山东省潍坊市昌乐县2023-2024学年高三上学期1月模拟预测数学试题（含答案）

山东省潍坊市昌乐县2023-2024学年高三上学期1月模拟预测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题。每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足1+iz=1−i，则A．22 B．2 C．2 2．若全集U=R，集合A={x∈Z|x2<16}，A．{1，2，3} B．{2，3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}3．已知向量OA=(3A．15 B．−35 C．−34．函数f(x)=lnA． B．C． D．5．“a<−1”是“∃xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．若log3(2a+b)=1+A．6 B．83 C．3 D．7．已知圆C：x2A．2 B．53 C．52 8．定义在R上函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞)有f(A．[12e，1+C．[1e，2+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ab>0，bc−ad>0，则cC．若a>b，c>d，则a−d>b−cD．若a>b，c>d>0，则a10．已知函数f(x)=sin(3x+φ)(−πA．函数f(x+πB．函数f(x)在[πC．若|f(x1)−f(xD．函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=−11．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N(μ1A．甲类水果的平均质量μB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ12．如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x。现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，CA折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P－ABC。现有以下结论：（）A．AP⊥平面PBCB．当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为6πC．x的取值范围为(0，4－22)D．三棱锥P－ABC体积的最大值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯．14．从分别标有，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是．15．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=，|NF|916．设函数f(x)在定义域(0，+∞)上是单调函数，∀x∈(0，+∞)，f[f(x)−ex+x]=e四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f(x)=logk（1）在下列条件中选择一个使数列{a①数列{f(an)}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f(an)}是首项为4，公差为（2）设anbn=2n+14n218．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2a，5csin（1）求角B；（2）如图所示，BD平分∠ABC，且∠DAB=45°，BC=4，求△BCD的面积。19．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，点E在AD上，且AE＝2ED.（1）已知点F在BC上，且CF＝2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；（2）当二面角A－PB－E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？20．某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n=1与n=2之中选其一，应选用哪个?(实际获利=生产线创造利润－维修工人工资)21．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e满足2e2（1）求椭圆E的方程；（2）证明：SΔBOM22．已知函数f(x)=e（1）当a>0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)≤1；（2）若函数h(x)=f(x)−12x证明：h(x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为1+iz=1−i，所以z=1+i1−i=1+i21−i1+i=2i2．【答案】B【解析】【解答】由题意知全集U=R，由A={x∈Z|x2<16}，所以A=-3，-2，-1，0，1，2，3，

因为B={x|x−1≤0}，即B={x|x≤1}，所以∁UB={x|x>1}，所以A∩3．【答案】C【解析】【解答】由题意，AB→=OB→-OA→=3，1，因为AB→//OC→4．【答案】A【解析】【解答】对B：由f(x)=ln|x|x3，定义域为x|x≠0，又因为f-x=ln-x-x3=-lnxx3=-fx，所以fx为奇函数，故B错误；

对C：当0<x<1，lnx<0，x35．【答案】A【解析】【解答】充分性：令x0=π2，当a<-1时，asinx0+1<0成立；

必要性：设fx=asinx+1，当a>0时，fx∈1-a，1+a，所以1-a<0，即a>1，

当a<0时，fx∈1+a，1-a，所以1+a<0，即6．【答案】C【解析】【解答】因为log3(2a+b)=1+log3ab=1+log3ab=log33ab，所以2a+b=3ab，且a>0，b>0，所以1a+2b=37．【答案】C【解析】【解答】由双曲线y2a2−x2b2=1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y=abx，即ax-by=0，又因为圆C：x2+y2−10x+21=0，可得圆心为C5，0，半径r=28．【答案】B【解析】【解答】结合题意可知f(x)为偶函数，且在[0，+∞)单调递减，故f(2mx−lnx−3)≥2f(3)−f(−2mx+lnx+3)可以转换为f(2mx−lnx−3)≥f(3)对应于x∈[1，3]恒成立，即|2mx−lnx−3|≤3即0≤2mx−lnx≤6对x∈[1，3]恒成立即2m≥lnxx且2m≤令g(x)=lnxx，则g'(x)=1−lnx所以g令h(x)=6+lnxx，h'(x)=所以h(x)min=故答案为：B.

【分析】先由已知把所求转化为0≤2mx−lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，再求导并利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出实数m的取值范围.9．【答案】B,C【解析】【解答】解：若a>0>b，0>c>d，则ac<bd，故A错；若ab>0，bc−ad>0，则bc−adab>0，化简得若c>d，则−d>−c，又a>b，则a−d>b−c，故C对；若a=−1，b=−2，c=2，d=1，则ad=−1，bc故选：BC．【分析】根据不等式的性质判断即可．10．【答案】A,C【解析】【解答】因为直线x=π4是所以3×π4+φ=当k=0时，φ=−π4，则对于A，f(x+π12)=sin[3(x+对于B，−π2+2kπ<3x−π4<π2+2kπ(k∈Z)对于C，若|f(x1)−f(x2对于D，函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度，即sin故答案为：AC

【分析】首先根据题意求得f（x）的解析式。对于A，f(x+π12)=sin3x11．【答案】A,B,C【解析】【解答】对A、C：由图像可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，C正确；

对B：甲图像比乙图像更高瘦，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；

对C：乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为1.99，即12πδ2=1.9912．【答案】A,B,C【解析】【解答】根据题意得，折叠成的三棱锥P-ABC的三条侧棱满足PA⊥PB、PA⊥PC，

对A：由PA⊥PB、PA⊥PC，且PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC，故A正确；

对B：当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三棱锥P-ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由PA=2，BP=CP=x=1，得外接球的半径R=x2+x2+42=62，所以外接球的表面积S=4πR2=4π×622=6π，故B正确；

对C：正方形AP1P2P3的边长为2，所以x∈0，2，BC=2x，P3C=P1B=PB=PC=2-x，

在△CPB中，由边长关系得2-x+2-x>2x，解得x∈0，4-22，故C正确；

对D：因为△PBC的面积为S=12×2x×2-x2-22x2=12x4-8x3+8x，

令fx=x4-8x313．【答案】3【解析】【解答】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，

所以an=a1·2n-1，所以S14．【答案】5【解析】【解答】当第一张卡片上的数字为偶数数，第二张卡片上的数字为奇数，则P1=49×58=2072=518，

若第一张卡片上的数字为奇数，第二张卡片上的数字为偶数，则P2=5915．【答案】8；1【解析】【解答】解：∵抛物线y2∴p=8，∴抛物线的方程为y2设直线l的方程为x=my+4，设M(x1，由y2=16xx=my+4∴y1+y由抛物线的定义得1|MF|+1|NF|=1x1+4+1x2+4∴|NF|9−4|MF|=|NF|9−4(当且仅当|NF|9=4故答案为：13【分析】利用抛物线的定义可得p=8，设直线l的方程为x=my+4，联立直线与抛物线方程消元，根据韦达定理和抛物线的的定义可得1|MF|+116．【答案】(-∞，2e-1]【解析】【解答】由题意可设fx−ex+x=t，得fx=ex-x+t，

由∀x∈(0，+∞)，f[fx−ex+x]=e，所以ft=et-t+t=et=e，所以t=1，fx=ex-x+1，所以f'x=ex-1，

又由fx+f'x≥ax对x∈(0，+∞)恒成立，即ex-x+1+ex-1≥ax，

所以a≤2exx-1对x∈0，+∞恒成立，

令17．【答案】（1）解：①③不能使{an}成等比数列.②可以：

由题意若选①：f(an)=2n，即logkan=2n，得an=k2n，所以ak+1ak=k2n+1k2n=k2n≠常数，所以{an}不成等比数列.

若选②：（2）解：由（1）知an=k4⋅(k2)n−1=k∴bT==1【解析】【分析】（1）分别验证条件①②③是否可以使{an}成等比数列，从而可得①③不能使{an}成等比数列.②可以，从而可求解.18．【答案】（1）解：因为5csinB=7asinC，所以5cb=7ac，得5b=7a，

又因为b+c=2a，所以b=75a，c=2a-b=35a（2）解：因为BC=4，由（1）知AB=125，

又因为，BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=60°，

在△ABD中，∠DAB=45°，∠ABD=60°，则∠ADB=75°，

sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+2【解析】【分析】(1)由正弦定理可将5csinB=7asinC化简为5b=7a，再结合b+c=2a及余弦定理可求得cosB=-12，从而可求解.19．【答案】（1）证明：∵AB⊥AC，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，

又由底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，

∴∠ACD＝45°，即AD＝CD，

又AB⊥AC，得BC＝AC＝2AD，

又因为AE＝2ED，CF＝2FB，所以AE＝BF＝AD，

所以四边形ABFE是平行四边形，所以AB∥EF，

所以AC⊥EF，

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥EF，

因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC，

因为EF⊂平面PEF，所以平面PEF⊥平面PAC.（2）解：因为PA⊥AC，AC⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

所以AC⊥平面PAB，所以∠APC为PC与平面PAB所成的角，若PC与平面PAB所成的角为45°，

所以tan∠APC=ACAP=1，即PA=AC=2，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

则A0，0，0，B1，-1，0，C1，1，0，E0，23，0，P0，0，2，

所以EB→=1，-53，0，EP→=0，-23，2，

设平面PEB的一个法向量为n→=x，y，z【解析】【分析】(1)利用线面垂直证明EF⊥平面PAC，然后证明平面PEF⊥平面PAC.

（2）由（1）可得∠APC为PC与平面PAB所成的角，建立空间直角坐标系，分别求出平面PEB的一个法向量n→=5，3，2，平面PAB的一个法向量20．【答案】（1）解：设3条生产线中出现故障的条数为X，则X∼B(因此P(（2）解：①当n=1时，设该企业每月的实际获利为Y1若X=0，则Y1若X=1，则Y1若X=2，则Y1若X=3，则Y1又P(X=0)P(此时，实际获利Y1E②当n=2时，设该企业每月的实际获利为Y2若X=0，则Y2若X=1，则Y2若X=2，则Y2若X=3，则Y2E因为EY于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n=1与n=2之中选其一，应选用n=2.【解析】【分析】（1）分析可得随机变量满足二项分布，求