2025年南外杯初中竞赛数学卷

2025年南外杯初中竞赛数学卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：初三年级试卷标题：2025年南外杯初中竞赛数学卷一、选择题（共10题，每题5分）要求：从四个选项中选择一个正确答案。1.已知方程$x^2-2ax+a^2-1=0$的两个根互为相反数，则$a$的值为（）。

A.$1$

B.$-1$

C.$2$

D.$0$2.若$m$、$n$是方程$x^2-3x+2=0$的两个根，则$m+n$的值为（）。

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于$y$轴的对称点为（）。

A.$(-2,3)$

B.$(2,-3)$

C.$(-2,-3)$

D.$(2,3)$4.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=12$，$S_5=30$，则$S_8$的值为（）。

A.$60$

B.$72$

C.$84$

D.$96$5.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cosA$的值为（）。

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{2}{3}$

C.$\frac{3}{4}$

D.$\frac{4}{5}$6.若$x^2-4x+3=0$，则$x^2-16x+48=0$的两个根是（）。

A.$2$和$24$

B.$-2$和$-24$

C.$4$和$12$

D.$-4$和$-12$7.若$x^2+px+q=0$的两个根为$-2$和$3$，则$p$和$q$的值分别为（）。

A.$p=-1$，$q=-6$

B.$p=-5$，$q=-6$

C.$p=-1$，$q=-2$

D.$p=-5$，$q=-2$8.若$a$、$b$是方程$x^2-4x+3=0$的两个根，则$a^2+b^2$的值为（）。

A.$7$

B.$8$

C.$9$

D.$10$9.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于原点的对称点为（）。

A.$(-2,-3)$

B.$(2,-3)$

C.$(-2,3)$

D.$(2,3)$10.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$的值为（）。

A.$a_1+(n-1)d$

B.$a_1-d+(n-1)d$

C.$a_1+d+(n-1)d$

D.$a_1-d-(n-1)d$二、填空题（共10题，每题5分）要求：将答案填入空格内。1.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=12$，$S_5=30$，则$S_8$的值为__________。2.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于$y$轴的对称点为__________。3.若$x^2-4x+3=0$，则$x^2-16x+48=0$的两个根是__________。4.若$a$、$b$是方程$x^2-4x+3=0$的两个根，则$a^2+b^2$的值为__________。5.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于原点的对称点为__________。6.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$的值为__________。7.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cosA$的值为__________。8.若$m$、$n$是方程$x^2-3x+2=0$的两个根，则$m+n$的值为__________。9.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\sinB$的值为__________。10.若$m$、$n$是方程$x^2-2ax+a^2-1=0$的两个根，则$m+n$的值为__________。三、解答题（共30分）要求：写出解题步骤和答案。1.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=12$，$S_5=30$，求$S_8$。2.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于$y$轴的对称点为$B$，求$B$的坐标。3.若$x^2-4x+3=0$，求$x^2-16x+48=0$的两个根。4.若$a$、$b$是方程$x^2-4x+3=0$的两个根，求$a^2+b^2$。5.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于原点的对称点为$B$，求$B$的坐标。6.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，求第$n$项$a_n$。7.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\cosA$。8.若$m$、$n$是方程$x^2-3x+2=0$的两个根，求$m+n$。9.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\sinB$。10.若$m$、$n$是方程$x^2-2ax+a^2-1=0$的两个根，求$m+n$。本次试卷答案如下：一、选择题答案及解析：1.B。因为两个根互为相反数，所以$x_1=-x_2$，根据韦达定理，$x_1+x_2=2a$，所以$-x_2+x_2=2a$，解得$a=0$。2.C。根据韦达定理，$m+n=3$。3.A。关于$y$轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变。4.C。由等差数列的性质，$S_5-S_3=2a_4$，$S_8-S_5=2a_6$，解得$a_4=6$，$a_6=12$，所以$S_8=S_5+2a_6=30+24=54$。5.D。根据勾股定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{16+25-9}{40}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$。6.A。根据韦达定理，$x_1\timesx_2=\frac{c}{a}=\frac{48}{1}=48$，所以$x_1$和$x_2$分别为$2$和$24$。7.B。根据韦达定理，$x_1+x_2=4$，$x_1\timesx_2=3$，所以$p=-(x_1+x_2)=-4$，$q=x_1\timesx_2=3$。8.A。根据韦达定理，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\times3=16-6=10$。9.A。关于原点对称，横纵坐标都取相反数。10.A。根据等差数列的性质，$a_n=a_1+(n-1)d$。二、填空题答案及解析：1.54。由等差数列的性质，$S_5-S_3=2a_4$，$S_8-S_5=2a_6$，解得$a_4=6$，$a_6=12$，所以$S_8=S_5+2a_6=30+24=54$。2.(-2,3)。关于$y$轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变。3.2和24。根据韦达定理，$x_1\timesx_2=\frac{c}{a}=\frac{48}{1}=48$，所以$x_1$和$x_2$分别为$2$和$24$。4.10。根据韦达定理，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\times3=16-6=10$。5.(-2,-3)。关于原点对称，横纵坐标都取相反数。6.$a_1+(n-1)d$。根据等差数列的性质，$a_n=a_1+(n-1)d$。7.$\frac{4}{5}$。根据勾股定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{16+25-9}{40}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$。8.3。根据韦达定理，$m+n=3$。9.$\frac{3}{5}$。根据勾股定理，$\sinB=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$。10.0。因为$m$、$n$是方程$x^2-2ax+a^2-1=0$的两个根，所以$m+n=2a$，$m\timesn=a^2-1$，由于$m$和$n$互为相反数，所以$m+n=0$。三、解答题答案及解析：1.$S_8=54$。由等差数列的性质，$S_5-S_3=2a_4$，$S_8-S_5=2a_6$，解得$a_4=6$，$a_6=12$，所以$S_8=S_5+2a_6=30+24=54$。2.$B(-2,3)$。关于$y$轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变。3.$x_1=2$，$x_2=24$。根据韦达定理，$x_1\timesx_2=\frac{c}{a}=\frac{48}{1}=48$，所以$x_1$和$x_2$分别为$2$和$24$。4.$a^2+b^2=10$。根据韦达定理，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\times3=16-6=10$。5.$B(-2,-3)$。关于原点对称，横纵坐标都取相反数。6.$a_n=a_1+(n-1)d$。根据等差数列的性质，$a_n=a_1+(n-1)d$。7.$\cosA=\frac{4}{5}$。根据勾股定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\fr