目标突破课件：第一章 特殊平行四边形

第一章特殊平行四边形本章总结提升第一章特殊平行四边形知识结构关系重点模块总结综合能力提升平行四边形有一组邻边相等有一组邻边相等且有一个角是直角有一个角是直角菱形正方形矩形有一个角是直角有一组邻边相等特殊平行四边形知识结构关系模块1菱形的性质与判定菱形的性质与判定有哪些？它与平行四边形有何关系？你能用几种方法计算菱形的面积？重点模块总结例1如图1－T－1所示，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，与BD交于点O，连接BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．图1－T－1[解析](1)根据矩形的性质得出AD∥BC，根据OB＝OD和AD∥BC推出DM＝BN，从而得出四边形BMDN是平行四边形，进而根据MN⊥BD推出四边形BMDN是菱形．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO.∵MN是BD的垂直平分线，∴OB＝OD，BD⊥MN.在△DOM和△BON中，∵∠MDO＝∠NBO，OD＝OB，∠DOM＝∠BON，∴△DOM≌△BON，∴DM＝BN.又∵DM∥BN，∴四边形BMDN是平行四边形．又∵MN⊥BD，∴▱BMDN是菱形．例1如图1－T－1所示，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，与BD交于点O，连接BM，DN.(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．图1－T－1[解析](2)根据菱形的性质求出MD＝MB，在Rt△AMB中，根据勾股定理列方程求解．解：(2)∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD.设MD＝x，则MB＝MD＝x，AM＝8－x.在Rt△AMB中，MB2＝AM2＋AB2，即x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，即MD的长为5.模块2矩形的性质与判定矩形的性质与判定有哪些？它与平行四边形有何关系？矩形与菱形有何异同点？利用矩形对角线的性质可得到直角三角形的哪个性质？例2如图1－T－2所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折得到△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD相交于点G.(1)求证：AP＝DG；(2)求线段CG的长．图1－T－2解：

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.根据题意，得△ABP≌△EBP，∴AP＝EP，∠A＝∠E＝90°，AB＝BE＝8.在△ODP和△OEG中，∵∠D＝∠E，OD＝OE，∠DOP＝∠EOG，∴△ODP≌△OEG(ASA)，∴OP＝OG，PD＝GE，∴OD＋OG＝OE＋OP，即DG＝EP，∴AP＝DG.例2如图1－T－2所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折得到△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD相交于点G.(2)求线段CG的长．图1－T－2解：

(2)设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.在Rt△BCG中，根据勾股定理，得BC2＋CG2＝BG2，即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴CG＝8－4.8＝3.2.【归纳总结】解决矩形中折叠问题的关键点：(1)抓住折叠的本质：①折起部分与重合部分是全等的；②利用轴对称的性质(对称轴垂直平分对应点所连线段)．(2)找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系．(3)结合三角形全等、勾股定理等知识，设出恰当的未知数，列出方程求解．例3如图1－T－3，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，求四边形EFGH的面积．图1－T－3例3如图1－T－3，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H.(2)若AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，求四边形EFGH的面积．图1－T－3例4如图1－T－4，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF.(1)求证：AE＝EF；(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．图1－T－3例4如图1－T－4，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF.(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．图1－T－3解：(2)∵AE是Rt△ABD的斜边BD上的中线，∴AE＝DE，∴∠ADB＝∠DAE，∴∠AEB＝2∠ADB＝2α.∵EF是△BCD的中位线，∴EF∥DC，∴∠FEB＝∠CDB＝β.由(1)知AE＝EF，又AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，即∠AEF＝∠AEB＋∠FEB＝2α＋β＝60°，∴2α＋β＝60°.模块3正方形的性质与判定正方形的性质与判定有哪些？四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有怎样的关系？例5如图1－T－5，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF.(1)若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；(2)若DG＝6，求△FCG的面积．图1－T－3[解析]

(1)通过证明Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG＝∠AEH，从而得到∠GHE＝90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形；解：(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG＝EH.∵AH＝2，DG＝2，∴DG＝AH.在Rt△DHG和Rt△AEH中，∵HG＝EH，DG＝AH，∴Rt△DHG≌Rt△AEH，∴∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.又∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形．例5如图1－T－5，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF.(2)若DG＝6，求△FCG的面积．图1－T－3[解析](2)过点F作FQ⊥CD于点Q，连接GE，利用AB∥CD得到∠AEG＝∠QGE，再根据菱形的性质得HE＝FG，HE∥FG，则∠HEG＝∠FGE，所以∠AEH＝∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到AH＝QF＝2，然后根据三角形面积公式求解．【归纳总结】正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形只需要保证它既是矩形又是菱形即可．例6如图1－T－6①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B，C，F在同一条直线上，M是线段AE的中点，连接DM，FM.(1)求证：DM⊥FM，DM＝FM；(2)如图1－T－6②，若将“正方形ABCD和正方形CGEF”改为“菱形ABCD和菱形CGEF”，且∠BCD＝∠G＝120°，其他条件不变，则DM和FM又有怎样的位置关系和数量关系？直接写出结论．图1－T－6综合能力提升解：(1)证明：如图，延长DM交GE于点N，连接DF，NF.∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∴∠DAM＝∠NEM.∵M是AE的中点，∴AM＝EM.又∵∠AMD＝∠EMN，∴△MAD≌△MEN，∴DM＝NM，AD＝EN.∵AD＝CD，∴CD＝EN.又∵CF＝EF，∠FCD＝∠FEN＝90°，∴△DCF≌△NEF，∴∠CFD＝∠EFN，DF＝NF.∵DM＝NM，∴FM平分∠DFN，且DM⊥FM.∵∠EFN＋∠CFN＝90°，∴∠CFD＋∠CFN＝90°，即∠DFN＝90°.∵DM＝NM，∴FM是Rt△DFN斜边上的中线，