2024-2025学年广东省惠州一中高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省惠州一中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于π2的角}，那么A、B、C关系是(

)A.B=A∩C B.B∪C=C C.A⫋C D.A=B=C2.已知α：x>1,β：1x<1，则α是β的(    )A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3.若sinθ=45，θ为第二象限角，则[cosA.310 B.15 C.254.函数f(x)=|x|+ax2(a∈R)A. B.

C. D.5.函数y=[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]=1，[−2.3]=−3，[3]=3.那么使不等式4[x]2−12[x]+5≤0成立的x范围是A.[12,53] B.[0,2]6.“喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强m与参考声强m0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：分贝)，即L=lgmm0.若某处“喊泉”的声强级L(单位：分贝)与喷出的泉水高度x(单位：分米)满足关系式L=0.4x.A喷出泉水的高度比B“喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则A“喊泉”的声强是B“喊泉”声强的(

)A.5倍 B.10倍 C.20倍 D.100倍7.已知命题“∃x∈R,2ax2+ax−38≥0”A.a≤−3或a>0 B.−3<a≤0 C.a≤−3或a≥0 D.−3<a<08.已知函数f(x)=2cos(ωx+π6)+2，(ω>0)在区间[−π6,π3]上单调递减，且在区间A.23 B.12 C.1112二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的有(

)A.函数f(x)=ex−e−x图象关于原点对称

B.函数f(x)定义域为R且对任意实数x、y恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，则f(x)为偶函数

C.f(x)=log2(x2−mx+1)10.若实数m,n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有(

)A.mn的最大值为18 B.1m+1n的最小值为42

C.211.如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的动点，若△APQ的周长为定值2，则(

)A.∠PCQ的大小为45°

B.△PCQ面积的最小值为2−1

C.PQ长度的最小值为22−2

D.点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=2x−3x在区间(1,2)上有一个零点x0，如果用二分法求x0的近似值(13.函数f(x)=sinx+2cosx取得最大值时sinx的值是______．14.设函数的定义域为D，如果存在区间[a,b]∈D，使得φ(x)在[a,b]上值域为[a,b]且单调，则称[a,b]为函数φ(x)的保值区间.已知幂函数f(x)=(p2+p−1)(1)函数f(x)的解析式f(x)=

;(2)若函数φ(x)=2f(x+1)−k存在保值区间，则实数k的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，以x轴非负半轴为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q，已知点P的坐标为−(1)求3sin(2)若OP⊥OQ，求sinβcos16.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象相邻对称轴之间的距离是π2，若将f(x)的图像向右移π6个单位，所得函数g(x)为奇函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数ℎ(x)=f(x)−35的一个零点为x17.(本小题15分)某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益f(x)(单位：万元)与研发投入资金x(单位：万元)的关系为f(x)=log2x+1+ax+b，x≥0，项目乙研发期望收益g(x)(单位：万元)与研发投入资金x(单位：万元)的关系为g(x)=x−log2(1)求实数a，b，c的值;(2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大?并求出最大期望利润．18.(本小题17分)已知f(x+1)为R上的偶函数，当x≥1时函数f(x)=lg(1)求f(−2)并求f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=|x2+tx+12|在[0,2]的最大值为12，求19.(本小题17分)

已知函数g(x)=ax2−2ax+b(a>0)在区间[2,3]上的最大值为5，最小值为2，记f(x)=g(|x|)．

(1)求实数a、b的值；

(2)若不等式f(2k−2)>f(2)成立，求实数k的取值范围；

(3)定义在[p,q]上的一个函数m(x)，用分法T：p=x0<x1<⋯<xt−1<xt<⋯<xn=q将区间[p,q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数参考答案1.B

2.A

3.D

4.A

5.C

6.D

7.B

8.C

9.AD

10.AD

11.ABC

12.7

13.514.f(x)=x15.解：(1)因为角α终边与单位圆相交于点P−所以sinα=所以3sin(2)因为OP⊥OQ，所以β=α−π所以sinβ

16.解：(1)由题意可得T2=π2，可得T=π，

而T=2πω=π，可得ω=2，

此时f(x)=sin(2x+φ)，

由题意可得g(x)=sin[2(x−π6)+φ]=sin(2x−π3+φ)，

要使函数g(x)为奇函数，则−π3+φ=kπ，k∈Z，

即φ=π3+kπ，k∈Z，而0<φ<π，

所以φ=π3，

所以f(x)=sin(2x+π17.解：(1)由f(0)=g(0)=0，f(15)=17，

可得log2 0+1+b=0,log2 15+1+15a+b=17,解得−log2 32+c=0,a=1,b=0,c=5,

故f(x)=log2x+1+x，g(x)=x−log2(32−x)+5，

(2)设项目甲研发投入资金为x万元，则项目乙投入27−x万元，投资收益为y，

则y=f(x)+g(27−x)=log2x+1+x+27−x−log18.解：(1)∵f(x+1)为R上的偶函数，f(x)关于x=1对称，

∴f(−2)=f(4)=lg10=1．

又f(−x+1)=f(x+1)，∴f(x)=f(2−x)，

当x<1即2−x>1时，f(x)=f(2−x)=lg(2−x+6)=lg(8−x)．

故f(x)=lg(6+x),x≥1lg(8−x),x<1．

(2)当t≥0时g(x)=x2+tx+12在[0,2]上单调递增，g(x)的最小值为12，与题意矛盾，∴t<0，

同理当对称轴−t2≥2即t≤−4时，则y=x2+tx+12在[0,2]上单调递减，

∴g(2)≤g(0)=12，|2t+92|≤12，∴−52≤t≤−2，矛盾．

若−4<t<019.解：(1)易知二次函数g(x)的图象开口向上，对称轴为x=1，

则函数g(x)在区间[2,3]上单调递增，

所以g(3)=5，g(2)=2，

则9a−6a+b=54a−4a+b=2，

解得a=1，b=2，

(2)由(1)知，g(x)=x2−2x+2，

则f(x)=g(|x|)=|x|2−2|x|+2=x2−2x+2,x≥0x2+2x+2,x<0，

因为f(−x)=(−x)2−2|−x|+2=x2−2|x|+2=f(x)，

所以函数f(x)为偶函数，

函数f(x)的图