2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.3平面向量线性运算的应用应用案巩固提升新人教B版必修第二册

PAGE1-6.3平面对量线性运算的应用[A基础达标]1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人的实际速度为()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：选B.由向量的加法法则可得人的实际速度为v1＋v2.留意速度是有方向和大小的，是一个向量．2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：选D.由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°.3．河水的流速为5m/s，一艘小船想以12m/s的速度沿垂直河岸方向驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A．13m/s B．12m/sC．17m/s D．15m/s解析：选A.设小船的静水速度为v1，河水的流速为v2，静水速度与河水速度的合速度为v，为了使航向垂直河岸，船头必需斜向上游方向，即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，即静水速度|v1|＝eq\r(|v|2＋|v2|2)＝eq\r(122＋52)＝13(m/s)．4．已知四边形ABCD各顶点坐标是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－2))，则四边形ABCD是()A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形解析：选A.因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3，4)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，即AB∥DC.又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋\f(64,9))＝eq\f(10,3)，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝eq\r(9＋16)＝5，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(DC,\s\up6(→))|，所以四边形ABCD是梯形．5．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝10，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：106．如图，设P为△ABC内一点，且2eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABP∶S△ABC＝________．解析：设AB的中点是D.因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以P为CD的五等分点，所以△ABP的面积为△ABC的面积的eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量求和的平行四边形法则及直角三角形的学问可知，|v2|＝|v0|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(m/s)，即该物体在水平方向上的速度是5m/s.答案：58．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝eq\f(1,4)AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．证明：设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－a＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝b－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．9.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)试以a，b为基底表示eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))；(2)求证：A，G，C三点共线．解：(1)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b.(2)证明：因为D，G，F三点共线，则eq\o(DG,\s\up6(→))＝λeq\o(DF,\s\up6(→))，即eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λa＋(1－λ)b.因为B，G，E三点共线，则eq\o(BG,\s\up6(→))＝μeq\o(BE,\s\up6(→))，即eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BE,\s\up6(→))＝(1－μ)a＋eq\f(1,2)μb，由平面对量基本定理知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＝1－μ，,1－λ＝\f(1,2)μ，))解得λ＝μ＝eq\f(2,3)，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以A，G，C三点共线．[B实力提升]10．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(S△ABD,S△ABC)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,2)解析：选D.如图所示，由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))得，点D在平行于AB边的中位线上，所以eq\f(S△ABD,S△ABC)＝eq\f(1,2).11．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为________J.解析：所做的功W＝60×50×cos30°＝1500eq\r(3)(J)．答案：1500eq\r(3)12．已知点A(eq\r(3)，1)，B(0，0)，C(eq\r(3)，0)，∠BAC的平分线AE与BC相交于点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此时有\f(|\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|)＝\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)))，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，其中λ等于______．解析：由eq\f(|\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝2，得|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CE,\s\up6(→))|(如图)．从而|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(CE,\s\up6(→))|，又eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CE,\s\up6(→))方向相反，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CE,\s\up6(→))，所以λ＝－3.答案：－313.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是________．(写出正确说法的全部序号)①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，则|F|cosθ＝|f|，所以|F|＝eq\f(|f|,cosθ).因为θ增大，cosθ减小，所以|F|增大．因为|F|sinθ增大，所以船的浮力减小．答案：①③[C拓展探究]14．如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.解：设eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋e