求解.

【解析】解：如图，连接AC,8。,

依题意，FG//DB.EH//DB,EF//AC.GH//AC,

：.EH//FG.EF//GH,EH=FG=-DB.EF=GH=-AC,

22

••・四边形EFGH是平行四边形，

A.添力口NF£”=90°,则四边形EFG”为矩形，故该选不符合题意；

B.添加AC=8O,可得四边形口为菱形，符合题意；

C.添加EG=777,可得四边形EFG”为矩形，故该选不符合题意；

D.添加ACS8。，则斯_1_尸6,可得四边形EFG”为矩形，故该选不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了三常形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩

形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键.

6.（本题4分）如图，三知等腰梯形A4CQ,AB//CD,AQ=8C,AC±BC,HEA.AB

交4c的延长线于七，交AO的延长线于凡下列结论：①BD〃EF；②NAEF

=2ZBAC；③AO=QF；@AC=CE+EF.其中错误的结论有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】根据等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等

腰三角形的判定、三角形的外角性质、三角形的中位线等知识进行逐个判断解答即可.

【解析】解：•・•四边形48co是等腰梯形，

:,AC=BD,又AD=BC、AB=ABf

/.^ABC^^BAD（SSS）,

；・NBAC=/ABD,/ADB=/BCA,又/4C_L3C,

：.0A=0B,0C=0D,NAQ8=/8C4=90唧BO_LA。,

*：EF.LAD,

:・BD〃EF,故①正确；

，ZAEF=ZAOD=ZBAC+^ABD,

:.乙AEF=2乙BAC,故②正确：

TBE1.AB,

JZBAC+ZAEB=ZABD+ZOBE=90°,

:.NAEB=NOBE,

：.OB=OE,

：,AO=OE,又OD〃EF,

：.AD=DF,故③正确；

：.EF=2OD=2OC,

OA=OE=OC+CE,

：,AC=OA+OC=OC+CE-OC=2OC+CE=EF+CEf故④正确，

综上，正确的结论有4个，即错误的结论有0个，

故选：A.

【点评】本题考查等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、

等腰三角形的判定、三角形的外角性质、三角形的中位线性质等知识，熟练掌握相关知

识的联系与运用是解答的关键.

第口卷（非选择题）

二、填空题（共48分）

7.（本题4分）分解因式：=__________.

16

【答案】卜+%4）

【分析】根据平方差公式分解因式即可.

1（1\\

【解析】解：^2-77=r+7r.

16I4八^）

故答案为：+（.

【点评】本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键.

8.（本题4分）计算：=十丁二=__________.

x-l\-x

【答案】A

x-\

【分析】根据分式的加减运算进行计算即可求解.

2xx2xx2x-xx

【解析】解:-----------1-----------=-------------------------=--------------=-----------,

X-]I-xx-Ix-\x-\x-I

故答案为：.

X1

【点评】本题考查了分式的加减运算，正确的计算是解题的关键.

9.（本题4分）方程=0的解是.

【答案】无解

【分析】先把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可.

【解析】解:两边平方得:（x-5）（4-x）=0,

解得：％=5,当=4,

经检验，x=5和％=4是原方程的增根，

•.•原方程无解，

故答案为：无解.

【点评】本题考查解无理方程和解一元二次方程，二次根式的性质，能把无理方程转化

成有理方程是解题的关处.

10.（本题4分）函数丁=§|1的定义域是.

【答案】北彳且E

【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不能为0,列不等式组求解

即可.

【解析】解：由了=叵亘可得【:一

x-2[2x+l>0

解得且x=

故答案为：且xw2

【点评】此题考查了函数的定义域，使函数解析式有意义的自变量的取值范围为定义域,

解题的关键是列出不等式组，并正确求解.

11.（本题4分）若关于x的一元二次方程任一5）/—2x+2=0无实数根，则整数k

的最小值为.

【答案】6

【分析】要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于（）且根的判别式小于0,

由此可求出出的范围，再找出最小值即可.

【解析】解：:关于xH勺一元二次方程（化一5）必一2工+2=0没有实数根，

，左一5二0且△=(-2)~-4(k-5)x2<0,

解得丘5,k>*

2

，整数攵的最小值是6,

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等

知识，解题的关键是掌握根的判别式：对于一元二次方程以2+笈+。=0（。。0）,

△=b?-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；△=〃-4ac=0时，方程有两个相等

的实数根；△=从-4次<0时，方程没有实数根.

12.（本题4分）一个不透明的袋子中装有12个白球、9个黄球和若干个黑球，它们除

颜色外，完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现

得到白球的频率稳定在84,则可判断袋子中黑球的个数为.

【答案】9

【分析】由摸到白球的须率稳定在04附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑

球个数即可.

【解析】解：设黑球个数有X个，

•••摸到白色球的频率稳定在0.4左右，

解得：X=9,

故黑球的个数为9.

故答案为：9.

【点评】本题考查概率，正确理解概率的含义是解题关键.

13.（本题4分）如果一个正多边形的中心角为72。,则该正多边形的对角线条数为一.

【答案】5

【分析】用360。除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数，再根据一

个多边形有工12条对角线，即可算出有多少条时角线.

【解析】解：由题意可得，正多边形边数为360*72。=5,

・•・这个多边形的对角线条数是5邓-3）=5条.

2

故答案为：5

【点评】本题主要考查了正多边形中心角的性质，多边形的对角线等知识，熟知正多边

形的中心角的性质和求多边形对角线条数的公式是解题关键.

14.（本题4分）下面是三位同学对某个二次函数的描述.

甲：图象的形状、开口方向与y=2/的相同；

乙：顶点在x轴上；

丙：对称轴是4-1

请写出这个二次函数解析式的一般式：.

【答案】y=2x2+4x+2

【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为y=且。=2,h=-1t据此

可得；

【解析】解：设函数解析式为y=炉，根据题意得，。=2,〃=-1,

二次函数解析式是：y=2（x+l『=2（£+2x+I）=2f+4x+2,

故答案为：y=2d+4x+2.

【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图

象和性质及其解析式的形式.

15.（本题4分）如图，己知梯形4BC。中，AD//BC,对角线AC、8。交于点。，

=设入。_a，AB—b，贝DAO_____.（川含〃、A的式子表示）

'△BOC4

【答案】21泰2

【分析】根据平面向量计算即可表示.

【解析】解：・・・AO〃BC

ZOAD=/OCR,ZADO=ZCBO

:.AAODSABOC

..A。/,_J_

・q~4

♦△BOC

•（也）2=（生）2=J=J

-%C）-s*4，

.AOAD

••沃—记一5'

^AO=-AC,

AC33

VAD=a^AB=b，BC与AO同向，

：•B。=2a，

*.*AC=AB+BC=h+2a^

--1~2

・•・AO=-b+-a.

33

1.2

故答案为：学+（

【点评】本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理.

16.（本题4分）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图是根据此次调查结果

所绘制的一个未完成的扇形统计图，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法:

①被调查的学生.有60人；②被调查的学生中，步行的有27人；③被调查的学生中，骑

车上学的学生比乘车上学的学生多20人；④扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为

.（填写序号）

【答案】①②④

【分析】利用骑车的人数除以其所占的百分比求舟调宜的总人数，再求出步行所占的百

分比，利用总人数乘以步行所占的百分比求得步行的人数，然后利用乘车所占的百分比

乘以总人数求得乘车的人数，再与骑车的人数相比即可，最后利用乘车所占的百分比乘

以360。即可求得乘车所对应的圆心角.

【解析】解：由题意可得，参与调查的总人数为：21^35%=60（人），故①正确;

•・•步行所占的百分比为：1-35%-15%-5%=45%,

，步行的人数为：60x45%=27（人），故②正确：

•・•乘车的人数为：15%x60=9（人），21-9=12（人），

・••骑车上学的学生比乘车上学的学生多12人，故③错误,

乘车部分所对应的圆心角为：15%X3600=54。，故④正确，

故答案为：①②④.

【点评】本题考查扇形统计图，熟练掌握频数除以总人数等于其所占的百分比，求圆心

角的方法是解题的关键.

17.（本题4分）如图，在RtAABC中，NC=90。，4=35。，点。在边4c上，且0A=20C,

将04绕着点。逆时针旋转，点A落在ABC的•条边上的点。处，那么旋转角的

度数是一.

【答案】110。或120。

【分析】

分类讨论：当点。在48上，根据等边对等角和三角形内角和即可求得；当点。在4c上,

根据30度所对的直角边是斜边的一半和三角形的外角性质即可求得.

【解析】当点Q在A8上,如图：

VAO=OD,AZA=Z4ZX)=35°,

••・ZAOD=180°-35o-35o=110°,

当点£)在国？上，如图：

AO=OD=2OC,

:.NODC=30。，

，Z40D=900+300=1200,

故答案为：110。或120。

【点评】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，30度角的直角三角形性

质，三角形的外角性质，解题的关键是分类讨论思想的运用.

18.（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面

一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，

且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点尸是

第3列两个小圆的公共点.若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函

【分析】当直线y过P、N两点时，由中心对称图形的特征可得直线），平分7个小圆的

面积，由直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系求得N、尸的坐标，再待定系数法求

一次函数解析式即可；

【解析】解：如图，G）N、OG、（DM与x轴相切于F、。、E,连接N尸、NG、GM、

•・•右边6个小圆关于点。中心对称，直线），经过点P,

.•.直线丁平分右边6个小圆的面积，

•・•直线.v经过左边小圆的圆心，

・•・直线)，平分。N的面积，

・,・直线y平分7个小圆的面积，

N尸JLx轴,GOJLx轴，则NF〃GO,

NF=GO=\,则NFOG是平行四边形，

NGOF=90。，则NFOG是矩形，

♦：0N、OG相切,

:,NG=2,即N(-2,1),

同理可得M(2,1),

•・•尸在。M的正上方，E点在。M的正下方，

••・PE为。M的直径，即P、M、E共线，

:.P(2,2),

设直线广米+瓦则

\\=-2k+b，解”得,：：4，

2=2k+b,3

b=-

2

1

.•・)丁J展

13

故答案为：

【点评】本题考查了中心对称图形的特征，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系,

•次函数解析式；掌握中心对称图形的特征是解题关键.

三、解答题(共78分)

19.(本题6分)计算：

(I)|-2|+x/i2-^：

(2)(J2023-1)—|\/3—21+f—+5/—8.

【答案】(1)2+百

⑵2+6

【分析】(1)直接利用绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；

(2)直接利用零指数某的性质以及绝对值的性质、负整数指数塞的性质、立方根的性

质分别化简，进而计算得出答案.

【解析】（1）解：|一2|+"1-石

=2+26-石

=2+石；

(2)解：(72023-1)°-+舛

=1-2+73+5-2

=2+0♦

【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

2x+l>3x-l

20.（本题8分）解不等式组：3.

x-5<\+4x

【答案】-2<x<1

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找,

大大小小找不到（无解）“求出不等式组的解集即可.

【解析】解：3-2

A-5<1+4A（2）

解不等式①得：工41,

解不等式②得：”>-2,

•・•不等式组的解集为-2<xK1.

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关

键.

21.（本题10分）如图，A8是的直径，AC是一条弦，。是人。的中点，DE1AB

于点E,交AC于点月交0。于点H,03交AC于点G.

(1)求证：AF=DF.

（2）若"=”必8。=q'求。。的半径.

【答案】（1）见解析

(2)5

【分析】（1）根据。是AC的中点，DEJ.AB于点、E,得到CO=D4=A”,得到

ZAQ”=ND4C即可得证.

（2）根据sin/A8Q=@=42,设AQ=^.r,AB=5x,运用勾股定理，得到

5AB

加=J（5x）y氐『=2后,结合sinNA8O=t=/，得到OE=2x,运用勾股定

理，得至IBE=J（2画-（2xf=4一从而得到

5、

AE=x,EF=ED-DF=DE-AF=2x--，在RlAEF中，利用勾股定理计算x即可.

【解析】（I）是AC的中点.

・・CD=DA，

'：DE±AB,48是。的直径,

••DA=AH>

•-CD=DA=AH

・•・ZADH=NDAC,

AF=DF.

(2)VDEJ.AB,43是(。的直径,

：,ZADB=90°,

...八75AD

•sin/AB。=—=----

5AB

设AO=G%A8=5X,

BD=J(5x『-(&Y=，

・・°.\f5_DE

•SIDBD=----=-----9

5BD

DE=2x,

・•・BE==4x,

••・AE=x,EF=ED-DF=DE-AF=\2x-^

在RtAEF中，AF2=AE2+EF1，

解得x=2或x=0(舍去)，

,AB=5x=\0,

・•・OO的半径为5.

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，

勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键.

22.(本题12分)在一次实验中，小李把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂质量为x

kg的物体，如图所示，弹簧的长度)，(cm)与所挂物体的质量x(kg)的几组对应值

如下表：

所挂物体质量x/kg012345

弹簧长度y/cm182022242528

(I)当所挂物体的质量为4kg时，弹簧长cm；不挂重物时弹簧长cm；

⑵写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式；

(3)当弹簧长度为36cm时，求所挂物体的质量.

【答案】(1)24；18

⑵y=18+2x

(3)9

【分析】(1)根据弹簧的长度)，(cm)与所挂物体的质量x(kg)的对应值表格，即

可直接得出答案；

(2)由表格可知，所挂物体的质量每增加1kg,弹簧的长度就会增加2cm,据此即可

写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量/(kg)之间的函数关系式；

（3）把y=36代入（2）中函数关系式即可解答.

【解析】（1）根据弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应值表格，可

知：

当所挂物体的质量为4kg时，弹簧长24cm：不挂重物时弹簧长18cm；

故答案是24；18；

（2）根据弹簧的长度），（cm）与所挂物体的质最工（kg）的对应值表格，可知所挂物

体的质量每增加1kg,弹簧的长度就会增加2cm,

y=\8+2x.

故答案是y=18+2x；

（3）当y=36时，

18+2x=36,

Ax=9.

即当弹簧长度为36cm时，求所挂物体的质量为9kg.

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于熟读题意，分析表格中

的数据之间的数量关系,求出弹簧长度与所挂物体质量之间的函数关系式.

23.（本题12分）如左图，为探究一类矩形A3CO的性质，小明在边上取一点E,

连接。经探究发现：当OE平分Z4Z）C时，将二版沿折叠至八4庄，点尸恰

好落在DE上,据此解决下列问题：

（1）求证：AAFD出公DCE；

（2）如图，延长C/交AE于点G,交AB于点、H.

①求证：EF.DF=GFCF•

②求GE:GC的值

【答案】（1）见解析

⑵①见解析；②&一1

【分析】（1）根据矩形的性质可得NDEC=N4OF，再由折叠的性质可得A/=C。，然

后根据£>£平分NAZX?,可得NOEC=N/M>/=N£DC=45。，即可；

（2）①根据CDE是等腰直角三角形，可得NCED=45。，再由△AFO四△£>（",可

得AD=DE,AF=DF=DC=CE,ZDAF=45°,从而得到/DCF=NOFC=67.5。，再

由折叠的性质可得/6£/=/七以7=/。回。=/£心/，可证明GEFs-CDF,即可；②

根据等腰直角三角形的性质可得OE=&CD，从而得到E尸=。月-。尸=(&-l)CE,

进而得到g=正-1,再证明二瓦Cs,GEC,即可求解.

CE

【解析】(1)证明：•・,四边形ABCZ)是矩形，

/.AB=CD,NS=NC=90°,AD/7BC,

：・/DEC=ZADF,

由折叠的性质得：AB=AF,ZAFD=ZAFE=NB=9(r,

JAF=CD,

〈OE平分/A£>C,

••・ZDEC=ZADF=4EDC=45°,

，4AFD会4DCE；

(2)①证明：*.•/CDE=45。,々BCD=90°,

・•・ACDE是等腰直角三角形，

・••ZCED=45°,

AAFDm公DCE,

：.AD=DE,AF=DF=DC=CE,ZDAF=45°,

JNDCF=4DFC=W,

由折叠的性质得：ZBE4=ZFE4=67.5°,

即Z.GEF=4EFG=ZDFC=ZDCF,

・•・GEFs’DCF,

GFFF

・•・夫=宗即EFDF=GFCF；

DFCF

②解：・・・.OE是等腰直角三角形，ZCDE=45°,

DE=42CD，

・•・EF=DE-DF=(啦-1)CD=(6-1)CE,

CE

,/ZFE4=ZDFC=67.5°,

・•・ZEFC=ZGEC=112.5°,

又NECF=NGCE,

工」EFCS/GEC,

EF：CE=GE：GC=Q-I.

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角

形的判定与性质，三角形相似的判定和性质，证明..ETCs.GEC是解答本题的关键.

24.(本题14分)已知在平面直角坐标系1作中，抛物线)，=-；/+云+。与工轴交于

点A(TO)和点与)轴交于点C(O,2),点尸是该帼物线在第一象限内一点，联结

AP,8C,AP与线段相交于点F.

⑴求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴与线段6c■交于点么,如果点“与点七里合，求点产的坐标；

(3)过点P作尸G_L%轴，垂足为点G,PG与线段BC交于点H,如果PF=PH,求线段PH

的长度.

【答案】(1))，=一51/+；Q%+2

⑵尸(3,2)

【分析】(I)将点4T。)和点C(o⑵代入)，=_；/+云+C,即可求解；

(2)分别求出8(4,0)和直线的解析式为)，=-^1.t+2,可得反；3,彳5)，再求直线

11

y=­x+—

AE的解析式为尸gx+g-22

联立即可求点P(3,2)；

y=-L2l

2x+2x+2

⑶设也-家+卜2）,则〃（T+2）,则归T+〃，用待定系数法求出直

1c

y=—x+2

线A”的解析式为，=?x+手，联立＜4-Z43可求出尸(占‘台)'直线

”与）'轴交点反。，?），则CE=：，再由依'=物，可得CE=EF,则有方程

/'/I20—5，4—12-AX1.5p__12c15

（彳）=（「）-+（«工--丁）~，求出，=彳，即lt可r求P”=-彳，+2/=-7-

zj—r1u-z/z2，o

【解析】（D解：将点A（T0）和点。（0⑵代入y=-gf+bx+c,

,3

h=—

2,

c=2

1，3c

.■.y=--x-+-x+2i

13

(2)解：-y=-+$x+2,

3

「•对称轴为直线x=

令y=0,则」/+二+2=0,

22

解得X=-l或X=4,

「•伏4,0),

设直线8c的解析式为）=辰+，〃,

4k+m=0

m=2

k=--

2,

ni=2

1c

y=一万1+2,

.FQ5

••凤5，/，

设直线AE的解析式为）,=kx+n,

-k'+w=0

3.,5»

-li+n=-

24

2

2

11

/.y=-x+-,

22

11

y=­x+—

联立2123

y=——x~+-x+2

22

:.x=3^,x=-\(舍),

/.P(3,2)；

(3)解：

设直线AP的解析式为y=k,X+",

+4=o

,13c，

k.t+b.=——i2+—/+2

I1122

5-r

20-5z

),

10-27

直线曾与丁轴交点EQ-）,

4—tt

:.CE=2-------=-

22

PF=PH,

"FH=4>HF,

PG〃y轴，

4ECF=4PHF,

NCFE=/PFH,

:"CEF=/CFE,

：.CE=EF,

〃、2./..20-5/4T、2

.•.（-）-=（T—）2*+（-—；———）*，

25-r10-2/2

.-.（4-/）2+4=（5-/）2,

5

2

:.PH=--r+2t=—

28

【点评】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会

求二次函数的交点坐标.本题计算量较大，准确的计算也是解题的关键.

25.（本题16分）已知正方形A8C力与正方形AEAG,正方形AMG绕点4旋转一周.

G

图3备用图

(1)在旋转过程中，

①连接跖与。G,结合图I,探究线段跖与QG的数