高考数学第二轮专题第10讲-空间几何体、空间中的位置关系

第10讲空间几何体、空间中的位置关系04真知真题扫描

考点考法探究教师备用习题

真知真题扫描C

真知真题扫描2.[2020·全国卷Ⅱ]图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为(

)A.E B.FC.G D.HA[解析]

由题可知该几何体是由两个相同的长方体拼接而成,如图所示,显然选A.

真知真题扫描

C

图M4-10-2真知真题扫描

B真知真题扫描

真知真题扫描5.[2020·全国卷Ⅰ]已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(

)A.64π B.48π C.36π D.32πA

真知真题扫描

B

真知真题扫描7.[2019·全国卷Ⅲ]学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型,如图M4-10-4,该模型为长方体ABCD

-A1B1C1D1挖去四棱锥O

-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为

g.

118.8图M4-10-4

真知真题扫描图M4-10-2考点考法探究例1

一个锥体的正视图和侧视图如图M4-10-5所示,下列选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 (

)C空间几何体的三视图与直观图图M4-10-5图M4-10-6考点考法探究[解析]

本题中给出了锥体的正视图与侧视图,故可以根据正视图与俯视图长对正,侧视图与俯视图宽相等来求解.A中的视图满足三视图的作法规则;B中的视图满足三视图的作法规则;C中的视图不满足三视图的作法规则;D中的视图满足三视图的作法规则.故选C.考点考法探究【规律提炼】三视图的长度特征为:长对正、宽相等、高平齐,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.考点考法探究例

2

(1)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一,并为中国所特有,图M4-10-7①,②是北京故宫太和殿斗拱实物图,图③是斗拱构件之一的“斗”的几何体,图③中的斗是由棱台与长方体形凹槽(原长方体去掉一个小长方体,其中小长方体的长与原长方体的长相等,宽和高分别为原长方体的一半)组成.若棱台两底面的面积分别是400cm2,900cm2,高为9cm,长方体形凹槽的高为12cm,斗的密度是0.50g/cm3,那么这个“斗”的质量是(

)A.3990g B.3010gC.6900g D.6300g空间几何体的表面积与体积C①

②

③图M4-10-7

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考点考法探究

考点考法探究(3)[2020·浙江卷]已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是

.

[解析]设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则由题意可得2π=πrl,2πr=πl,解得r=1,l=2.考点考法探究【规律提炼】在空间几何体的表面积与体积的计算中,熟记空间几何体的结构特征,利用面积公式及体积公式准确计算是解答的关键.考点考法探究

B

考点考法探究2.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器,神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器,1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8cm,孔径4.9cm,外径17.6cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体,内圆外方,上下端为圆面的射,中心有一上下垂直相透的圆孔,如图M4-10-4所示.试估计该神人纹玉琮王的体积为(单位:cm3) (

)A.6250 B.3050C.2850 D.2350

图M4-10-4

考点考法探究考点考法探究

C

考点考法探究

D

考点考法探究考点考法探究

多面体与球B[解析]由MN=3,NP=4,MP=5,可知∠PNM=90°,所以球心O在过PM的中点与平面MNP垂直的直线上.因为三角形MNP的面积为定值,所以当高最大时,三棱锥Q-MNP的体积最大,根据球的几何性质可知,当O'Q过球心时,考点考法探究

考点考法探究

B[解析]根据题意,先作出菱形ABCD,且∠BCD=60°,再折叠成三棱锥C-ABD,所以△ABD与△CBD均为正三角形,取BD的中点F,连接AF,CF,则∠AFC=120°.设O为△ABD的中心,作CE⊥平面ABD于点E.可得CE与AF的延长线交于点E.如图所示.考点考法探究

考点考法探究

考点考法探究

考点考法探究途径2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体.途径4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.考点考法探究

B

考点考法探究2.已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上,该正四棱锥的五个面所在的平面截球面所得圆的大小相同,若正四棱锥P-ABCD的高为2,则球O的表面积为(

)A.8π B.9π C.12π D.16πA

考点考法探究2.已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上,该正四棱锥的五个面所在的平面截球面所得圆的大小相同,若正四棱锥P-ABCD的高为2,则球O的表面积为(

)A.8π B.9π C.12π D.16πA

考点考法探究3.已知三棱锥S-ABC的所有顶点均在球O的球面上,SA⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,SA=AB=AC=2,D是BC的中点,过点D作球O的截面,则截面面积的最小值是(

)A.π B.2π C.3π D.4πB

考点考法探究角度2

内切球例

4

(1)如图M4-10-10所示,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若O1O2=2,则圆柱O1O2的表面积为(

)A.4π B.5πC.6π D.πC[解析]因为该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,所以不妨设圆柱的底面半径为r,故2r=O1O2=2,解得r=1.故该圆柱的表面积为2πr2+2πr·O1O2=2π+4π=6π.故选C.图M4-10-10考点考法探究(2)在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图M4-10-11,若四棱锥P-ABCD为阳马,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r,则R=

;内切球的体积V=

.

图M4-10-11

考点考法探究

图M4-10-11考点考法探究【规律提炼】一个多面体与它的内切球有以下特点与方法:1.内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等;2.正多面体的内切球和外接球的球心重合;3.正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上,但不重合;4.基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理;5.体积分割是求内切球半径的通用做法.考点考法探究自测题

1.《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”,现有一“堑堵”形石材,其底面边长分别为3,4,5,若此石材恰好可以加工成一个最大的球体,则其高为(

)A.4 B.3 C.2 D.1C

考点考法探究2.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=1,且平面PAC⊥平面ABC,则AC=

;若球O与该三棱锥除PB以外的5条棱均相切,则球O的半径为

.

考点考法探究

考点考法探究

考点考法探究

考点考法探究【规律提练】确定球与几何体相交的轨迹的关键是理解好任意一个平面与球相交,截面都是圆面.在平面中的轨迹一定是圆弧.解题时需要有较强的空间想象能力,关键是判断出交线是什么样的圆中的弧,然后只需利用弧长公式计算即可.考点考法探究

B

考点考法探究

考点考法探究例

6

(1)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列结论正确的是 (

)A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥nC.若m∥n,n∥β,则m∥βD.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β空间位置关系B[解析]对于A,若m⊥n,n∥α,则直线m与平面α可能平行、相交或m⊂α,故A错误;对于B,若m⊥α,α⊥β,则m⊂β或m∥β,又n⊥β,所以m⊥n,故B正确;对于C,若m∥n,n∥β,则m∥β或m⊂β,故C错误;对于D,若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α与β相交或平行,故D错误.故选B.考点考法探究

C

考点考法探究

C

考点考法探究【规律提炼】在近几年的高考题中,空间中的位置关系:如线面平行、线线垂直和面面垂直都有考查,一般是将直线或平面放在正方体中,这样比较直观.解决几何体截面问题的关键是确定截面图形的位置、形状、经过的点,然后根据有关数量或位置关系计算.考点考法探究自测题

1.若α,β是空间中的两个不同的平面,m,n是空间中的两条不同的直线,则给出的下列说法中正确的是(

)①若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β②若m∥α,n∥β,且m⊥n,则α⊥β③若m⊥α,n⊥β,且m∥n,则α∥β④若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥βA.①②③ B.①③④C.②④ D.③④D[解析]①若m∥α,n∥β,且m∥n,则α,β可能平行,也可能相交,①错误.②若m∥α,n∥β,且m⊥n,则α,β可能相交,也可能平行,②错误.③由m⊥α,m∥n,可知n⊥α,又n⊥β,所以α∥β,③正确.④由m⊥α,m⊥n,可得n⊂α或n∥α.若n⊂α,则由n⊥β,可得α⊥β.若n∥α,则在α内存在直线l满足l∥n,则由n⊥β,可得l⊥β,所以α⊥β.④正确.故选D.考点考法探究2.(多选题)如图M4-10-12①所示,已知四边形PABC是直角梯形,AB∥PC,AB⊥BC,点D在线段PC上,AD⊥PC.将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD,连接PB,PC,设PB的中点为N,连接AN,如图②.对于图②,下列说法中正确的是(

)A.平面PAB⊥平面PBCB.BC⊥平面PDCC.PD⊥ACD.PB=2ANBCD①

②图M4-10-12考点考法探究[解析]由已知得四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC,又∵AD⊥PD,PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD,又AD∥BC,∴BC⊥平面PDC,B正确;∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且PD⊥AD,∴PD⊥平面ABCD,∵AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC,C正确;∵PD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PD⊥AB,又AB⊥AD,PD∩DA=D,∴AB⊥平面PAD,∵PA⊂平面PAD,∴AB⊥PA,∴△PAB是直角三角形,又PB的中点为N,∴PB=2AN,D正确.故选BCD.考点考法探究3.已知平面α和三条不同的直线m,n,l.给出下列六个论断:①m⊥α;②m∥α;③m∥l;④n⊥α;⑤n∥α;⑥n∥l.以其中两个论断作为条件,使得m∥n成立.这两个论断可以是

.

①④(或③⑥)[解析]若①m⊥α,④n⊥α,则由线面垂直的性质定理得m∥n;若③m∥l,⑥n∥l,则由平行公理得m∥n.这两个论断可以是①④(或③⑥).考点考法探究

①③考点考法探究[解析]连接BD,设AC∩BD=O,连接PO,则点M在PO上,且PO⊥平面ABCD,∵PO⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABCD.∵在正方形ABCD中,BD⊥AC,即BO⊥AC,平面