732离散型随机变量的方差课件-高二下学期数学人教A版选择性

7.3.2离散型随机变量的方差

人教A版（2019）选择性必修三素养目标1.理解离散型随机变量的方差与标准差的概念（重点）2.计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题，提升数学运算素养（重难点）3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，提升逻辑推理能力（难点）新课导入随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.新课学习思考一下：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表1和表2所示.如何评价这两名同学的射击水平？X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03表1表2新课学习通过计算可得E(X)=8，E(Y)=8由于两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.评价射击水平，除要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.图1和图2分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.新课学习思考一下：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.Xx1x2…xnPp1p2…pn设离散型随机变量X的分布列如表所示考虑X的所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2，(x2-E(X))2，⋯(xn-E(X))2.因为X

取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X

取值与其均值E(X)的偏离程度.新课学习离散随机变量的方差的概念我们称为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为.新课学习思考一下：随机变量的方差与标准差的性质？随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.新课学习思考一下：上面问题中，甲同学和乙同学的方差和标准差各是多少？可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性.由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为因为D(Y)<D(X)(等价地，)，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.新课学习方差的其他计算公式新课学习方差的性质离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)=D(X)而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即D(aX)=a2D(X)一般地，可以证明下面的结论成立：D(aX+b)=a2D(X)新课学习拓展：方差性质的证明设离散随机变量X的分布列为Xx1x2.......xi.......xnpp1p2.......pi......pn由Y=aX+b（a,b为常数）知Y也是离散随机变量，Y的分布列为Yax1+bax2+b.......axi+b.......axn+bpp1p2.......pi......pn新课学习拓展：方差性质的证明由均值的性质得E(Y)=aE(X)+b,于是D(aX+b)=D(X)新课学习例1

抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.随机变量X的分布列为因为所以新课学习例2

投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表(1)和表(2)所示.收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3表（1）表（2）问题：(1)投资哪种股票的期望收益大？新课学习分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值.投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低.股票A和股票B投资收益的期望分别为E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.因为E(X)>E(Y)，所以投资股票A的期望收益较大.新课学习(2)投资哪种股票的风险较高？股票A和股票B投资收益的方差分别为D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×2=1.29，D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3-12=0.6.因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y)，所以投资股票A比投资股票B的风险高.新课学习思考一下：随机变量的方差在不同实际问题中代表的意义相同吗？随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度.在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.例如，如果随机变量是某相关技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加