《备战2023年高考数学一轮复习》课件-第二章-第3节-函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性课程标准要求1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,会判断应用函数的周期性.必备知识·课前回顾关键能力·课堂突破必备知识·课前回顾回归教材夯实四基知识梳理1.函数的奇偶性偶函数奇函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I且

,那么函数f(x)就叫做偶函数且

,那么函数f(x)就叫做奇函数图象特征关于

对称关于

对称f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点释疑函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.2.函数的周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且

,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数,那么这个

就叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)最小最小正数释疑(1)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.(2)不是所有的周期函数都有最小正周期,如常函数f(x)=c(c是常数)是周期函数,但没有最小正周期.重要结论1.奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.周期性的常用结论设函数y=f(x),x∈R,a>0.(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a.(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.3.对称性的三个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.对点自测1.(必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是(

)A.y=x3 B.y=x2C.y=|lnx| D.y=2-xB解析:A为奇函数,C,D为非奇非偶函数,B为偶函数.故选B.B解析:因为f(x)是偶函数,函数的定义域关于原点对称,所以a+2b=0.3.若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数,定义域为[a,2b],则a+2b=

.

答案:0答案:-45.(2021·山东日照高三模拟)写出一个满足f(x)=f(2-x)的奇函数:f(x)=

.考点一函数奇偶性的判断及应用关键能力·课堂突破类分考点落实四翼1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x<0时,f(x)=2x2-2,则f(f(-1))+f(2)=(

)A.-8 B.-6 C.4 D.6B解析:法一

因为当x<0时,f(x)=2x2-2,所以f(-1)=0,又函数是奇函数,则f(0)=0,f(-2)=2×(-2)2-2=2×4-2=8-2=6=-f(2),即f(2)=-6,所以f(f(-1))+f(2)=-6.故选B.法二因为当x<0时,f(x)=2x2-2,所以f(-1)=0,则f(f(-1))=f(0)=0.设x>0,则-x<0.所以f(-x)=2(-x)2-2=2x2-2.又因为函数满足f(-x)=-f(x),即-f(x)=2x2-2,因此f(x)=2-2x2,故f(2)=2-2×22=-6,故f(f(-1))+f(2)=-6.故选B.D3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+2,则f(x)=

,g(x)=

.解析:由f(x)-g(x)=x3+x2+2以及函数f(x)和g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数可得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+2=-x3+x2+2,即f(x)+g(x)=-x3+x2+2,解得f(x)=x2+2,g(x)=-x3.答案:x2+2

-x3解析:(1)函数的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.解:(3)法一(定义法)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.法二(图象法)作出函数f(x)的图象,由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.题后悟通1.判断函数奇偶性的方法(1)首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)与f(x)之间的关系.(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.2.利用函数的奇偶性求函数值的方法:将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.3.根据函数的奇偶性求解析式中参数的方法:根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组),进而得出参数的值.4.涉及两个奇偶函数的和或差的解析式求奇偶函数的解析式需要用-x代替x后利用奇偶函数的性质构造方程组求解.注意:根据函数的解析式判断函数奇偶性时,若函数解析式不是最简形式,需要先化简函数解析式,化简时要注意等价变形.考点二函数的周期性及其应用例1设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,则x∈[2,4]时函数f(x)的解析式为

.解析:当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2×(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以当x∈[-2,0)时,f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,故当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.答案:f(x)=x2-6x+8(x∈[2,4])解析:依题意函数的一个周期是4,且f(1)=2,所以f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2.又f(2)=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0.由奇函数的定义f(-x)=-f(x),可知f(0)=-f(-0)=-f(0),则f(0)=0,因此f(4)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,结合2023=4×505+3,可知f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)+f(2023)=505[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=2+0+(-2)=0.[典例迁移1]设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)+f(2023)=

.

答案:01.根据函数在给定区间上的解析式,结合函数周期性与奇偶性的求值问题,应根据函数的性质将待求的自变量的值转化到已知的函数解析式上后,结合函数解析式求值.2.若函数具有奇偶性以及关于直线(或点)对称时,函数也具有周期性,求解时首先利用周期性的定义确定出函数的周期.解题策略[针对训练]1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(1-x),则f(2020)+f(2021)+f(2022)=(

)A.-1 B.0 C.1 D.2解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=f(1-x),所以f(x+1)=f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,所以f(2020)=f(0+2×1010)=f(0)=0,f(2021)+f(2022)=f(2021)+f(1-2022)=f(2021)-f(2021)=0,所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=0.故选B.3.若函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则x∈[7,9]时的函数解析式是

.

解析:由函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)可知f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),因此函数的周期是2.设x∈[7,9],则-1≤x-8≤1,因此f(x-8)=(x-8)2,根据函数的周期是2可知f(x-8)=f(x),因此f(x)=(x-8)2.答案:f(x)=(x-8)2(x∈[7,9])考点三函数性质的综合应用角度一函数的单调性、奇偶性的应用例2-1(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(

)A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]解析:(1)由函数f(x)是奇函数,可知f(-1)=-f(1)=1.-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,则有-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3.故选D.(2)已知函数f(x)=x2+log2|x|,则不等式f(x+1)-f(2)<0的解集为(

)A.(-∞,-1)∪(3,+∞)

B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-3,-1)∪(-1,1)

D.(-1,1)∪(1,3)解题策略1.求解与奇偶函数有关的不等式问题要考虑奇偶函数关于原点对称的定义域两侧的单调性;利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,转化到同一单调区间上求解.2.求解与偶函数有关的不等式问题,为避免出现错误以及分类讨论,可利用偶函数的性质f(x)=f(-x)=f(|x|)将问题转化为偶函数在[0,+∞)上的单调性求解.角度二函数的奇偶性(对称性)与周期性例2-2(2021·黑龙江佳木斯一中高三三模)已知y=f(x)为奇函数,若f(x+1)是偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2021)=(

)A.-1 B.0 C.1 D.2解析:由函数f(x+1)是偶函数以及y=f(x)为奇函数可知f(x+1)=f(-x+1),即f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以对任意x∈R,f(x+4)=f(x).当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),所以f(0)=log2a=0,所以a=1,则f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=log22=1.故选C.解题策略1.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称,若y=f(x+a)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(a,0)对称.2.函数图象的对称与周期关系常见结论(1)若函数y=f(x)的两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|;(2)若函数y=f(x)的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a-b|;(3)若函数y=f(x)的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|.角度三单调性、奇偶性与周期性的综合问题例2-3解题策略函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.备选例题例1例2已知函数y=f(x)对于任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(x)不恒为0,函数y=g(x)为非零函数,对于任意实数x,y均有g(xy)=g(x)+g(y),则下列关于函数y=f(x)与函数y=g(x)的叙述正确的是(

)A.函数y=f(x)与函数y=g(x)均为偶函数B.函数y=f(x)与函数y=g(x)均为奇函数C.函数y=f(x)是奇函数,函数y=g(x)为偶函数D.函数y=f(x)是偶函数,函数y=g(x)为奇函数解析:令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0),故有f(0)=0.令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x),故有f(-x)=-f(x),又因为f(x)不恒为0,所以函数f(x)是奇函数.令x=1,y=-1,则有g(-1)=g[(-1)×1]=g(-1)+g(1),故有g(1)=0,令x=y=-1,则有g(1)=g(-1)+g(-1),故有g(-