挑战压轴（解析版）-2021七上期末提优训练

-2021学年七年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）挑战压轴【典型例题】1．（2020·湖北黄石市·）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．【答案】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10（2）①当点P与点Q重合时，t+2t=15，即t=5.②当点P是线段AQ的三等分点时,AQ=15-2t或或或解得t=3或t=或t=10.【点睛】本题考查的知识点是线段的计算，解题的关键是熟练的掌握线段的计算.【专题训练】解答题1．（2020·宜兴外国语学校七年级月考）如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：（1）点D在数轴上表示的数是___，点A在数轴上表示的数是___；（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．【答案】（1）∵点C在数轴上表示的数是5，CD=6，AB=2，BC=13，∴点D在数轴上表示的数是11，点B在数轴上表示的数是﹣8，点A在数轴上表示的数是﹣10；（2）B运动到CD上时，走过的路程为2t，减去BC的距离即为此时BC的长度，故：2t-13=3，解得：t=8；（3）由题意得，线段CD的中点P的位置为8，分三种情况讨论：①当点P在点B右侧2个单位时，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；②当点P在点B左侧2个单位时，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此时P与A重合；③当点P在点A左侧2个单位时，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；综上，当t=2.8或3.6或4时，点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．2．（2018·浙江七年级月考）已知：如图1，点、、依次在度线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿进时针方向以每秒的速度前转，如图2，设旋转时间为（0秒≤≤60秒）．（1）用含的代数式表示下列各角的度数：______，______．（2）在运动过程中，当0秒秒时，达到，求的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线．射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∠MOA=3t，∠NOB=6t或360-6t，故答案为：3t，6t或360-6t；

（2）若OA，OB相遇前，∠AOB=45°，

∴3t+6t+45°=180°，

∴t=15s

若OA，OB相遇后，∠AOB=45°，

∴3t+6t-45°=180°，

∴t=25s

∴t为15秒或25秒时，∠AOB=45°；（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：

①OB平分∠AOM时，∵，∴，解得：t=24；

②OB平分∠MON时，∵，即∠BOM=90°，∴6t=90，或6t-180=90，

解得：t=15，或t=45；③OB平分∠AON时，∵，∴，解得：t=12；

综上，当t的值分别为12、15、24、45秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，一元一次方程的应用．OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点．3．（2020·江苏南京市·七年级期中）（概念提出）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n（n≥1），则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点．（初步思考）（1）如图，C是点A、B的阶伴侣点；（2）若数轴上两点M、N分别表示－1和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数为；（深入探索）（3）若数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且点C是点A、B的n阶伴侣点，请直接用含a、b、n的代数式表示c．【答案】解：（1）∵O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点，∴OA=OB,OC=2OA,OC=2OB，∴AC=3BC，∴C是点A、B的3阶伴侣点；故答案是：3（2）设表示的数为x,由题意有：①|x+1|=|x-4|，解得，x=1或x=-11，②|x-4|=|x+1|，解得，x=2或x=14，综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为－11，1，2，14；（3）①当n＝1时，c＝．②当n＞1时，无论a＞b或a＜b，均有下列四种情况：点C在点A、B之间且靠近点B时，c＝a＋(b－a)；点C在点A、B之间且靠近点A时，c＝a＋(b－a)；点C在点A、B之外且靠近点B时，c＝a＋(b－a)；点C在点A、B之外且靠近点A时，c＝a－(b－a)．【点睛】本题主要考查新定义“n阶伴侣点”，解题的关键是灵活运用所学知识，结合分类讨论思想解决问题．4．（2020·长沙市雅礼实验中学七年级月考）一副直角三角板（含45°的直角三角尺和含30°，60°的直角三角尺），如图1放置（∠C=30°，∠D=45°），PA，PB与直线MN重合，且三角尺PAC，三角尺PBD均可以绕P点逆时针旋转．（1）如图1，求∠DPC的度数；（2）如图2，若三角尺PAC由图1位置绕点P逆时针以2°/秒的速度旋转，同时三角尺PBD由图1位置绕P点逆时针以1°/秒的速度旋转，旋转时间为t秒，在两个三角尺旋转过程中，当PC旋转到与PM重合时，两个三角尺都停止转动．①当t为何值时，PC平分∠DPN？②过A点作AH垂直MN于点H，在旋转过程中若∠DPM≠0，则的值是否会发生变化，若不变求其值，若变化，请说明理由．【答案】解：（1）∵∠BPD=∠D=45°，∠APC=60°，∴∠DPC=180°-45°-60°=75°，故答案为：75°；（2）①由题意可得：t秒时，∠DPM=（45-t）°，∠APN=2t°，∠CPN=（2t+60）°∴∠DPN=180°-（45-t）°=（135+t）当，PC平分∠DPN时，∴，解得t=5即t为5时，PC平分∠DPN②由题意可得：在旋转过程中，当点D在直线MN上方时，∠DPM=；当点D在直线MN下方时，∠DPM=；∴∠DPM=当∠APH≤90°时，当∠APH＞90°时，∴∴即为定值，

【点睛】此题主要考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．5．（2020·安徽合肥市·七年级期中）如图，、两点在数轴上，这两点在数轴对应的数分别为、．点、分别从，两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是个单位/秒、个单位/秒，它们运动的时间为秒，点对应的数是．（规定：数轴上两点，之间的距离记为）（1）如果点、在、之间相向运动，当它们相遇时，_____，此时点所走的路程为______，点所走的路程为______，则点对应的数是_______；（2）如果点、都向左运动，当点追上点时，求点对应的数；（3）如果点、在点、之间相向运动，当时，求点对应的数；【答案】解：（1）设经过t秒时，点P与点Q相遇，由题意得：

2t+4t=16-（-12）

∴6t=28

∴t=

∴此时点所走的路程为，点所走的路程为点P对应的数为：-12+2×=-故答案为：、、、（2）因为个单位，所以追上的时间秒，所以点对应的数为（3）当时，分两种情况：①、相遇前相距个单位，，此时点对应的数为．②、相遇后相距个单位，，此时点对应的数为综上所述，点对应的数为或．【点睛】本题综合考查了动点在数轴上的运动问题，其中涉及到了相遇行程问题，追及行程问题等知识点，具有较强的综合性．6．（2020·东北师大附中明珠学校七年级期中）如图，在正方形中，＝16，动点从点出发，沿、边向点以2的速度运动，到达点停止运动；动点从点出发沿边向点以0.5的速度运动，到达点停止运动，、同时开始运动，用（）表示移动时间．（1）请用含的代数式表示下列线段的长度：当点在上运动时，＝，＝．当点在上运动时，＝，＝．（2）当点在上运动时，为何值时，能使＝？（3）点能否追上点？如果能，求出值；如果不能，请说明理由．（4）点在上时，当为何值时，点和点的距离为2？【答案】解：由题意得：（1）当点在上运动时，当点在上运动时，如图，由由故答案为：（2）当点在上运动时，所以当时，（3）如图，当点在上运动时，当时，追上即当，点追上点．（4）当在的左边时，当在的右边时，综上：当或时，点和点的距离为2．【点睛】本题考查的是一元一次方程的几何应用，同时考查了行程问题，线段的和差，掌握利用方程解决几何问题是解题的关键．7．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学七年级月考）（阅读理解）射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．（知识运用）（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【答案】解：（1）如图，射线是OA的伴随射线，,，同理，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，,射线OC是∠AOB的平分线，,=，故答案为：（2）射线OD与OA重合时，t＝＝36（秒）①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，∴t＝20；若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，∴t＝25；所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．②相遇之前：（i）如图1，OC是OA的伴随线时，则∠AOC＝∠CO