专题4 极值点偏移六脉神剑之“少商剑”（教师版）-极值点偏移专题

极值点偏移六脉神剑之“少商剑”少商剑——右手大拇指-手太阴肺经。特点：剑路雄劲，颇有石破天惊，风雨大至之势。纵观近几年与极值点偏移相关的考题，大多以含参数为主，攻克此类问题，能让考生在成为高手中的高手，所向披靡。含参数的极值点偏移问题，是在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。对点详析，利器显锋芒★已知函数（Ⅰ）若函数fx存在最小值，且最小值大于0，求实数a（Ⅱ）若存在实数x1,x2，使得fx【答案】(Ⅰ)0,1(Ⅱ)详见解析【解析】（Ⅰ）f′（x）=(2x+1)(x−a)①a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）递增，故无最小值；②a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞a，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，此时f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），则g（a）在（0，+∞）递减，又g（1）＝0，∴0＜a＜1时，g（a）＞0，此时f（x）min＞0，a≥1时，g（a）≤0，此时f（x）min≤0，故a的范围是（0，1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），则a＞0，∵f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a，令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），则h′（x）=2(x−a)∴x∈（0，a）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，a）递减，∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，∴f（x1）＞f（2a﹣x1），∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）＞f（2a﹣x1），∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，∵f（x）在（a，+∞）递增，∴x2＞2a﹣x1，∴a，∴函数f（x）在区间[x1∵x1≠x2，∴，∴函数f（x）在区间[x1★已知函数.（1）当时，求函数在的单调性；（2）当且时，，求函数在上的最小值；（3）当时，有两个零点，，且，求证：.【答案】（1）在上单调递增（2）（3）证明见解析【解析】（1）由题意，函数，则，又∵，∴，，∴，∴在上单调递增.（2）由，则，（1）当时，，，此时图数在区间上单调递减，∴函数在处取得最小值，即；（2）当时，令，当时，即当，，，此时函数在区间上单调递减，函数在处取得最小值，即；综上所得.（3）证明：根据题意，，∵，是函数的两个零点，∴，.两式相减，可得，即，∴，则，.令，，则.记，，则.又∵，∴恒成立，故，即.可得，∴.内练精气神，外练手眼身★已知函数，.（1）讨论ℎx（2）若函数fx=ℎx鈭抔x的图象与直线交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0【答案】（1）答案见解析；（2）见解析.【解析】（1）定义域(0,+鈭?ℎ'①当a2=1，即a=2时，ℎ'(x)>0，故②当a2>1，即a>2时，在上ℎ'(x)>0；在(1,故ℎ(x)在(0,1)和(a③当0<a2<1，即0<a<2时，在上ℎ'(x)>0；在故在0,a2和上为增函数；在(④当，即a鈮?时，在(0,1)上ℎ'(x)<0；在(1,+鈭?故在(1,+鈭?上为增函数；在(0,1（2）因为f(x)=ℎ(x)−g(x)=lnx+(2−a)x−a所以f当a鈮?时，f'(x)>0，y=f(x)在当a>0时，令f'(x)>0，则0<x<1a；令故y=f(x)在(0,1a)不妨设Ax1,m，B要证f'(x0)<0，需证a即证x2>2a−即证fx2故只需证f即证：当0<x<1a时，设F则F所以Fx=f2又因为F1a=f★已知函数有两个不同的零点，求证：.不妨设，记，则，因此只要证明：，再次换元令，即证构造新函数，求导，得在上递增，学*科网所以，因此原不等式获证.★已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：不妨设，∵，∴，∴，欲证明，即证.∵，∴即证，∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：设，则，反解出：，学*科网故，转化成法二，下同，略.★.已知是函数的两个零点，且.（1）求证：；

（2）求证：.要证：，即证：，等价于，也即，等价于，令等价于，也等价于，等价于即证：令，则，又令，得，∴在单调递减，，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.学*科网★已知函数，若存在，使，求证：.再证：.∵，而，∴.证毕.★设函数的图像与轴交于两点，（1）证明：；（2）求证：.（2）证明：由，易知且，从而，令，则，由于，下面只要证明：，结合对数函数的图像可知，只需证：两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可，又因为，即证：，令，则，∴在上单调递减，∴，学*科网∴原不等式成立.★设函数，其图像在点处切线的斜率为.当时，令，设是方程的两个根，是的等差中项，求证：(为函数的导函数）.★设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：【解析】∵，又依题意，得在定义域上单调递增，所以要证，只需证，即……不妨设，注意到，由函数单调性知，有，学*科网构造函数，则，当时，，即单调递减，当时，，从而不等式式成立，故原不等式成立.★已知函数.（1）若，求函数在上的零点个数；（2）若有两零点（），求证：.【点评】1.方程的变形方向：①是函数的两个零点，1是该函数的极值点.②是函数的两个零点，是该函数的极值点.2.难点的证明依赖利用放缩.★已知.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）设a>0，证明：当0<x<a时，f(a+x)<f(a−x)；（Ⅲ）设x1,x2是【答案】（Ⅰ）f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+鈭?/m:t>)上单调递增；（Ⅱ）当0<x<a时，f(a+x)<f(a鈭抶)；（Ⅲ）证明过程见解析（Ⅱ）令g(x)=f(a+x)−f(a−x)，则g(x)=1=2x−aln求导数，得g'当时0<x<a，g'(x)<0，鈭磄(x)在而g(0)=0，鈭磄(x)<g(0)=0，故当0<x<a时，f(a+x)<f(a−x)（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当a鈮?时，函数y=f(x)至多有一个零点，故a>0，从而f(x)的最小值为f(a)，且f(a)<0，不妨设0<x1<x2由（Ⅱ）得f(2a−x从而x2>2a−x由（Ⅰ）知，f'(★已知函数（）.（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若，证明：.【答案】（1）（2）见解析由题设得.又，∴.不妨设，，则，则.令，则，所以在上单调递增，所以，学*科网故.又因为，因此，即.又由知在上单调递减，所以，即.★已知函数，．（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；（Ⅱ）设，其中为非零实数，有两个极值点，且，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：．【答案】（1）（2）见解析∴，解得∴切线的斜率为，∴切线方程为（Ⅱ），当时，即时，，在上单调递增；当时，由得，，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，由得，，在上单调递减，在上单调递增．当时，有两个极值点，即，，即的范围是点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放