2024-2025学年高中数学习题课三圆锥曲线与方程北师大版选修2-1

PAGE1-1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相互垂直，则该双曲线的离心率是()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)解析：选C由题可知y＝eq\f(b,a)x与y＝－eq\f(b,a)x相互垂直，可得－eq\f(b,a)·eq\f(b,a)＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝2，e＝eq\r(2).2．已知F是抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－eq\f(1,16)C．x2＝y－eq\f(1,2) D．x2＝2y－2解析：选A焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p2＝4q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝eq\f(p,2)，y＝eq\f(q＋1,2)，即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1.3．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1交于A，B两点，且|AB|＝8eq\r(2)，则实数k的值为()A．±eq\r(7) B．±eq\r(3)或±eq\f(\r(41),3)C．±eq\r(3) D．±eq\f(\r(41),3)解析：选B由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－eq\f(y2,4)＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k,4－k2)，x1x2＝－eq\f(5,4－k2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,4－k2)))2＋\f(20,4－k2))＝8eq\r(2)，解得k＝±eq\r(3)或±eq\f(\r(41),3).4.我们把由半椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(x≥0)与半椭圆eq\f(y2,b2)＋eq\f(x2,c2)＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A.eq\f(\r(7),2)，1 B.eq\r(3)，1C．5,3 D．5,4解析：选A∵|OF2|＝eq\r(b2－c2)＝eq\f(1,2)，|OF0|＝c＝eq\r(3)|OF2|＝eq\f(\r(3),2)，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋eq\f(3,4)＝eq\f(7,4)，得a＝eq\f(\r(7),2).5.如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在其次、四象限的公共点．其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)解析：选D焦点F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|AF1|2＋|AF2|2＝12，所以可解得|AF2|－|AF1|＝2eq\r(2)，故a＝eq\r(2)，所以双曲线的离心率e＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2)，选D.6．若过点A(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与椭圆E：eq\f(x2,2)＋y2＝1都只有一个交点，且l1⊥l2，则h的值为()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C．2 D.eq\r(6)解析：选A由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0.设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－eq\f(1,k)x＋h，将l1：y＝kx＋h代入eq\f(x2,2)＋y2＝1得eq\f(x2,2)＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，由l1与椭圆E只有一个交点知Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，即1＋2k2＝h2.同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1＋eq\f(2,k2)＝h2，得eq\f(1,k2)＝k2，即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝eq\r(3).7．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为eq\r(5)，则双曲线的方程为____________．解析：因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为eq\r(5)，可得eq\f(c,a)＝eq\r(5)，c＝2eq\r(5)，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(20－4)＝4，则双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝18．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y＝x2上的点到直线AB的最短距离为________．解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y＝x2上的点P(t，t2)，d＝eq\f(|2t－t2－4|,\r(5))＝eq\f(t2－2t＋4,\r(5))＝eq\f(t－12＋3,\r(5))≥eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5).答案：eq\f(3\r(5),5)9．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2eq\r(2)，所以N(0,4eq\r(2))，|FN|＝eq\r(4＋32)＝6.法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝eq\f(1,2)|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案：610．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，若它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4eq\r(2)y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆C上位于直线x＝2两侧的动点．若直线AB的斜率为eq\f(1,2)，求四边形APBQ面积的最大值．解：(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵抛物线x2＝4eq\r(2)y的焦点是(0，eq\r(2))，∴b＝eq\r(2).由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，a2＝b2＋c2，得a＝2eq\r(2)，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x＋t，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，,y＝\f(1,2)x＋t，))得x2＋2tx＋2t2－4＝0，则x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.在eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1中，令x＝2，得P(2,1)，Q(2，－1)．∴四边形APBQ的面积S＝S△APQ＋S△BPQ＝eq\f(1,2)|PQ|·|x2－x1|＝eq\f(1,2)×2×|x2－x1|＝|x2－x1|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(4t2－42t2－4)＝eq\r(－4t2＋16).∴当t＝0时，Smax＝4.∴四边形APBQ面积的最大值为4.11．(2024·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝－4y))消去y，得x2＋4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝eq\f(y1,x1)x.令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－eq\f(x1,y1).同理得点B的横坐标xB＝－eq\f(x2,y2).设点D(0，n)，则eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x1,y1)，－1－n))，eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x2,y2)，－1－n))，eq\o(DA,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(x1x2,y1y2)＋(n＋1)2＝eq\f(x1x2,\b\lc\(\rc\)(