第4讲机器人微分运动学课件

第四讲机器人微分运动学

(DifferentialKinematics)

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上一讲讨论的是机械臂末端位置和姿态与关节变量之间的关系。称为位置运动学。本讲目的

介绍机器人运动输入－输出的速度本讲主要内容(1)本讲讨论机械臂末端速度、加速度与关节速度、加速度之间的关系。称为微分运动学。(2)斜对称矩阵、微分算子、微分运动及其坐标变换；(3)雅克比矩阵(Jacobian)（5S）；(4)雅克比矩阵的求法。4.1刚体运动与微分运动的变换刚体上任意一点P的速度＝固连坐标系的平动速度＋该点P绕固连坐标系的转动速度。

其中，因此，设：则：相对速度牵连速度可表示为齐次坐标形式：微分算子称为微分算子。

斜对称矩阵(SkewSymmetricMatrix)斜对称矩阵(SkewSymmetricMatrix)定义：nxn矩阵S被称为斜对称矩阵，当且仅当(iff)满足注：一般地，把所有3x3的斜对称矩阵表示为:so(3)SSM的性质：S(k1a+k2b)=k1S(a)+k2S(b)S(a)p=axpRS(a)RT=S(Ra)XTSX=0定义六维列矢量：

称为刚体的广义速度矢量，它能完整地刻画任意刚体在三维空间中的运动。若用差分代替微分，则上式可写为

称为微分运动矢量。微分运动矢量D在不同坐标系中的表示是不一样的，在一个坐标系中的微分运动给定之后，如何求出在另一坐标系中的微分运动？

微分运动的坐标变换根据前面齐次变换的学习知道，任意坐标系{T}在参考系中的表示为：

则T与微分算子的积为

根据矢量差积的关系有:即代表坐标系{T}在参考系中的微分运动。

若令表示坐标系{T}在自身坐标系下的微分算子,则同样表示坐标系{T}在参考系中的微分运动，因此即：根据差积的性质：（1）（2）则得到：根据矢量的正交性和规一化，即得到：另一方面，的定义为

得到：即建立起了微分运动在不同坐标系间的变换关系。

以上推导过程和结论对机器人的速度分析，静力学分析，动力学分析都是非常重要的。4.2机器人的速度正运动学方程例：Planar2Rrobot这里我们感兴趣的是机械臂在当前位置的微小运动,它可以通过微分的运动学方程来决定.写成向量形式：其中，矩阵J称为机械臂的雅可比(Jacobian)矩阵雅克比矩阵(JacobianMatrix)根据运动学方程,可以得到平面二连杆机器人的雅可比矩阵J为：

可以看出,雅可比矩阵也是关节角变量的函数,同样随机器人的位形变化而变化.

一般情况下,雅可比矩阵可以看成是矢量对矢量的导数,如在上面的例子中：

如果有如下所示的n个独立变量的函数

雅可比矩阵的第i列表示的是机械臂第i个关节速度对机械臂末端速度的贡献两边求导有：写成矩阵的形式有：其中，即雅克比矩阵对于机器人,雅可比矩阵建立关节速度与手抓速度之间的关系

设机器人有n个关节,则雅可比矩阵：建立机器人的雅可比矩阵是进行系统运动学分析的基础,也贯穿于整个机器人学!!!4.3机器人操作臂雅可比矩阵建立的方法（1）方法一——矢量积法

移动关节的运动，它在末端抓手上产生与轴相同方向的线速度，且

因此得到雅可比矩阵第列为：（移动关节）Zi表示i坐标系Z轴单位矢量在基础参考系中的表示。对于转动关节的运动，它在终端抓手上产生的角速度为

同时在末端抓手上产生的线速度为矢量积：因此雅可比矩阵的第列为

（转动关节）（2）方法二——微分变换法对于转动关节,其微分运动矢量为，

利用微分变换式线微分运动角微分运动得到关节i对抓手微分运动的贡献为：若关节是移动关节，则

利用微分变换式同样有：即得到关节i对末端抓手运动的贡献。作业2－2：设机器人的关节1轴线垂直于地面，关节2和关节3的轴线平行，并与关节1的轴线相垂直。关节1与关节2的轴线正交，连杆1与连杆2之间无偏距。求该操作臂末端的位置雅可比矩阵。

作业2-2图

DifferentialKinematics(2)本讲重要概念：雅克比矩阵(JacobianMatrix)(5S)

运动学奇异(Singularity)(5S)

冗余度(Redundancy)(4S)

零空间(NullSpace)(4S)

自运动(Self-motion)(4S)

可操作性(Manipulability)(5S)4.4逆运动学速度方程

设机械臂的运动学方程为：机械臂末端速度机械臂雅可比矩阵机械臂关节速度给定机械臂末端期望速度，求解各关节速度的问题称机器人的逆运动学问题。当J为方阵，且满秩时：机械臂的位形是不断变化的,而机器人的雅可比矩阵是机器人关节变量的函数,因此有可能发生雅可比矩阵降秩的情况,即机械臂发生运动学“奇异”。例：以平面二连杆机械臂进行分析：运动学奇异或时机械臂发生运动奇异。因因此两杆重合两杆伸直关节速度变化曲线

从图中可以看出,在接近奇异点A和D时,两个关节的速度都很大.它说明了沿径向OA和OD产生末端速度,需要两个关节都具有很大的速度.在BC之间,由于手臂必须在这个范围迅速转动,所以第一关节的速度很大.这个范围中由于已接近J的奇异点,即使存在,求出的关节速度也将是很大的.4.5冗余度机械臂运动学逆问题机械臂的运动学方程为：当机械臂相对于末端操作任务具有多余关节时，此时称机械臂具有冗余自由度。此时（n>m）机械臂末端速度与关节速度之间的映射如下：冗余度机械臂发生在雅可比零空间的运动不影响机械臂末端的运动。值空间、零空间当机械臂的雅可比矩阵不是方阵时，如何解决逆运动学问题？对于冗余度机器人,给定手抓速度,有无穷多组关节速度的解.通过使某种性能指标最优,可以获得一组确定的解.

下面利用拉各朗日乘子法来解决这一问题：设给定关节速度的二次型目标函数为：其中，为加权矩阵，问题是：给定机械臂末端期望速度，决定各关节速度并使上式取最小值。建立新的广义目标函数：该函数的极值应满足：得到：假定J为满秩矩阵,因此

当加权矩阵W=I时

雅可比矩阵的伪逆

可逆以上讨论了根据手抓速度求解关节速度的一般方法,最后归结为计算雅可比矩阵的逆或伪逆.但是求解矩阵的逆矩阵需要进行大量的复杂计算,在实际计算中,一般尽量避免矩阵求逆的计算.

实际上根据微分运动学方程可以通过解线性方程组的方法由解出,解线性方程组的办法比矩阵求逆计算要简单一些,但是计算量依然很大,他们都难以实时计算，因此高速实时计算方法也是机器人学研究的重要内容。4.6冗余度机械臂运动学优化1.自运动冗余度机械臂的逆运动学一般解为：最小二乘解J阵零空间运动自由矢量自运动放大系数自运动自运动、运动学优化、优化指标Y(m)平面三自由度机械臂的自运动2.避障运动目标函数：机械臂与障碍物之间的距离障碍物特征点或在线最优运动优化：最快下降——梯度法自运动的证明障碍物初始位形3自由度平面机械臂的避障运动优化3.可操作度

矩阵J的奇异值分解为

同样是关节变量的函数可操作度：平面3连杆机械臂避关节角极限运动优化4.灵巧度雅克比矩阵的奇异值：定义机械臂的灵巧度：4.7补充材料

——并联机器人运动学问题六自由度并联机器人——虚轴机床三分支平面并联机器人四分支平面并联机器人4.8多腿移动机器人四足步行机器人四足步行机器人3D模型结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的